知識講解指數(shù)與冪的運算基礎

1、宇軒中心 指數(shù)與指數(shù)冪的運算【學習目標】1.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1) 理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行相應的根式計算；(2) 能認識到分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；(3) 能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算.2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；3.通過指數(shù)范圍的擴大，我們要能理解運算的本質(zhì)，認識到知識之間的的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；和轉(zhuǎn)化，認識到符號化思想4.通過對根式與分數(shù)指數(shù)冪的關系的認

2、識，能學會透過表面去認清事物的本質(zhì)【要點梳理】要點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念= a1×4a2×L43× a(n Î Z * )n個a= 1(a ¹ 0) 1ana0a-n=(a ¹ 0, n Î Z*)an2運算法則（1） am × an= am+n ；（2） (am )n = amn ；am（3）= am > n，a ¹ 0)；an（4） (ab)m = ambm .要點二、根式的概念和運算法則1n 次方根的定義：m-n (若 xn=y(nN*，n>1，yR)，則 x

3、稱為y 的n 次方根.n 為奇數(shù)時，正數(shù) y 的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為 n y ；負數(shù) y 的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為y ；零的奇次方根為零，記為 n 0 = 0 ；nn 為偶數(shù)時，正數(shù)y 的偶次方根有兩個，記為± n y ；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為 n 0 = 0 .2兩個等式（1）當n > 1 且 n Î N * 時， ( n a )n = a ；ìa, (n為奇數(shù))（2） a= ínnî| a | (n為偶數(shù))宇軒中心 要點詮釋：要注意上述等式在形式上的與區(qū)別；計算根式的結(jié)

4、果關鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負數(shù)，可先寫成| a | 的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤要點三、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定 a>0，n，mÎN*，且 m 為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：n1= n a= ( n a )m =an m a nn am- m1ma na=n要點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算1有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a > 0，b > 0，a, b ÎQ)(1) aa × ab= aa +b ;(2) (aa )b = aab ;(3) (ab)a = aaba ;當 a>0，p 為無

5、理數(shù)時，ap 是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用. 要點詮釋：(1) 根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪運算；(2) 根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存， 要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換. 如(-4)2 ¹ (4 - 4)2 ；421(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如(-4) 4 ¹ (-4) 2 . 2.指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì)在化簡運算中，也要

6、注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b） 3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的運用，能夠簡化運算.【典型例題】類型一、根式例 1.求下列各式的值：（1） 5 (-3)5 ;(2) 4 (-10)2 ;(3) 4 (3 - p )4 ;(4) (a - b)2 .宇軒中心 ìa - b（a>b）（a=b）（a<b）ï】 -3； 10 ； p - 3 ； 0í【ïb

7、 - aî【】 熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結(jié)果的符號.（1） 5 (-3)5 = -3 ；（2） 4 (-10)2 = 10 ；（3） 4 (3 - p )4 =| 3 - p |= p - 3；ìa - b（a>b）（a=b）（a<b）（4） (a - b)2 =| a - b |= ï0íïb - aî【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應注意，正數(shù)的偶次方根有兩個，例如，4 的平方根是±2 ，但不是4 = ±2 .（2）根式運算中，經(jīng)常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應注意兩者運算順序是否可

8、換，何時可換.舉一反三：【變式 1】計算下列各式的值：（1） 3 (-2)3 ；（2） 4 (-9)2 ；（3） 6 (p - 4)6 ；（4） 8 (a - 2)8 .ìa - 2(a ³ 2)】（1）-2；（2）3；（3） 4 -p ；（4）í【.2 - a(a < 2)î例 2.計算：（1） 5 + 2 6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2 ；11+（2）.2 +12 -1【】 2 2; 2 2 【】 對于（1）需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)求解.對于（2），、分母同乘以分母的有理化因式.則應（1） 5 + 2

9、6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2= ( 3)2 + 2 3 ´ 2 + (2)2 + 22 - 2´ 2 3 + ( 3)2 - 22 - 2´ 2 2 + ( 2)2( 3 +2)2 + (2 - 3)2 - (2 - 2)2=| 3 +2 |+| 2 - 3 |-| 2 -2 |宇軒中心 = 3 +2 + 2 - 3 -（ 2 -2 ）=2 211+（2）2 +12 -12 -12 +1+=2 +1)( 2 -1)(2 -1)( 2 +1)(= 2 -1+2 +1= 2 2【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設法將被

10、開方數(shù)化成完全 n 次方，再解答，或者用整體思1想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，2 +1的、分母中同乘以( 2 -1) .舉一反三：【變式 1】化簡：（1） 3 - 2 2 + 3 (1- 2)3 + 4 (1-2)4 ；2 + 6x + 9(| x |< 3)（2）ì-2x - 2(-3 < x < 1),2 -1；（í【】（1）2）-(1 £ x < 3).4î類型二、指數(shù)運算、化簡、求值例 3.用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中a>0 ）：y2xx3yy6x3（1

11、） a ×2） a × a23 32a ；（；（3） a a ；（4）351135a 2 ； a 3 ； a 4 ； y 4【】先將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運算性質(zhì)化簡即可12+ 15（1） a2 × a = a2 × a 2 = a= a 2 ;223+ 211（2） a3 × 3 a2 = a3 × a 3 = a= a 3 ；31 13 13（3） a a = (a × a 2 )2 = (a 2 )2 = a 4 ；（4）解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)冪y2xx3yy6y2x3 y61)3y2xx3 y2&

12、#215;yx(3=x3x3xy宇軒中心y2x1(x2 × y)21=æ y21 ö2= ç× xy 2 ÷x5= y 4解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)冪èø1)2y2xx3y6y2x3y6= (333yxxyx31 111 1y2 x3y6y2x3 y6=(3 )2 2 =()3 2 23xyxxyx3111æ y2 ö2 æ x3 ö4 æ y6 ö12×ç= ç÷÷ &

13、#231;÷3xyxèøèø èø5= y 4m 【總結(jié)升華】 此類問題應熟練應用 a n = n am (a > 0, m, n Î N *,且n當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進行化簡舉一反三：【課堂：指數(shù)與指數(shù)運算 369050 例 1】【變式 1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡6x（1） a × 2a ；5x × 3 x13- 23 【】（1） 210 a10 ；（2） x【變式 2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪：12）

14、 a a (a > 0) ；（3） b3 × 3 b2（1） 6 8 2 ；（；（4）3x2 )2x( 57311- 35】 212 ； a 4 ； b 3 ； x【1æ7 ö61 7 6】（1） 6 8 2 = 2 × 22 = ç 22 ÷ = 212 ；【èø3 1= (a 2 )21a a =a × a 223a 2113= a 4 ；=（2）（3） b3 × 3 b2 = b3 ×b3= b 3 ；111=（4）=24x 53x2 )2x( 53×宇軒中心 s

15、- 35 111= = x9 1393例 4.計算下列各式：- 2- 22749225（1） () 3 - ()0 5 + (0.008)3 ´891-1138（2） (2 )2 - 4 × (-2) 3 + (- )0 - ()-34527【思路點撥】利用指數(shù)冪的運算法則即可得出132【】（1） ；（2）9【】（1）原式= ( 27= 4 - 7 + 25 ´93= - 17 + 2 = 19825225992´13´(-1312（2）原式= ( ) 2 - 4´(- ) +1- ( )3283【總結(jié)

16、升華】（1）運算順序(能否應用公式)；（2）指數(shù)為負先化正；（3）根式化為分數(shù)指數(shù)冪.舉一反三：【變式 1】計算下列各式：41-1- 8a 3 b176a 3(1) ( ) 3 ´ (-)0 + 80 25 ´ 42 + (3 2 ´3)6 ；¸ (1 -(2).82a 32+ 23 ab + 4b 3】 112； a (-1)(-1 )【1113 + 1´1 + (23 ) 4 ´ 24 + (23 )6 ´ (3= 2 + 24+ 22 ´ 33 = 112 ；】(1)原式= 834【1 + 1 + 13 (a

17、 - 8b)a 3 3(2)原式= a .1(a )11(a 3 )3 - (2b 3 )32【變式 2】計算下列各式：【課堂：指數(shù)與指數(shù)運算 369050 例 3】-13 +211( )-2 + ()+- (1.033 -246 615 6【】21+4宇軒中心 】原式=16+ 6 +5+2 6 + 36 =21+ 156【44例 5.（2016期末）計算：121323)-2 ；（1） (2 )2 - (-7.8)0 - (3 )3 + (48m + m-1 + 2（2）；11-m+ m22( 4ab-1 )3- 112 ×（3） ( )410.1-

18、2 (a3b-3 )2【思路點撥】（1）即合并同類項的想法，常數(shù)與常數(shù)進行運算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運算；（2）對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數(shù)指數(shù)的完全平方關系；(3)具體數(shù)字的運算，學會如何簡化運算.- 111425】（1） ；（2） m 2 + m2 ；（2】【3）【2´13´ 223332991（1）原式= ( ) 2 -1- ( ) 3 + ( )-1´(-2) =-1+-=；3224421 ö2æ- 1ç m+ m2 ÷2m + m-1 + 2- 11èø= m+ m2 ；2（2

19、）- 11- 11m+ m2m+ m22233- 3142 × a 2 × b2´ 2342-2´(- )（3）原式= 2×=2332102510-1´(-2) × a 2 b -2【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力 舉一反三：【變式 1】計算化簡下列式子a2(a > 0)a × 3 a25【】 a 6 或6 a52- 1 - 25= a 6 或 6 a5 【】原式= a2 3ìa(a ³ 0)注意：當n 為偶數(shù)時， a =nn=| a |í.-a(

20、a < 0)î宇軒中心 x-2 + y-2x-2 - y-2-【變式 2】化簡- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33xy3】 -2【xy- 2-】應注意到 x 3 與x 2 之間的關系，對使用乘法公式進行因式分解，【- 2- 2- 2- 2(x 3 )3 + ( y(x 3 )3 - ( y3 )33 )3原式=- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33- 2- 2- 2- 2- 2- 2 - 23 y 3- 2= (x 3 )2 - x 3 × y+ ( y 3 )2 -(x 3 )2 + x+ ( y 3 )2 3

21、- 23xy3= -2(xy)= -2.xy【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應寫為最簡根式.(1)被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式 3】化簡下列式子：3 + 3(2) 4 2 + 2 6(3) x + 2x + 1 +x - 3x + 3x -12332(1) 2 - 2 - 3】 2 2 +6 ； 4 18 + 4 2 ； ì2x(x ³ -1)í-2(x < -1)【î2(3 + 3)2(3 + 3)2(3 + 3)】 (1)原式= = =【3 - 32 -4

22、- 2 32 - ( 3 -1)22(3 + 3)22(12 + 6 3) = 2=2 +6(3 - 3)(3 + 3)6(2) ( 4 18 + 4 2)2 = ( 4 18)2 + 24 18 × 4 2 + ( 4 2)2= 18 + 24 18´ 2 +2 = 3 2 + 24 62 +2 = 4 2 + 26 > 0由平方根的定義得： 4 2 + 2 6 = 4 18 + 4 2(3) 3 x3 - 3x2 + 3x -1 = 3 (x -1)3 = x -1x2 + 2x + 1 =| x + 1 |= ìx + 1(x ³ -1)í-x -1(x < -1)îì2x(x ³ -1)x + 2x + 1 +x - 3x + 3x -1 =2332í.-2(x < -1)