第二章統(tǒng)計推斷

1、第二章 統(tǒng)計推斷（statistical inference） 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗（hypothesis test）參數(shù)估計參數(shù)估計（parametric estimation）統(tǒng)計學(xué)為什么研究？為什么研究？ 首要任務(wù)尋求總體特征值總體特征值（參數(shù)） 但是總體特征一般難以知道難以知道：（一方面總體很大，即N 很大，有時是無限的，N ，因此不可能逐一調(diào)查清楚不可能逐一調(diào)查清楚；另一方面有時所要研究的總體目前并不存在，或者只能說是虛擬存在虛擬存在（總體是虛的總體是虛的），無法進行調(diào)查無法進行調(diào)查，作某一試驗時更是如此）。 不管是何種類型的總體，我們總是可以通過不管是何種類型的總體，我們總是可以通過隨

2、機抽隨機抽樣（抽樣調(diào)查）樣（抽樣調(diào)查）的方法獲得該總體的隨機樣本。的方法獲得該總體的隨機樣本。 通過通過統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷來定性或定量地分析所研究來定性或定量地分析所研究總體總體的特的特征值。征值。即：隨機抽樣即：隨機抽樣 隨機樣本隨機樣本 隨機樣本特征值隨機樣本特征值 總體特征值總體特征值 （統(tǒng)計量）（統(tǒng)計量） （參數(shù)）（參數(shù)） 計算估計假設(shè)你正在研究平均一個美國人一生中要得到多少交通罰單，報告研究結(jié)果的方法有以假設(shè)你正在研究平均一個美國人一生中要得到多少交通罰單，報告研究結(jié)果的方法有以下兩種：下兩種：“10”或者或者“8到到12之間之間”一、參數(shù)估計一、參數(shù)估計Gudmund R. Iver

3、sen1、點估計、點估計1.用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用樣本方差直接作為總體方差的估計2.沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息X2221()1inX XSn2、區(qū)間估計、區(qū)間估計在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量n比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95% ()1()1()11xxxxxP uuxPuuPuxuP xuxu 1)(tsxtPx統(tǒng)計假設(shè)檢驗又稱為顯著

4、性檢驗，是生物統(tǒng)計學(xué)的核心內(nèi)容，是統(tǒng)計推斷的主要組成部分統(tǒng)計推斷（statistical inference）就是通過樣本特征（統(tǒng)計量）來推斷相應(yīng)總體特征（參數(shù)）的方法n 參數(shù)估計（參數(shù)估計（parametric estimate） 通過樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的方法通過樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的方法 點估計（點估計（point estimate） 區(qū)間估計（區(qū)間估計（interval estimate）直接用樣本統(tǒng)計量的數(shù)值估計出相應(yīng)總體參數(shù)具體值的方法直接用樣本統(tǒng)計量的數(shù)值估計出相應(yīng)總體參數(shù)具體值的方法在一定的概率保證下（一般為在一定的概率保證下（一般為95%或或99%），根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布

5、，計），根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布，計算出總體參數(shù)出現(xiàn)的數(shù)值范圍或區(qū)間，用該區(qū)間來估計總體參數(shù)的方法算出總體參數(shù)出現(xiàn)的數(shù)值范圍或區(qū)間，用該區(qū)間來估計總體參數(shù)的方法 參數(shù)估計是對總體參數(shù)的參數(shù)估計是對總體參數(shù)的定量分析定量分析 二、假設(shè)檢驗二、假設(shè)檢驗n 統(tǒng)計假設(shè)檢驗（統(tǒng)計假設(shè)檢驗（hypothesis test） 根據(jù)某種實際需要，對未知的或不完全知道的總體參數(shù)提出一些假設(shè)，根據(jù)某種實際需要，對未知的或不完全知道的總體參數(shù)提出一些假設(shè)，然后根據(jù)樣本觀測值和統(tǒng)計量的分布，通過一定的計算，再作出在一定然后根據(jù)樣本觀測值和統(tǒng)計量的分布，通過一定的計算，再作出在一定概率意義上應(yīng)當接受哪種假設(shè)的方法。概率意義

6、上應(yīng)當接受哪種假設(shè)的方法。 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的假設(shè)是對總體提出的，由于最后檢驗的結(jié)論只有兩種：統(tǒng)計假設(shè)檢驗的假設(shè)是對總體提出的，由于最后檢驗的結(jié)論只有兩種：要比較的總體參數(shù)間要么存在顯著差異，要么不存在顯著差異要比較的總體參數(shù)間要么存在顯著差異，要么不存在顯著差異 統(tǒng)計假設(shè)檢驗是對總體參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)檢驗是對總體參數(shù)的定性分析定性分析 1. 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的意義統(tǒng)計假設(shè)檢驗的意義 以兩個平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗為例以兩個平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗為例現(xiàn)隨機挑選10名中國女性和10名韓國女性，請世界網(wǎng)絡(luò)知名度大賽評委和觀眾進行知名度評分，試比較哪個國家女性知名度更高？9.999.859.999.959

7、.989.979.959.95中國女性的平均得分9.98韓國女性的平均得分9.91兩個國家女性的平均得分并不相等，其差值（表面效應(yīng)）為：兩個國家女性的平均得分并不相等，其差值（表面效應(yīng)）為： 07. 091. 998. 921 xx根據(jù)兩個樣本平均數(shù)的差值根據(jù)兩個樣本平均數(shù)的差值0.07，是否可以給兩個樣本所在總體的總體平，是否可以給兩個樣本所在總體的總體平均數(shù)下這樣的結(jié)論：均數(shù)下這樣的結(jié)論：中國女性總體的平均得分高于韓國女性總體的平均得分中國女性比韓國女性知名度更高 如果從經(jīng)典數(shù)學(xué)的角度來看，答案應(yīng)該是肯定如果從經(jīng)典數(shù)學(xué)的角度來看，答案應(yīng)該是肯定 如果從生物統(tǒng)計學(xué)的角度來看，在未經(jīng)過統(tǒng)計假設(shè)

8、檢驗以前，只能如果從生物統(tǒng)計學(xué)的角度來看，在未經(jīng)過統(tǒng)計假設(shè)檢驗以前，只能說說“不一定不一定” 事實上，僅僅憑借樣本平均數(shù)之差不等于事實上，僅僅憑借樣本平均數(shù)之差不等于0就得出其所屬的總體平均數(shù)不相就得出其所屬的總體平均數(shù)不相等是等是不可靠不可靠的的 實際上，進行試驗研究的目的并不在于了解樣本的結(jié)果，而是要通過樣本了實際上，進行試驗研究的目的并不在于了解樣本的結(jié)果，而是要通過樣本了解總體，解總體，通過樣本來推斷總體通過樣本來推斷總體，從而對總體給出一個，從而對總體給出一個全面的結(jié)論全面的結(jié)論 2. 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本思想與步驟統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本思想與步驟 首先根據(jù)具體試驗?zāi)康奶岢鲆粋€假設(shè) 然后在

9、假定該假設(shè)成立（或正確）的前提下進行試驗，并取得數(shù)據(jù)，接著對這些資料進行統(tǒng)計分析，獲得該假設(shè)成立的概率 最后根據(jù)所獲得的概率值的大小來判斷假設(shè)是否成立 如果所得概率較大，就表明我們沒有足夠的理由來否定所作假設(shè)，即必須接受這一假設(shè) 如果所得概率較小，就表明這一假設(shè)不大可能成立，應(yīng)予否定，從而接受其對立假設(shè) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本步驟例3-3：通過以往的大規(guī)模調(diào)查，已知某地成年黑白花奶牛血液中的白細胞數(shù)為52.3，標準差為5.38，現(xiàn)測得10頭黑白花牛白細胞數(shù)分別為53.6，55.3，46.4，57.2，46.0，43.2，48.1，51.1，49.9，44.5； =49.53。試問這批黑白花奶牛是否

10、來自于某地黑白花奶牛總體？x（1）對所研究的總體提出假設(shè)對所研究的總體提出假設(shè)研究某一隨機樣本所在的總體（用研究某一隨機樣本所在的總體（用表示）和一已知總體（用表示）和一已知總體（用0表示）是表示）是否為同一總體，也就是研究這一隨機樣本是否來自于已知總體否為同一總體，也就是研究這一隨機樣本是否來自于已知總體 假設(shè)：假設(shè)： 兩個總體為同一個總體（即兩個總體的總體平均數(shù)相等）兩個總體為同一個總體（即兩個總體的總體平均數(shù)相等）無效假設(shè)（無效假設(shè)（null hypothesis） 用用H0表示表示 即即H0：=0 無效假設(shè)的含義：無效假設(shè)就是假設(shè)兩總體的平均數(shù)相等，即H0：3 .52053.49x3.

11、520假設(shè)樣本平均數(shù) 與已知總體平均數(shù) 77. 20 x由抽樣誤差引起的，并不是兩總體之間的真實差異 兩總體之間的差異是由抽樣誤差所引起的為了在無效假設(shè)被否定后有可以被接受的假設(shè)，因此應(yīng)在設(shè)立無效假設(shè)的同為了在無效假設(shè)被否定后有可以被接受的假設(shè)，因此應(yīng)在設(shè)立無效假設(shè)的同時設(shè)立一個后備假設(shè)時設(shè)立一個后備假設(shè) 備擇假設(shè)（備擇假設(shè)（alternative hypothesis） 用用HA表示表示 即即HA： 3 .52H0A：077. 20 x備擇假設(shè)的統(tǒng)計學(xué)意義：樣本所在總體與已知總體不是同一個總體，即兩總體的平均數(shù)不等，即： 兩總體之間的差異是真實差異，而不是由抽樣誤差引起的 統(tǒng)計假設(shè)檢驗中完整

12、的假設(shè)是：統(tǒng)計假設(shè)檢驗中完整的假設(shè)是： 00H：0AH：兩總體之間的差異是真實差異（2）在假定無效假設(shè)成立的前提下，研究樣本平均數(shù)的抽樣分布，計算樣在假定無效假設(shè)成立的前提下，研究樣本平均數(shù)的抽樣分布，計算樣本平均數(shù)出現(xiàn)的概率本平均數(shù)出現(xiàn)的概率樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)間有一個實際存在的差值：樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)間有一個實際存在的差值：77. 20 x3 .5202238. 5這個差值就是表面效應(yīng)，可能是抽樣誤差，也可能是真實差異，因此需要這個差值就是表面效應(yīng)，可能是抽樣誤差，也可能是真實差異，因此需要借助概率原理來進行判斷借助概率原理來進行判斷 n 第一種方法：計算差值-2.77（或樣本平均數(shù)

13、）（或樣本平均數(shù)）出現(xiàn)的概率在無效假設(shè)成立的前提下，樣本所在的總體與已知總體為同一個總體，因在無效假設(shè)成立的前提下，樣本所在的總體與已知總體為同一個總體，因此樣本所在總體的總體平均數(shù)和方差已知，即：此樣本所在總體的總體平均數(shù)和方差已知，即：xxu070. 13 .5253.4963. 170. 11038. 5nx由于總體方差已知，根據(jù)標準正態(tài)分布就由于總體方差已知，根據(jù)標準正態(tài)分布就可以計算出差值可以計算出差值-2.77出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 63. 1u0.10.11標準化：構(gòu)造統(tǒng)計量 正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布-計算概率n 第二種方法：計算樣本平均數(shù)的接受區(qū)間xxu0根據(jù)標準化公式計算樣本

14、平均數(shù)的接受區(qū)間：根據(jù)標準化公式計算樣本平均數(shù)的接受區(qū)間：1)(00 xxuxuPxux0 xxuxu00接受區(qū)間接受區(qū)間xux0否定區(qū)間否定區(qū)間接受區(qū)間和否定區(qū)間是有一定的概率保證的，保證概率為接受區(qū)間和否定區(qū)間是有一定的概率保證的，保證概率為1-，常用的保，常用的保證概率為證概率為95%和和99%；為顯著水平，常用的顯著水平有為顯著水平，常用的顯著水平有0.05和和0.01x96. 10倘若樣本平均數(shù)落在接受區(qū)間內(nèi)，就接受倘若樣本平均數(shù)落在接受區(qū)間內(nèi)，就接受H0，反之，倘若樣本平均數(shù)落在，反之，倘若樣本平均數(shù)落在接受區(qū)間之外，就否定接受區(qū)間之外，就否定H0，接受，接受HA作為作為0.05顯

15、著水平上接受或否定無效假設(shè)的兩個臨界值顯著水平上接受或否定無效假設(shè)的兩個臨界值 02.58x作為作為0.01顯著水平上接受或否定無效假設(shè)的兩個臨界值顯著水平上接受或否定無效假設(shè)的兩個臨界值 1)(uuuP95%的接受區(qū)間為：的接受區(qū)間為：97.4870. 196. 13 .5296. 10 x68.5670. 158. 23 .5258. 20 x92.4770. 158. 23 .5258. 20 x99%的接受區(qū)間為：的接受區(qū)間為：63.5570. 196. 13 .5296. 10 x（3）根據(jù)根據(jù)“小概率事件實際不可能性原理小概率事件實際不可能性原理”接受或否定無效假設(shè)接受或否定無效假

16、設(shè)小概率事件實際不可能性原理是指在一次試驗中，概率很小的事件是不可小概率事件實際不可能性原理是指在一次試驗中，概率很小的事件是不可能出現(xiàn)的能出現(xiàn)的 在統(tǒng)計學(xué)中，當樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差值出現(xiàn)的概率小于在統(tǒng)計學(xué)中，當樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差值出現(xiàn)的概率小于5%時，就認時，就認為這種差異由抽樣誤差引起的概率較小，而是兩總體間的真實性差異，從為這種差異由抽樣誤差引起的概率較小，而是兩總體間的真實性差異，從而否定無效假設(shè)而否定無效假設(shè) 差值差值-2.77出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為0.10.11，大于，大于0.05，概率較大，概率較大 ；說明樣本平均數(shù)；說明樣本平均數(shù)與已知總體的總體平均數(shù)之間的差異是抽

17、樣誤差的概率較大，而不大可能是與已知總體的總體平均數(shù)之間的差異是抽樣誤差的概率較大，而不大可能是真實差異真實差異 接受無效假設(shè)，也就是說這批黑白花奶牛是來自于某地黑白花奶?？傮w。接受無效假設(shè)，也就是說這批黑白花奶牛是來自于某地黑白花奶?？傮w?？偨Y(jié)：統(tǒng)計假設(shè)檢驗的步驟（1）提出假設(shè)）提出假設(shè) （2）構(gòu)造、計算檢驗統(tǒng)計量（轉(zhuǎn)換為方便計算概率，如）構(gòu)造、計算檢驗統(tǒng)計量（轉(zhuǎn)換為方便計算概率，如u，t值等）值等）（3）查附表，根據(jù)小概率原理作出接受或者否定無效假設(shè)的推斷，并結(jié)）查附表，根據(jù)小概率原理作出接受或者否定無效假設(shè)的推斷，并結(jié)合專業(yè)知識作出合理的、科學(xué)的解釋合專業(yè)知識作出合理的、科學(xué)的解釋 例4

18、-2：1995年，已知某地20歲應(yīng)征男青年的平均身高為168.5cm。2005年在當?shù)?0歲應(yīng)征男青年中隨機抽取85人，平均身高為171.2cm，標準差為5.3cm，問2005年當?shù)?0歲應(yīng)征男青年的身高與1995年的是否相同?解：解：85n2 .171x5 .16803 . 5S（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0：= 168.5HA：168.5與與1995年相比，年相比，2005年當?shù)啬戤數(shù)?0歲應(yīng)征男青年的身高沒有變化歲應(yīng)征男青年的身高沒有變化 與與1995年相比，年相比，2005年當?shù)啬戤數(shù)?0歲應(yīng)征男青年的身高有變化歲應(yīng)征男青年的身高有變化 （2）計算）計算u值值 nSSx575. 0853

19、 . 5xSxu0575. 05 .1682 .17170. 4（3）查表，作出推斷）查表，作出推斷 u0.05=1.96，u0.01=2.58 |u| = 4.70 2.58 = u0.01， P0.01 根據(jù)根據(jù)“小概率事件原理小概率事件原理”可以認為無效假設(shè)不成立，因此否定無效假設(shè)，可以認為無效假設(shè)不成立，因此否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)接受備擇假設(shè) 樣本不是來自于已知總體，即樣本不是來自于已知總體，即2005年當?shù)啬戤數(shù)?0歲應(yīng)征男青年的身高有變化，歲應(yīng)征男青年的身高有變化，比比1995年增高了年增高了 在顯著性檢驗中，否定或接受無效假設(shè)的依據(jù)是在顯著性檢驗中，否定或接受無效假設(shè)的依據(jù)是

20、“小概率事件實際不可能性原小概率事件實際不可能性原理理”用來確定否定或接受無效假設(shè)的概率標準稱為顯著水平，記作用來確定否定或接受無效假設(shè)的概率標準稱為顯著水平，記作 若若|u|u0.05 P0.05， 說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的可能性大，不能否定無效假設(shè)，說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的可能性大，不能否定無效假設(shè)，兩個總體平均數(shù)間兩個總體平均數(shù)間差異不顯著差異不顯著 若若u0.05|u|u0.01 P0.05， 說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的概率說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的概率P在在0.01-0.05之間，表面效應(yīng)之間，表面效應(yīng)屬于試驗誤差的可能性較小，應(yīng)否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)屬于試驗誤差的可能性較小

21、，應(yīng)否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè) 兩個總體平均數(shù)間兩個總體平均數(shù)間差異顯著差異顯著 標記標記 * 若若|u|u0.01 P0.01， 說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的概率說明表面效應(yīng)屬于試驗誤差的概率P不超過不超過0.01，表面效應(yīng)屬于，表面效應(yīng)屬于試驗誤差的可能性更小，應(yīng)否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)試驗誤差的可能性更小，應(yīng)否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè) 兩個總體平均數(shù)間兩個總體平均數(shù)間差異極顯著差異極顯著 標記標記 * 3. 一尾檢驗和兩尾檢驗一尾檢驗和兩尾檢驗 所研究樣本的樣本平均數(shù)，有可能大于已知總體的所研究樣本的樣本平均數(shù)，有可能大于已知總體的總體平均數(shù)，也有可能小于已知總體的總體平均數(shù)，總體平均數(shù)

22、，也有可能小于已知總體的總體平均數(shù)，即即計算所得的計算所得的u值可能會落在標準正態(tài)分布左邊否定值可能會落在標準正態(tài)分布左邊否定區(qū)，也有可能會落在右邊否定區(qū)區(qū)，也有可能會落在右邊否定區(qū) 既考慮左邊否定區(qū)又考慮右邊否定區(qū)即考慮分布既考慮左邊否定區(qū)又考慮右邊否定區(qū)即考慮分布曲線兩尾的檢驗稱為曲線兩尾的檢驗稱為兩尾檢驗兩尾檢驗（two-tailed test）在很多情況下，事先并不知道所抽樣本的樣本在很多情況下，事先并不知道所抽樣本的樣本平均數(shù)是不是肯定大于總體平均數(shù)或肯定小于平均數(shù)是不是肯定大于總體平均數(shù)或肯定小于總體平均數(shù)總體平均數(shù) 因此，備擇假設(shè)因此，備擇假設(shè)HA：0中，有兩種可能性中，有兩種可

23、能性存在，既包括存在，既包括0，又包括，又包括0 兩尾檢驗是生物統(tǒng)計學(xué)中最常用的方法，應(yīng)用范圍極其廣泛兩尾檢驗是生物統(tǒng)計學(xué)中最常用的方法，應(yīng)用范圍極其廣泛 52.349.53n 兩尾檢驗的假設(shè)：兩尾檢驗的假設(shè)：H0：=0，HA：0 有些時候，試驗?zāi)康氖敲鞔_的，即所抽樣本的樣本平均數(shù)只可能大于總體有些時候，試驗?zāi)康氖敲鞔_的，即所抽樣本的樣本平均數(shù)只可能大于總體平均數(shù)平均數(shù)0，或只可能小于總體平均數(shù)，或只可能小于總體平均數(shù)0 在這種情況下，無效假設(shè)否定后的備擇假設(shè)只有一種情況：要么在這種情況下，無效假設(shè)否定后的備擇假設(shè)只有一種情況：要么0 ，要，要么么0 只有一個否定區(qū)（一尾）的假設(shè)檢驗稱為只有一

24、個否定區(qū)（一尾）的假設(shè)檢驗稱為一尾檢驗一尾檢驗（one-tailed test） n 一尾檢驗的假設(shè)：一尾檢驗的假設(shè)：H0：0，HA：0 在在樣本容量和顯著水平相同樣本容量和顯著水平相同的情況下，一尾檢驗的情況下，一尾檢驗的效率高于兩尾檢驗，一尾檢驗比兩尾檢驗更容的效率高于兩尾檢驗，一尾檢驗比兩尾檢驗更容易否定無效假設(shè)易否定無效假設(shè) 若對同一資料進行兩尾檢驗和一尾檢驗，那么若對同一資料進行兩尾檢驗和一尾檢驗，那么在在水平上水平上一尾檢驗顯著一尾檢驗顯著，只相當于，只相當于兩尾檢驗在兩尾檢驗在（查表時雙側(cè)（查表時雙側(cè)2即可）水平上顯著即可）水平上顯著。所以，同。所以，同一資料兩尾檢驗與一尾檢驗所

25、得的結(jié)論不一定一資料兩尾檢驗與一尾檢驗所得的結(jié)論不一定相同相同兩尾檢驗顯著，一尾檢驗一定顯著兩尾檢驗顯著，一尾檢驗一定顯著一尾檢驗顯著，兩尾檢驗未必顯著一尾檢驗顯著，兩尾檢驗未必顯著 n 一尾檢驗的假設(shè)：一尾檢驗的假設(shè)：H0：0，HA：0 4. 假設(shè)檢驗的兩類錯誤假設(shè)檢驗的兩類錯誤 在假設(shè)檢驗中，接受或者否定無效假設(shè)的依據(jù)是在假設(shè)檢驗中，接受或者否定無效假設(shè)的依據(jù)是 “小概率事件實際不可能小概率事件實際不可能性原理性原理”，因此所得出的結(jié)論（不論是接受還是否定無效假設(shè)）都沒有，因此所得出的結(jié)論（不論是接受還是否定無效假設(shè)）都沒有100%的把握，只是在一定的概率范圍內(nèi)認為這種結(jié)論是正確的的把握，只是在一定的概率范圍內(nèi)認為這種結(jié)論是正確的 4.1 第一類錯誤第一類錯誤 如果無效假設(shè)如果無效假設(shè)H0成立，即成立，即H0：=0為真，但：為真，但： 檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)“差異顯著差異顯著”而否定了它（此時，