四川大學(xué)線性代數(shù)課件第一章第二節(jié)矩陣的轉(zhuǎn)置

1、第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義7 矩陣矩陣A=(aij)nn n的行列互換所得的矩陣的行列互換所得的矩陣稱為稱為A的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置,記為記為A或或ATA T =例例1:1:,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTkAkA .4TTTABAB （AB）T的的i 行行j 列元素是：列元素是：A的第的第j行行B的第的第i 列列BTAT的的i 行行j 列元素是：列元素是：BT的第的第i行行A AT T的第的第j j列列= =（B B的第的第i 列）列）T T（A A的第的第j

2、j 行）行）T TsmijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjibababac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajic要證ijd=例例2 2 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求直接計(jì)算后再轉(zhuǎn)置：直接計(jì)算后再轉(zhuǎn)置： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB先轉(zhuǎn)置后再乘起來(lái)（順序要改變）：先轉(zhuǎn)置后再乘起來(lái)（順序要改變）： TTTABAB 21301213102

3、7241.1031314170 . 稱稱為為反反對(duì)對(duì)稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AATA 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等. .說(shuō)明：說(shuō)明：AAA ATTAA 是是反反對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣?yán)?:. ,都是對(duì)稱矩陣和則設(shè)TTnmBBBBB設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為對(duì)稱陣稱為對(duì)稱陣.An njiaajiij, 2 , 1, A.6010861612為為對(duì)對(duì)稱稱陣陣?yán)缛?A對(duì)稱陣對(duì)稱陣:TAA 課后課后思考思考 .2.,1:.對(duì)稱矩陣之和可表示為對(duì)稱矩陣和反是反對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣證明階矩陣對(duì)于

4、任意的AAAAAAnTT注：對(duì)稱矩陣的乘積不一定是對(duì)稱矩陣注：對(duì)稱矩陣的乘積不一定是對(duì)稱矩陣311121111100001010例如311111121例例4：.n,階反對(duì)稱矩陣是則BAABBBBAAATnnTnn什么時(shí)候仍然是對(duì)稱的呢？TTTTTBAABBAAB）證：（).(BAABABBA例例5 5 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTX

5、XXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例6：.:.0333為對(duì)稱陣且不是零矩陣求證矩陣，實(shí)階為TijAAAaATTTTTTAAAAAA)(證：31ijkikTaajiAA列元素為：行的31231iikikiikTaaaAA：的主對(duì)角線上的元素為233232231322322222122132122111aaabaaabaaab證至少有一個(gè)不為零。得對(duì)角線三個(gè)元素中,Raij思考解答思考解答設(shè)矩陣設(shè)矩陣A與與B為同階對(duì)稱陣，證明為同階對(duì)稱陣，證明AB是對(duì)稱是對(duì)稱 陣的充要條件為陣的充要條件為AB=BA.證：證：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB :BAAB TTTABAB)

6、(BAAB為對(duì)稱陣。AB補(bǔ)充：求矩陣的冪補(bǔ)充：求矩陣的冪cossinsincosA?nA2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscossinsincoscossinsincos2A) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAn設(shè)cossinsincos) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAAAnn則nnnncossinsincosnnnnAncossinsincos思考解答思考解答 任一任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對(duì)稱陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和與反對(duì)稱陣之和.nA證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAA