知識(shí)講解指數(shù)與冪的運(yùn)算基礎(chǔ)

1、宇軒中心 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) 理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算；(2) 能認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫(xiě)法，能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；(3) 能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算.2.掌握無(wú)理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實(shí)數(shù)集；3.通過(guò)指數(shù)范圍的擴(kuò)大，我們要能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的的重要性，在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力；和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)到符號(hào)化思想4.通過(guò)對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認(rèn)

2、識(shí)，能學(xué)會(huì)透過(guò)表面去認(rèn)清事物的本質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念= a1×4a2×L43× a(n Î Z * )n個(gè)a= 1(a ¹ 0) 1ana0a-n=(a ¹ 0, n Î Z*)an2運(yùn)算法則（1） am × an= am+n ；（2） (am )n = amn ；am（3）= am > n，a ¹ 0)；an（4） (ab)m = ambm .要點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1n 次方根的定義：m-n (若 xn=y(nN*，n>1，yR)，則 x

3、稱為y 的n 次方根.n 為奇數(shù)時(shí)，正數(shù) y 的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為 n y ；負(fù)數(shù) y 的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為y ；零的奇次方根為零，記為 n 0 = 0 ；nn 為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)y 的偶次方根有兩個(gè)，記為± n y ；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；零的偶次方根為零，記為 n 0 = 0 .2兩個(gè)等式（1）當(dāng)n > 1 且 n Î N * 時(shí)， ( n a )n = a ；ìa, (n為奇數(shù))（2） a= ínnî| a | (n為偶數(shù))宇軒中心 要點(diǎn)詮釋：要注意上述等式在形式上的與區(qū)別；計(jì)算根式的結(jié)

4、果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)，開(kāi)方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫(xiě)成| a | 的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤要點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定 a>0，n，mÎN*，且 m 為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：n1= n a= ( n a )m =an m a nn am- m1ma na=n要點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a > 0，b > 0，a, b ÎQ)(1) aa × ab= aa +b ;(2) (aa )b = aab ;(3) (ab)a = aaba ;當(dāng) a>0，p 為無(wú)

5、理數(shù)時(shí)，ap 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用. 要點(diǎn)詮釋：(1) 根式問(wèn)題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；(2) 根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開(kāi)方并存， 要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換. 如(-4)2 ¹ (4 - 4)2 ；421(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如(-4) 4 ¹ (-4) 2 . 2.指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要

6、注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b） 3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算.【典型例題】類型一、根式例 1.求下列各式的值：（1） 5 (-3)5 ;(2) 4 (-10)2 ;(3) 4 (3 - p )4 ;(4) (a - b)2 .宇軒中心 ìa - b（a>b）（a=b）（a<b）ï】 -3； 10 ； p - 3 ； 0í【ïb

7、 - aî【】 熟練掌握基本根式的運(yùn)算，特別注意運(yùn)算結(jié)果的符號(hào).（1） 5 (-3)5 = -3 ；（2） 4 (-10)2 = 10 ；（3） 4 (3 - p )4 =| 3 - p |= p - 3；ìa - b（a>b）（a=b）（a<b）（4） (a - b)2 =| a - b |= ï0íïb - aî【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，例如，4 的平方根是±2 ，但不是4 = ±2 .（2）根式運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)遇到開(kāi)方與乘方兩種運(yùn)算并存的情況，應(yīng)注意兩者運(yùn)算順序是否可

8、換，何時(shí)可換.舉一反三：【變式 1】計(jì)算下列各式的值：（1） 3 (-2)3 ；（2） 4 (-9)2 ；（3） 6 (p - 4)6 ；（4） 8 (a - 2)8 .ìa - 2(a ³ 2)】（1）-2；（2）3；（3） 4 -p ；（4）í【.2 - a(a < 2)î例 2.計(jì)算：（1） 5 + 2 6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2 ；11+（2）.2 +12 -1【】 2 2; 2 2 【】 對(duì)于（1）需把各項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\(yùn)算性質(zhì)求解.對(duì)于（2），、分母同乘以分母的有理化因式.則應(yīng)（1） 5 + 2

9、6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2= ( 3)2 + 2 3 ´ 2 + (2)2 + 22 - 2´ 2 3 + ( 3)2 - 22 - 2´ 2 2 + ( 2)2( 3 +2)2 + (2 - 3)2 - (2 - 2)2=| 3 +2 |+| 2 - 3 |-| 2 -2 |宇軒中心 = 3 +2 + 2 - 3 -（ 2 -2 ）=2 211+（2）2 +12 -12 -12 +1+=2 +1)( 2 -1)(2 -1)( 2 +1)(= 2 -1+2 +1= 2 2【總結(jié)升華】對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn)，一般是設(shè)法將被

10、開(kāi)方數(shù)化成完全 n 次方，再解答，或者用整體思1想來(lái)解題.化簡(jiǎn)分母含有根式的式子時(shí)，將、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，2 +1的、分母中同乘以( 2 -1) .舉一反三：【變式 1】化簡(jiǎn)：（1） 3 - 2 2 + 3 (1- 2)3 + 4 (1-2)4 ；2 + 6x + 9(| x |< 3)（2）ì-2x - 2(-3 < x < 1),2 -1；（í【】（1）2）-(1 £ x < 3).4î類型二、指數(shù)運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值例 3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中a>0 ）：y2xx3yy6x3（1

11、） a ×2） a × a23 32a ；（；（3） a a ；（4）351135a 2 ； a 3 ； a 4 ； y 4【】先將根式寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可12+ 15（1） a2 × a = a2 × a 2 = a= a 2 ;223+ 211（2） a3 × 3 a2 = a3 × a 3 = a= a 3 ；31 13 13（3） a a = (a × a 2 )2 = (a 2 )2 = a 4 ；（4）解法一：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪y2xx3yy6y2x3 y61)3y2xx3 y2&

12、#215;yx(3=x3x3xy宇軒中心y2x1(x2 × y)21=æ y21 ö2= ç× xy 2 ÷x5= y 4解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪èø1)2y2xx3y6y2x3y6= (333yxxyx31 111 1y2 x3y6y2x3 y6=(3 )2 2 =()3 2 23xyxxyx3111æ y2 ö2 æ x3 ö4 æ y6 ö12×ç= ç÷÷ &

13、#231;÷3xyxèøèø èø5= y 4m 【總結(jié)升華】 此類問(wèn)題應(yīng)熟練應(yīng)用 a n = n am (a > 0, m, n Î N *,且n當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開(kāi)方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)舉一反三：【課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算 369050 例 1】【變式 1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來(lái)，并化簡(jiǎn)6x（1） a × 2a ；5x × 3 x13- 23 【】（1） 210 a10 ；（2） x【變式 2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：12）

14、 a a (a > 0) ；（3） b3 × 3 b2（1） 6 8 2 ；（；（4）3x2 )2x( 57311- 35】 212 ； a 4 ； b 3 ； x【1æ7 ö61 7 6】（1） 6 8 2 = 2 × 22 = ç 22 ÷ = 212 ；【èø3 1= (a 2 )21a a =a × a 223a 2113= a 4 ；=（2）（3） b3 × 3 b2 = b3 ×b3= b 3 ；111=（4）=24x 53x2 )2x( 53×宇軒中心 s

15、- 35 111= = x9 1393例 4.計(jì)算下列各式：- 2- 22749225（1） () 3 - ()0 5 + (0.008)3 ´891-1138（2） (2 )2 - 4 × (-2) 3 + (- )0 - ()-34527【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得出132【】（1） ；（2）9【】（1）原式= ( 27= 4 - 7 + 25 ´93= - 17 + 2 = 19825225992´13´(-1312（2）原式= ( ) 2 - 4´(- ) +1- ( )3283【總結(jié)

16、升華】（1）運(yùn)算順序(能否應(yīng)用公式)；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.舉一反三：【變式 1】計(jì)算下列各式：41-1- 8a 3 b176a 3(1) ( ) 3 ´ (-)0 + 80 25 ´ 42 + (3 2 ´3)6 ；¸ (1 -(2).82a 32+ 23 ab + 4b 3】 112； a (-1)(-1 )【1113 + 1´1 + (23 ) 4 ´ 24 + (23 )6 ´ (3= 2 + 24+ 22 ´ 33 = 112 ；】(1)原式= 834【1 + 1 + 13 (a

17、 - 8b)a 3 3(2)原式= a .1(a )11(a 3 )3 - (2b 3 )32【變式 2】計(jì)算下列各式：【課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算 369050 例 3】-13 +211( )-2 + ()+- (1.033 -246 615 6【】21+4宇軒中心 】原式=16+ 6 +5+2 6 + 36 =21+ 156【44例 5.（2016期末）計(jì)算：121323)-2 ；（1） (2 )2 - (-7.8)0 - (3 )3 + (48m + m-1 + 2（2）；11-m+ m22( 4ab-1 )3- 112 ×（3） ( )410.1-

18、2 (a3b-3 )2【思路點(diǎn)撥】（1）即合并同類項(xiàng)的想法，常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運(yùn)算；（2）對(duì)字母運(yùn)算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；(3)具體數(shù)字的運(yùn)算，學(xué)會(huì)如何簡(jiǎn)化運(yùn)算.- 111425】（1） ；（2） m 2 + m2 ；（2】【3）【2´13´ 223332991（1）原式= ( ) 2 -1- ( ) 3 + ( )-1´(-2) =-1+-=；3224421 ö2æ- 1ç m+ m2 ÷2m + m-1 + 2- 11èø= m+ m2 ；2（2

19、）- 11- 11m+ m2m+ m22233- 3142 × a 2 × b2´ 2342-2´(- )（3）原式= 2×=2332102510-1´(-2) × a 2 b -2【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力 舉一反三：【變式 1】計(jì)算化簡(jiǎn)下列式子a2(a > 0)a × 3 a25【】 a 6 或6 a52- 1 - 25= a 6 或 6 a5 【】原式= a2 3ìa(a ³ 0)注意：當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)， a =nn=| a |í.-a(

20、a < 0)î宇軒中心 x-2 + y-2x-2 - y-2-【變式 2】化簡(jiǎn)- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33xy3】 -2【xy- 2-】應(yīng)注意到 x 3 與x 2 之間的關(guān)系，對(duì)使用乘法公式進(jìn)行因式分解，【- 2- 2- 2- 2(x 3 )3 + ( y(x 3 )3 - ( y3 )33 )3原式=- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33- 2- 2- 2- 2- 2- 2 - 23 y 3- 2= (x 3 )2 - x 3 × y+ ( y 3 )2 -(x 3 )2 + x+ ( y 3 )2 3

21、- 23xy3= -2(xy)= -2.xy【總結(jié)升華】根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)寫(xiě)為最簡(jiǎn)根式.(1)被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開(kāi)方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開(kāi)方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式 3】化簡(jiǎn)下列式子：3 + 3(2) 4 2 + 2 6(3) x + 2x + 1 +x - 3x + 3x -12332(1) 2 - 2 - 3】 2 2 +6 ； 4 18 + 4 2 ； ì2x(x ³ -1)í-2(x < -1)【î2(3 + 3)2(3 + 3)2(3 + 3)】 (1)原式= = =【3 - 32 -4

22、- 2 32 - ( 3 -1)22(3 + 3)22(12 + 6 3) = 2=2 +6(3 - 3)(3 + 3)6(2) ( 4 18 + 4 2)2 = ( 4 18)2 + 24 18 × 4 2 + ( 4 2)2= 18 + 24 18´ 2 +2 = 3 2 + 24 62 +2 = 4 2 + 26 > 0由平方根的定義得： 4 2 + 2 6 = 4 18 + 4 2(3) 3 x3 - 3x2 + 3x -1 = 3 (x -1)3 = x -1x2 + 2x + 1 =| x + 1 |= ìx + 1(x ³ -1)í-x -1(x < -1)îì2x(x ³ -1)x + 2x + 1 +x - 3x + 3x -1 =2332í.-2(x < -1)