對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第二類(lèi)曲線積分

1、一、一、問(wèn)題問(wèn)題的提出的提出二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(第二類(lèi)第二類(lèi) 曲線積分曲線積分)oxyABL一、問(wèn)題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取

2、極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向

3、光滑曲線弧的一條有的一條有到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類(lèi)曲線積分）或稱第二類(lèi)曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類(lèi)似地定義類(lèi)似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.

4、存在條件：存在條件：.,),(),(第第二二類(lèi)類(lèi)曲曲線線積積分分存存在在上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在光光滑滑曲曲線線弧弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成

5、分成如果把如果把則則有有向向曲曲線線弧弧方方向向相相反反的的是是與與是是有有向向曲曲線線弧弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且

6、連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)推推廣廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(

7、),(),()()(),(),( 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓

8、周的上半圓周針?lè)较蚶@行針?lè)较蚶@行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原原式式. 0 注注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 ,

9、 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點(diǎn)點(diǎn)，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線為為其其中中計(jì)計(jì)算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對(duì)對(duì) x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dx

10、y. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10, 0變變到到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同徑不同而積分結(jié)果相同.zxyyzxzydd2d)(222tx 2ty 3tz 例例4、計(jì)算、計(jì)算為：為：，t從從0變到變到1的一段弧。的一段弧。，

11、zxyzxyddd2222222azyx0zaxyx22例例5、計(jì)算、計(jì)算為：為：與與的交線。的交線。四、四、 兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系：兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則（可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,),( 為為處處的的切切線線向向量量的的方方向向角角上上點(diǎn)點(diǎn)zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA rdA可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos

12、t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；處的單位切向量處的單位切向量上點(diǎn)上點(diǎn)),(zyx LyyxQxyxPd),(d),(L2xy )0 , 0() 1 , 1 (例、把例、把化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為沿拋物線為沿拋物線從從到到的一段弧。的一段弧。Lyyxxxyd)(d2L2xy )0 , 0() 1 , 1 () 1 , 0(例、計(jì)算例、計(jì)算，其中，其中1)沿曲線沿曲線從從到到2)沿從沿從經(jīng)經(jīng)到到為為的一段弧。的一段弧。)0 , 0() 1 , 1 (的折線段。的折線段。Lyyxxyxd)()d(2222L)0 , 2(A|1 |1xy)0 , 0(

13、例、計(jì)算例、計(jì)算，其中，其中為：從為：從沿曲線沿曲線到到。四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當(dāng)當(dāng)曲曲線線L的的參參數(shù)數(shù)方方程程與與參參數(shù)數(shù)的的變變化化范范圍圍給給定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常數(shù)數(shù)），試試問(wèn)問(wèn)如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示為為順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳颉⒛婺鏁r(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳颍?？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例例如如L：taxcos ，t

14、aysin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變變到到 2時(shí)時(shí)，L取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?反反之之當(dāng)當(dāng)t從從 2變變到到 0 時(shí)時(shí)，L取取順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?一一 、 填填 空空 題題 : :1 1、 對(duì)對(duì) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的 曲曲 線線 積積 分分 與與 曲曲 線線 的的 方方 向向 有有 關(guān)關(guān) ；2 2、 設(shè)設(shè)0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在 公公 式式 dyyxQdxyxPL),(),(

15、dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中 , ,下下 限限對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) , ,上上 限限 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) ；4 4、 兩兩 類(lèi)類(lèi) 曲曲 線線 積積 分分 的的 聯(lián)聯(lián) 系系 是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其其中

16、中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界( (按按 逆時(shí)針?lè)较蚶@行逆時(shí)針?lè)较蚶@行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其其中中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時(shí)針?lè)较蝠埿邪茨鏁r(shí)針?lè)较蝠埿? )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中為為有有向向閉閉折折線線ABCD, ,這這里里 的的CBA,依依次次為為點(diǎn)點(diǎn)( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx

17、, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的正正方方形形正正向向邊邊界界線線 . .三、三、 設(shè)設(shè)z軸與重力的方向一致軸與重力的方向一致, ,求質(zhì)量為求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位的質(zhì)點(diǎn)從位置置),(111zyx沿直線移到沿直線移到),(222zyx時(shí)重力所作時(shí)重力所作的功的功. .四、四、 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成對(duì)弧長(zhǎng)的積分對(duì)弧長(zhǎng)的積分, , L其中其中為為: :1 1、 在在xoy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)面內(nèi)沿直線從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；2 2、 沿拋物線沿拋物線2xy 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圓周沿上半圓周xyx222 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1).(1,1).練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、