高中數(shù)學人教B版必修3課件：13 中國古代數(shù)學中的算法案例

1、1 1.3 3中國古代數(shù)學中的算法案例中國古代數(shù)學中的算法案例1.理解中國古代三個問題(求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)、割圓術、求多項式函數(shù)值)的算法.2.注意體會“更相減損之術”與“輾轉相除法”的差異,以及秦九韶算法在求多項式函數(shù)值上的優(yōu)越性.1.求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法(1)“等值算法”在我國古代也稱為更相減損之術,它是用來求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法,其基本過程是:對于給定的兩個數(shù),用較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減去小數(shù),繼續(xù)這個操作,直到所得的兩數(shù)相等為止,則所得數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(2)輾轉相除法(即歐幾里得算法):是用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余

2、數(shù)和較小的數(shù)構成新的一對數(shù),繼續(xù)做上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,這個較小的數(shù)就是所求的最大公約數(shù).歸納總結1.用“等值算法”求兩數(shù)的最大公約數(shù)時,是當大數(shù)減去小數(shù)的差恰好等于小數(shù)時停止減法,這時的小數(shù)就是要求的兩數(shù)的最大公約數(shù).2.求三個以上(含三個數(shù))的數(shù)的最大公約數(shù)時,可依次通過求兩個數(shù)的最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)來求得.【做一做1】 用輾轉相除法求168與72的最大公約數(shù),要做n次除法運算,那么n為() A.2B.3C.4D.5答案:A2.割圓術割圓術是我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽在注九章算術中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計算圓周率的一種方法.他的思想后來又得到祖沖之的推進和

3、發(fā)展,計算出的圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領先地位.【做一做2】 用圓內接正多邊形逼近圓,得到的圓周率的值總是()A.大于等于的實際值B.大于的實際值C.等于的實際值D.小于的實際值解析:用割圓術求出的是的不足近似值.答案:D知識拓展1.秦九韶算法很多文獻稱之為霍納算法.2.用秦九韶算法計算多項式的值,關鍵是正確地將多項式改寫,然后由內向外依次計算求得.1.輾轉相除法與更相減損之術的異同剖析:相同點:都是求最大公約數(shù)的方法.更相減損之術的理論依據(jù)為:由m-n=r,得m=n+r,可以看出,m,n與n,r有相同的公約數(shù);輾轉相除法的理論依據(jù)是:由m=nq+r可以看出,m,n和n,r有相同的

4、公約數(shù),即二者的“算理”相似.不同點:更相減損之術進行的是減法運算,輾轉相除法進行的是除法運算,計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少.結果上,輾轉相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0得到,而更相減損之術則以減數(shù)與差相等而得到.3.教材中的“探索與研究”古希臘求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是輾轉相除法(即歐幾里得算法):用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余數(shù)和較小的數(shù)構成新的一對數(shù),繼續(xù)做上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,這個較小的數(shù)就是最大公約數(shù).以求288和123的最大公約數(shù)為例,操作如下:(288,123)(42,123)(42,39)(3,39).想一想這種算法的道理.試著編寫程序在計算機上實現(xiàn).剖析

5、:輾轉相除法求正整數(shù)a,b(ab)的最大公約數(shù)的步驟是:計算出ab的余數(shù)r,若r=0,則b為a,b的最大公約數(shù);若r0,則把前面的除數(shù)b作為新的被除數(shù),把余數(shù)r作為新的除數(shù),繼續(xù)運算,直到余數(shù)為零,此時的除數(shù)即為a,b的最大公約數(shù).從其算法思想我們可以看出,輾轉相除法的基本步驟是用較大的數(shù)(用a表示)除以較小的數(shù)(用b表示),得到除式:a=nb+r(0rb).由于這是一個反復執(zhí)行的步驟,且執(zhí)行的次數(shù)由余數(shù)r是否等于0決定,所以我們可以把它看做一個循環(huán)體,用循環(huán)結構就可以來實現(xiàn)其算法.程序略.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思用更相減損之術求解時,如果所給的兩個正整數(shù)都是偶數(shù)時

6、,那么一般先把這兩個正整數(shù)除以2,最終把這兩個正整數(shù)化成不都是偶數(shù)的情況,然后再用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù),得到化簡后兩數(shù)的最大公約數(shù),這時所求的最大公約數(shù)一定要注意:前面除了幾個2,這時求出的最大公約數(shù)就要乘以幾個2.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思先求最大公約數(shù),因為兩數(shù)的最小公倍數(shù)就是兩數(shù)之積與兩數(shù)最大公約數(shù)的商,所以這種方法也可以推廣到n(n3)個數(shù)的情況.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】 求396與270的最小公倍數(shù).解:用輾轉相除法求396與270的最大公約數(shù):(396,270)(126,270)(126,18),126=187,

7、因此396與270的最大公約數(shù)為18,因此這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)為39627018=5 940.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思有的同學習慣于常規(guī)解法,可能會直接代入求解,但這種算法計算機在執(zhí)行時要進行21次乘法和6次加法運算,而利用秦九韶算法只需進行6次乘法、6次加法運算即可,要知道,讓計算機進行一次乘法運算要比加法用的時間多很多,因此,要減少乘法運算的次數(shù),這也就是秦九韶算法的優(yōu)勢所在了.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 求f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8當x=5時的函數(shù)值.解:由于f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,則v0=5,v1=55+2