菱形基礎(chǔ)知識點與同步練習含復習資料

1、學科：數(shù)學 菱形 【基礎(chǔ)知識精講】 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形定理1：四邊都相等的四邊形是菱形定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形【重點難點解析】1菱形的性質(zhì)(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；(2)菱形的四條邊都相等；(3)菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；(4)菱形是軸對稱圖形2菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半A重點、難點提示1理解并掌握菱形的概念，性質(zhì)和判別方法；（這是重點，也是難點，要掌握好）2經(jīng)歷探索菱形的性質(zhì)和判別條件的過程，在操作活動和觀察、分析過程中發(fā)展學生的主動探究習慣和初步的審美意識，進一步了解和體會說理的基本方法；3了解菱形

2、的現(xiàn)實應(yīng)用和常用的判別條件；4體會特殊與一般的關(guān)系B考點指要菱形是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)和判別方法是中考的重要內(nèi)容之一一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，菱形還具有以下性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；兩條對角線互相垂直平分；（出現(xiàn)了垂直，常與勾股定理聯(lián)系在一起）每一條對角線都平分一組內(nèi)角（出現(xiàn)了相等的角，常與角平分線聯(lián)系在一起）菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在直線是它的兩條對稱軸（不是對角線，而是其所在直線，因為對稱軸是直線，而對角線是線段）菱形的判別方法：（學會利用軸對稱的方法研究菱形）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形【難題巧解點撥】例1：如圖4-24，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F求證：四邊形AEFG是菱形思路分析由已知可知，圖中有平行線，就可證角相等、線段相等，因此，可先證四邊形AEFG是平行四邊形，再證一組鄰邊相等證明：BAC=90°，EFBC，CE平分ACB，AE=EF，CEA=CEF（這是略證，并不是完整的證明過程）ADBC，EFBC，EFAD，（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）CEF=AGE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）CEA=AGE，AE=AG，EF

4、AG，且EF=AG，四邊形AEFG是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）又AE=EF，平行四邊形AEFG是菱形例2：已知菱形的周長為20cm，一條對角線長為5cm，求菱形各個角的度數(shù)已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，對角線AC=5cm求ADC、ABC、BCD、DAB的度數(shù)思路分析利用菱形的四條邊相等，可求出各邊長，從而得到等邊三角形，如圖4-25解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，AB=BC=CD=DA=5cm，又AC=5cm，AB=BC=AC，CD=DA=AC，ABC和DAC都是等邊三角形，（本題將邊之間的長

5、度關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系）ADC=ABC=60°，BCD=DAB=120°例3：如圖4-26，在平行四邊形ABCD中，BAE=FAE，F(xiàn)BA=FBE求證：四邊形ABEF是菱形證法一：AFBE，F(xiàn)AE=AEB （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又BAE=FAE，BAE=AEB，AB=BE（等角對等邊）同理，AB=AF，BE=EF，AB=BE=EF=AF，四邊形ABEF是菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）證法二：AFBE，F(xiàn)AE=AEB，又BAE=FAE，BAE=AEB，AB=BE又FBA=FBE，AO=OE，AEFB，（等腰三角形三線合一）同理，BO=OF，四邊形ABEF是菱形（對角線互

6、相垂直平分的四邊形是菱形）（你還有其他的證明方法嗎？不妨試一下）例4：菱形的兩鄰角之比為1：2，邊長為2，則菱形的面積為_思路分析本題主要考查菱形的性質(zhì)和面積公式的應(yīng)用：解法一：如圖4-27，B：A=1：2，四邊形ABCD是菱形，ADBC，A+B=180°，B=60°，A=120°，過A作AEBC于E，BAE=30°，（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），（勾股定理）（平行四邊形的面積計算方法是：底乘以高）解法二：如圖4-28，BA=12，四邊形ABCD是菱形，ADBC，A+B=180°，B=60°，A=12

7、0°，連結(jié)AC、BD交于點O，ACBD（菱形的性質(zhì)：對角線平分一組對角，對角線互相垂直）在RtABO中，AC=2，答：菱形的面積為【典型熱點考題】例1 如圖4-13，已知菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且B=EAF=60°，BAE=18°，求CEF的度數(shù)點悟：由B=60°知，連接AC得等邊ABC與ACD，從而ABEADF，有AE=AF，則AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求CEF解：連接AC 四邊形ABCD為菱形，B=D= 60°，AB=BC=CD=DA，ABC與CDA為等邊三角形 AB=AC，B=ACD=BA

8、C=60°，EAF=60°， BAE=CAF AE=AF又EAF=60°，EAF為等邊三角形AEF=60°，AEC=B+BAE=AEF+CEF， 60°+18°=60°+CEF，CEF=18°例2 已知如圖4-14，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求證：四邊形AEFG為菱形點悟：可先證四邊形AEFG為平行四邊形，再證鄰邊相等(或?qū)蔷€垂直)證明：BAC=90°，EFBC，CE平分BCA， AE=FE，AEC=FEC EFBC，ADB

9、C， EFADFEC=AGE， AEC=AGE AE=AG， 四邊形AEFG為平行四邊形又 AE=AG 四邊形AEFG為菱形點撥：此題還可以用判定菱形的另兩種方法來證例3 已知如圖4-15，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE求證：EB=OA證明： 四邊形ABCD為菱形，ABC=2ABD， ADBC，DAE=AEB， AB=AE， ABC=AEBDAE=2ABDDAE=2BAE，ABD=BAE， OA=OBBOE=ABD+BAE，BOE=2BAEBEA=BOE， OB=BE， AO=BE說明：利用菱形性質(zhì)證題時，要靈活選用，選不同性質(zhì)，就會有不同思路例

10、4 已知菱形的一邊與兩條對角線構(gòu)成的兩角之比為5：4，求菱形的各內(nèi)角的度數(shù)點悟：先作出菱形ABCD和對角線AC、BD(如圖4-16)解： 四邊形ABCD是菱形， ACBD，1+2=90°，又1：2=4：5，1=40°，2=50°，DCB=DAB=22=100°，故 CBA=CDA=21=80°【同步達綱練習一】一、選擇題1已知菱形的一條對角線與邊長相等，則菱形的鄰角度數(shù)分別為 ( )(A)45°， 135° (B)60°， 120°(C)90°， 90° (D)30°， 15

11、0°2若菱形的一條對角線長是另一條對角線的2倍，且此菱形的面積為S，則它的邊長為( )(A) (B) (c) (D)二、填空題3已知：菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的點，且AE=EF=AF=AB，則B=_.4已知：菱形的兩條對角線長分別為a、b，則此菱形周長為_，面積為_.5菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是_.6已知一個菱形的面積為平方厘米，且兩條對角線的比為1：，則菱形的邊長為_.三、解答題7已知：O為對角線BD的中點，MN過O且垂直BD，分別交CD、AB于M、N求證：四邊形DNBM是菱形8如圖4-17，已知菱形ABCD的對角線交于點O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高

12、【同步達綱練習二】1在菱形ABCD中，若ADC=120°，則BD：AC等于( )ABC1：2D2已知菱形的周長為40cm，兩對角線的長度之比為3：4，則兩對角線的長分別為( )A6cm，8cmB3cm，4cmC12cm，16cmD24cm，32cm3菱形的對角線具有( )A互相平分且不垂直B互相平分且相等C互相平分且垂直D互相平分、垂直且相等（掌握菱形對角線的性質(zhì)，注意不要增加性質(zhì)）4已知菱形的面積等于，高等于8cm，則菱形的周長等于_5已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，那么它的邊長是_6菱形的周長是40cm，兩鄰角的比是1：2，則較短的對角線長是_cm7如圖4-29，在ABC中

13、，BAC=90°，BD平分ABC，AGBC，且BD、AG相交于點E，DFBC于F求證：四邊形AEFD是菱形8如圖4-30，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交于點E、F、O求證：四邊形AFCE是菱形參考答案【同步達綱練習一】一、1B； 2D；二、380°；4，；5對角線互相垂直，各邊長相等64厘米三、7由已知MN為BD的垂直平分線，有 DM=BM，DN=BN，又由DOMBON，得DM=BN， DM=BM=BN=DN四邊形DNBM是菱形.8過點D作DHAB于H，則DH為菱形的一條高又 AC、BD互相垂直平分于O，厘米，厘米由勾股定理，得 (厘米)

14、又，DH=9.6厘米【同步達綱練習二】1B； 2C； 3C； 480cm； 55； 610；7證法一：在RtABD和RtFBD中，BD為ABC的平分線，ABD=FBD，DAB=DFB=90°，又BD=BD，RtABDRtFBDAD=DF，ADE=EDF又DFBC，AGBC，DF/AE，EDF=DEA，ADE=DEA，AD=AE，AE=DF，四邊形AEFD是平行四邊形AD=DF，四邊形AEFD為菱形證法二：同證法一得DF=DA=AE，RtABDRtFBD，AB=BF，ABEFBE，AE=EF，DF=DA=AE=EF，四邊形AEFD是菱形證法三：同證法一：RtABDRtFBD，AB=BF，AB