開水供應(yīng)的數(shù)學(xué)模型

1、2012 年浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽封面題目：A B（在相應(yīng)的題號(hào)上打鉤）姓名年級(jí) （注 1）專業(yè)聯(lián)系方式吳麗娜本科二年級(jí)工業(yè)工孫穎政本科二年級(jí)機(jī)械注 1）：須注明本科生或研究生及年級(jí)浙江理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地二零一二年三月有關(guān)學(xué)院水房供水的數(shù)學(xué)模型摘要：通過了解該學(xué)院的實(shí)際情況，該學(xué)院在校學(xué)生人數(shù)較多，且僅有的一個(gè)供應(yīng)開水的開水房面積較小，開水房外部的面積也較小，常常造成擁堵的現(xiàn)象，究竟是什么原因?qū)е陆娱_水成了老大難問題，校方又改如何改進(jìn)設(shè)施使學(xué)生能夠正常接水呢？根據(jù)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，我們可以使用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)分析數(shù)據(jù)的合理假設(shè)，可以用排隊(duì)

2、論的方法定量的描述系統(tǒng)的狀態(tài)，可以通過靈敏度的分析討論了參數(shù)變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響。最后比較了種排隊(duì)方法，從而找到了擁擠的原因，找到了擁擠的程度，并提出解決方法。與實(shí)際情況大致相符。關(guān)鍵詞：泊松分布，排隊(duì)論，數(shù)學(xué)期望，MATLAB一、問題重述某學(xué)院有在校學(xué)生5000 人，由一個(gè)開水房供應(yīng)開水。供水時(shí)間為早晨6:30 8:00，中午 11： 0012： 30，下午 17:00 18:30. 水房共有20 個(gè)水龍頭供學(xué)生使用?？膳抨?duì)的空地面積為 10 平方米。 燒開水的鍋爐容量比較小，送水管道較細(xì)，水流量受到一定的限制，且水管易被水垢堵塞， 使水流減少甚至狀如細(xì)線，水房內(nèi)常有排隊(duì)現(xiàn)象，大家抱怨水房太

3、擁擠。這就給你提出了一個(gè)問題： 水房的設(shè)計(jì)是否合理？為什么擁擠？擁擠程度如何？怎樣進(jìn)行改進(jìn)？請(qǐng)你建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型回答這些問題。二、問題分析顯然水房就是一個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，可以應(yīng)用排隊(duì)論的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)作定量的描述。但首要的是收集數(shù)據(jù)，提出合理的假設(shè)， 選擇排隊(duì)模型及估計(jì)參數(shù)；然后再對(duì)模型進(jìn)一步討論描述擁擠現(xiàn)象，分析擁擠原因，研究改進(jìn)措施。為了得到一個(gè)較為合理的優(yōu)化方案， 我們應(yīng)該從實(shí)際情況出發(fā)， 為此我們將利用多種工具建立一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型， 盡量滿足大眾需求的同時(shí)又要考慮其可行性以及花費(fèi)開銷等問題，故而我們需要解決以下幾個(gè)問題：1.原管道暢通時(shí)是否會(huì)出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象。2.原管道堵塞時(shí)是否會(huì)出現(xiàn)

4、擁擠現(xiàn)象。3.根據(jù)模型求解及其分析給出改進(jìn)后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)方案。三、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和建模假設(shè)經(jīng)過在 11:40 12:30 這一時(shí)間段連續(xù)一周的觀察， 得到了學(xué)生打水情況的數(shù)據(jù) （見表 1），得到了 528 人次打水者到達(dá)水房的情況。 以及管道通暢及管道堵塞嚴(yán)重時(shí)的打水時(shí)間及頻數(shù)的數(shù)據(jù) （見表 2 和表 3），得到了在管道通暢下50 人次的打水時(shí)間的數(shù)據(jù)以及在管道堵塞嚴(yán)重時(shí) 55 人次的打水時(shí)間的數(shù)據(jù)。并且發(fā)現(xiàn)管道通暢時(shí)幾乎無人排隊(duì)等待，堵塞時(shí)水房十分擁擠，許多學(xué)生提著空壺離去。排隊(duì)論的一般流程水龍頭學(xué)生隨機(jī)到達(dá)學(xué)生排隊(duì)（打水的時(shí)間是隨機(jī)的）學(xué)生離去圖中所示的流程圖所包含的部分為排隊(duì)系統(tǒng)。 各個(gè)顧客

5、從顧客源出發(fā)， 隨機(jī)地來到服務(wù)機(jī)按一定的排對(duì)規(guī)則等待服務(wù)，知道按一定的服務(wù)規(guī)則接受后服務(wù)后離開排隊(duì)系統(tǒng)。凡要求服務(wù)的對(duì)象稱為顧客，為顧客服務(wù)的人或物稱為服務(wù)員，由顧客和服務(wù)員組成的服務(wù)系統(tǒng)。對(duì)一個(gè)系統(tǒng)來說，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過小，以致不能滿足要求的眾多顧客的需要，那么就會(huì)產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象而使服務(wù)質(zhì)量降低。因此，顧客總希望服務(wù)機(jī)構(gòu)越大越好，但是，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過大，人力和物力方面的開支也就會(huì)相應(yīng)增加，從而會(huì)造成浪費(fèi)，因此研究排隊(duì)模型的目的就是要在顧客需要和服務(wù)機(jī)構(gòu)之間進(jìn)行權(quán)衡決策，使其達(dá)到合理的平衡。基于以上排隊(duì)論模型概念，我們先做以下數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：表 1.每 10 秒到達(dá)的人數(shù)及頻數(shù)每10秒到01234567

6、8達(dá)的人數(shù)頻數(shù)6613213111050221043數(shù)學(xué)期望為：0661321311104501528123528528528528226107432. 255288528528528表 2.管道通暢時(shí)打水的時(shí)間及頻數(shù)打水時(shí)間30354045505560657075808595105125155245(秒 )頻數(shù)12322139453542211同理計(jì)算可得275. 82130223521245212234. 150表 3管道堵塞時(shí)打水的時(shí)間及頻數(shù)打水時(shí)間 (秒)3040455565707580859095100105110125130頻 數(shù)2133234111412213打水時(shí)間135140

7、145155160175185190200205215240255265300(秒 )頻 數(shù)222211211211111同理計(jì)算可得3 120. 93 63. 3基于上述觀察數(shù)據(jù)，可以提出以下假設(shè)：（ 1）：假設(shè)所得數(shù)據(jù)具有代表性，即認(rèn)為該數(shù)據(jù)可反映該學(xué)院學(xué)生水房打開水的實(shí)際情況。（ 2）：由于開水房的開房時(shí)間是有限的，可以認(rèn)為來打水的學(xué)生數(shù)目是無限的，學(xué)生單個(gè)到來且相互獨(dú)立， 并假設(shè)學(xué)生到水房的速度平穩(wěn)， 不存在擁堵期或空閑期， 且水龍頭是并聯(lián)的。（ 3）：排隊(duì)方式為單一的等待制，先到先服務(wù)。雖然水房里有20 個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭都有各自的接水隊(duì)列，但同時(shí)學(xué)生總是自發(fā)的轉(zhuǎn)移到最短的隊(duì)列上，

8、不可能出現(xiàn)水龍頭排隊(duì)而水龍頭空閑的情況，就隊(duì)列長度變化而言， 這種長度分布與只有一條隊(duì)列的情況無區(qū)別。文章最后對(duì)兩種排列方式的比較也證實(shí)了這個(gè)假設(shè)是較為合理的。（ 4）：學(xué)生流滿足參數(shù)為的泊松分布，單位時(shí)間為10 秒。驗(yàn)證假設(shè)（輸入流為泊松分布）我們分布擬合的卡方分布做檢驗(yàn)，取x2 為統(tǒng)計(jì)量k22niN pixi 0N pi其中 k 為組數(shù)， N為樣本數(shù)， n與 N pi 分別為第 i 組實(shí)測(cè)頻數(shù)與擬合理論頻數(shù)i定義擬合優(yōu)度：P k, a P x2 k 1 2a表明如果假設(shè)成立，則偏差x2 取決于不小于a 的可能行，因此，P k, a 越大，表明實(shí)際數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)分布擬合的越好。又因 x2的分

9、布屬于單峰分布，通常認(rèn)為Pk, a0.3,0.7 左右是一種良好情況的分布。有表格1 中的數(shù)據(jù)可知N=528， k=8，1=2.2進(jìn)而得出x2=6.119x2 6.119714.067P 8,6.1190.7x20.05故而假設(shè)合理四、模型建立與求解1.求得正在工作的水龍頭個(gè)數(shù)的臨界值m。估測(cè)水龍頭輸出管道直徑D=6.5cm ，水龍頭的直徑d=1.3cm, 水流速度為v，則有：1d 2vm1D2v44求得： mD26. 5225 20，d 21. 32說明管道在暢通時(shí)，20 個(gè)水龍頭處于正常工作狀態(tài)。2. 假設(shè)以下參數(shù)表示水龍頭的服務(wù)強(qiáng)度表示為偏離系數(shù)表示打水的時(shí)間L 表示水房內(nèi)學(xué)生的期望值L

10、q 表示水房內(nèi)排隊(duì)學(xué)生數(shù)目的數(shù)學(xué)期望W 表示學(xué)生等待的時(shí)間的期望W 表示學(xué)生排隊(duì)等待時(shí)間的期望qP0 表示水房內(nèi)有水龍頭空閑的概率運(yùn)用排隊(duì)論公式進(jìn)行計(jì)算公式如下：s 1nsP0n!s ! 1n 0D0 11ss! 1t P112LPq1s! 102(偏離系數(shù) )（水龍頭的服務(wù)強(qiáng)度）sLLsqWqLqLW將原管道通暢時(shí)的有關(guān)數(shù)據(jù)輸入公式運(yùn)用 matlab 編程實(shí)現(xiàn)（見附錄二） ，將=75.8，=2.2， 2 =34.1代入公式，得出以下值：P0 =0.860Lq =0.2497L=16.7017W =0.115qW=7.58由以上得出的數(shù)據(jù)可知，此時(shí)水房內(nèi)有 17 人，而水龍頭有 20 個(gè)，面積

11、有 10 平方米，幾乎不會(huì)排隊(duì)，不會(huì)產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象。但是由于水垢的沉積，管道和水龍頭堵塞漸漸嚴(yán)重，這時(shí)水房的運(yùn)營情況怎樣呢？將原管道堵塞時(shí)的數(shù)據(jù)輸入公式運(yùn)用 matlab 編程實(shí)現(xiàn)（見附錄二） ，將=120.9,=2.2,363.3代入公式，得出以下值：P0 =1Lq =0.01L=26.24W =0.06qW=12.0910由以上數(shù)據(jù)像可知，10 平方米的面積內(nèi)有26 人，而且每人打開水的等待時(shí)間至少有12秒，這樣的情況下當(dāng)然是很擁擠了。當(dāng)/s 趨于 1 時(shí)，隊(duì)長將趨于無窮。當(dāng)然增加水龍頭的個(gè)數(shù)必然會(huì)緩解這樣的擁擠狀況，但這勢(shì)必增加了不必要的投入，也占用了更多的空間和加大水龍頭的空閑概率（P0

12、 ），由于學(xué)生的到達(dá)情況是不容易控制的，這勢(shì)必會(huì)通過經(jīng)常維修以保證管道暢通或增加鍋爐的容量及高度來提高服務(wù)速度，這樣又導(dǎo)致了設(shè)備管理費(fèi)的增加。為此下面我們?cè)诨诔杀净咀兊那闆r下，做出最優(yōu)化的模型。五、系統(tǒng)的最優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化模型， 一般可分為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化和系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，記載服務(wù)系統(tǒng)設(shè)置以前根據(jù)一定的質(zhì)量指標(biāo)，找出參數(shù)的最優(yōu)質(zhì)，從而使系統(tǒng)最為經(jīng)濟(jì)。后者為動(dòng)態(tài)優(yōu)化，即對(duì)已有的派對(duì)系統(tǒng)尋求使其某一目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的運(yùn)營機(jī)制。水房的最優(yōu)設(shè)計(jì)實(shí)際上就是要確定最佳的臨界服務(wù)臺(tái)數(shù)m,并使系統(tǒng)的實(shí)際服務(wù)臺(tái)為m個(gè)，因?yàn)槿舴?wù)臺(tái)少于m,則管道內(nèi)水沒有被充分利用，而多于m 對(duì)系統(tǒng)沒有影響。但

13、如果從服務(wù)費(fèi)方面考慮，在這個(gè)模型里又是一個(gè)無法確定的概念。因此我們不采用這種方法。現(xiàn)在我們用另一種方法：在兩種相互矛盾的度量，平均等待時(shí)間（W ）和服務(wù)臺(tái)空閑q概率（P0 ）之間不斷折中取值,即對(duì) W 和 P 規(guī)定上限值q0a 和 b，同時(shí)與原管道暢通和堵塞的情況下的數(shù)據(jù)做比較，分析各個(gè)取值的結(jié)果，逐步達(dá)到最優(yōu)化。這兩個(gè)規(guī)定上限的水龍頭臺(tái)數(shù)，以之作為最佳臨界水龍頭數(shù)m 進(jìn)一步也決定了鍋爐及輸水管的規(guī)模。從我們的優(yōu)化計(jì)算中，容易得知， 在水龍頭個(gè)數(shù)在16 和 22 的時(shí)候分別達(dá)到一個(gè)最優(yōu)值，因?yàn)榉謩e在這兩個(gè)值的時(shí)候，水龍頭的空閑概率(Po)和平均等待時(shí)間(Wg)達(dá)到一個(gè)最優(yōu)的平衡點(diǎn)，由此我們認(rèn)為

14、這就是水龍頭的最優(yōu)化數(shù)的點(diǎn)。但還要考慮顧客到達(dá)率在不同時(shí)段是不一樣的， 因此不存在一致最優(yōu)的水龍頭個(gè)數(shù)，在這種情況下， 應(yīng)該通過控制打水速率來達(dá)到系統(tǒng)的最優(yōu)化。 對(duì)水房而言， 在保證管道暢通的情況下， 通過調(diào)節(jié)鍋爐內(nèi)水位高度可以實(shí)現(xiàn)對(duì)打水速度的控制，在緩解水房擁擠的同時(shí)，可以避免因水位過高而造成的浪費(fèi)。將原模型當(dāng)中的u 取定一個(gè)值9.902 與原模型的u=7.6 做對(duì)比，同時(shí)將水龍頭個(gè)數(shù)做因變量，其他參數(shù)不變。用matlab 實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的綜合對(duì)比，以此判斷最優(yōu)的水龍頭個(gè)數(shù)。m 取六、兩種排隊(duì)方式的比較：如果假定系統(tǒng)中c 個(gè)隊(duì)列間沒有學(xué)生轉(zhuǎn)移，則每個(gè)隊(duì)列的平均到達(dá)率為，平均服務(wù)c時(shí)間不變，0. 1

15、，仍然利用原來的公式計(jì)算得到多隊(duì)時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)，從計(jì)算結(jié)果可知，顯然單隊(duì)時(shí)等待時(shí)間長，等待時(shí)間都比多隊(duì)時(shí)低，而水龍頭利用率比多隊(duì)的高。因此，具有明顯的優(yōu)越性，同時(shí)，多隊(duì)時(shí)水房內(nèi)平均人數(shù)在 t=75.8 時(shí)為 46.7 人，與實(shí)際情況不符，這說明單隊(duì)的假設(shè)是合理的。如果將現(xiàn)行排隊(duì)方式改為嚴(yán)格的單隊(duì)，就可以避免隊(duì)列間的擁擠碰撞，有助于改善水房的打水情況。同時(shí)可以得出一個(gè)結(jié)論：建一個(gè)水房優(yōu)于建兩個(gè)水房，即聯(lián)合服務(wù)優(yōu)于獨(dú)立通道服務(wù)。七、評(píng)價(jià)與推廣1、模型的評(píng)價(jià)1）、排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，在研究各種排對(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制的問題。2）、運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具簡單，

16、模型清楚易懂，有很強(qiáng)的可讀性和實(shí)用性。2、模型的推廣此模型不僅可以用于學(xué)校的開水供應(yīng)，添加一定的條件我們不僅可以將此模型病人到醫(yī)院排隊(duì)看病， 旅客在售票處排隊(duì)買票等有形的排隊(duì)問題， 還可以用于一些無形的排隊(duì)問題中，如顧客打電話到出租汽車站要求派車等問題中。參考文獻(xiàn)：1 敬照亮 主編 等 . MATLAB 教程與應(yīng)用 . 北京：清華大學(xué)出版社 . 20112 譚永基 蔡志杰 等. 數(shù)學(xué)模型 . 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社 . 20063 孫榮恒 李建平 . 排隊(duì)論基礎(chǔ) . 北京：科學(xué)出版社 . 20024 魏廣華，徐鶴卿 主編 . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) . 北京：高等教育出版社 .20115 曹弋 主編

17、. MATLAB教程及實(shí)訓(xùn) . 北京：機(jī)械工業(yè)出版社 . 20086 韓中庚 . 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用 . 北京：高等教育出版社 . 2005附錄一%得出表格一的均值function k u2 std2 u3 std3=getData()%得出表格一的數(shù)據(jù)和平均值Kzero=0*zeros(1,66);one=1*ones(1,132);two=2*ones(1,131);three=3*ones(1,110);four=4*ones(1,50);five=5*ones(1,22);six=6*ones(1,10);seven=7*ones(1,4);eight=8*ones(1,3);dat

18、aTable1=zero one two three four five six seven eight;k=sum(dataTable1)/528;%得出表格2 的數(shù)據(jù)和平均值u2標(biāo)準(zhǔn)差 std2dataTable2=30 35 35 40 40 40 45 45 50 50 55 60 60 60 65 65 65 65 65 65 65 65 65 70 70 70 70 75 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 85 85 95 95 95 95 105 105 125 125 155 245;u2=sum(dataTable2)/50;std2=std(dat

19、aTable2);%得出表格3 的數(shù)據(jù)和平均值u3標(biāo)準(zhǔn)差 std3dataTable3=30 30 40 45 45 45 55 55 55 65 65 70 70 70 75 75 75 75 80 85 90 95 95 95 95 100 105 105 110 110 125 130 130 130 135 135 140 140 145 145 155 155 160 175 185 185 190 200 205 205 215 240 255 265 300;u3=sum(dataTable3)/55;std3=std(dataTable3);附錄二%對(duì)擁擠程度的描述%在暢通的狀

20、況下clearclck u1 std1 u2 std2=getData();s=10:0.1:19;%水龍頭的個(gè)數(shù)p1=s./20;u1=u1/10;sum1=1;for n=1:19sum1=sum1+s.n/factorial(n);endp10=1./(sum1+(s.20/factorial(20)/(1-p1);S=s.20;P10=p10.*S;N=1/factorial(20)./(1-p1);P0=(1-N.*P10);j=1./(1-p1);i=p1.*j;B=(1+0.4452)/2;subplot(2,1,1);plot(s,P0)xlabel(水龍頭個(gè)數(shù)s)ylabel

21、(水龍頭空閑的概率P0)grid ontitle(在暢通的狀況下水龍頭的個(gè)數(shù)與空閑的概率的關(guān)系)subplot(2,1,2);plot(s,Lq)xlabel(水龍頭個(gè)數(shù)s)ylabel(平均對(duì)長Lq)grid ontitle(在暢通的狀況下水龍頭的個(gè)數(shù)與平均對(duì)長的關(guān)系)%對(duì)擁擠程度的描述%在堵塞的情況下k u1 std1 u2 std2=getData();clcu2=16.676;s2=16:1:36;sum2=1;sum=0;b=0.455;for i=1:19Pn(i)=u2/s2(i);endfor i=1:19sum2(1,i)=1;d(1,i)=1;for j=1:s2(1,i)

22、-1d(1,i)=j.*d(1,i);sum2(1,i)=u2.j/d(1,i)+sum2(1,i);endendfor i=1:19S2(1,i)=s2(1,i)*d(1,i);F(1,i)=u2s2(1,i);sum(1,i)=F(1,i)/S2(1,i)/(1-Pn(1,i);Sum(1,i)=sum(1,i)+sum2(1,i);p20(1,i)=1/Sum(1,i);x1(i)=u2s2(1,i);x2(i)=p20(1,i)*x1(i);n(i)=1/ S2(1,i)/(1-Pn(1,i);P20(i)=(1-n(i)*x2(i);j1(i)=1/(1-Pn(1,i);j2(i)=Pn(1,i)*j1(i);b1=(1+b2)/2;Lq2(i)=j2(i)*n(i)*b1*x2(i);endsubplot(2,1,1);plot(s2,P20)xlabel(水龍頭個(gè)數(shù)s