圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧，、常規(guī)七大題型:1中點(diǎn)弦問(wèn)題具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法點(diǎn)差法:設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,yi)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論，消去四個(gè)參數(shù)。如:2 21篤備1(aa bb 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(Xo,yo)，那么有Xoa2x 2 2 a0,b0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x°,yo)那么有Xoa3y2=2px p>0與直線I相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),那么有2yok=2p,即 yok=p.典型例題2y給定雙曲線x1。過(guò)A

2、2, 1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P 及F2，2求線段F1 P2的中點(diǎn)F的軌跡方程。2焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。2 2典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓 務(wù) 占 1上任一點(diǎn)，F(xiàn), c,o)， F2(c,o)為焦點(diǎn), a bPF1F2，PF2 F1。1求證離心率esin( )；sin sin3直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的根本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判 別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來(lái)處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過(guò)圖形的直觀 性幫助分析解決問(wèn)題，如果直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大

3、曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。1求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)2設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。4圓錐曲線的相關(guān)最值范圍問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值范圍問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>假設(shè)命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。 <2>假設(shè)命題的條件和結(jié)論表達(dá)明確的函數(shù)關(guān)系式，那么可建立目標(biāo)函數(shù)通常利用二次 函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式求最值。1，可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過(guò)解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不

4、 等式或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于2首先要把 NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問(wèn)題，函數(shù)思想。最值問(wèn)題的處理思路：1 、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān) 鍵是由方程求 x、 y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)M a,0且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B,|AB| < 2p1求a的取值范圍；2假設(shè)線段AB的垂

5、直平分線交 x軸于點(diǎn) 比求厶N(yùn)AB面積的最大 值。5求曲線的方程問(wèn)題1曲線的形狀這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題直線L過(guò)原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。假設(shè)點(diǎn) A-1, 0和點(diǎn)B0，8關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。2 曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q 2, 0和圓C: x2+y2=i,動(dòng)M點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。6存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。當(dāng)然也可以利

6、用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決2 2典型例題橢圓 C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對(duì)于直線43y 4x m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)7兩線段垂直問(wèn)題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用k1 k2yi y2i來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)X2運(yùn)算來(lái)處理。典型例題直線l的斜率為k ,且過(guò)點(diǎn)P( 2,0),拋物線C:y2 4(x 1)，直線丨與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)如圖。1求k的取值范圍；2直線丨的傾斜角 為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺(jué)得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求的

7、策略，往往能夠減少計(jì)算量。 下面舉例說(shuō)明：1充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線3x 4y m 0與圓X y2 x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè) OP OQ，求m的值。2充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。典型例題中心在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點(diǎn)，且 OP OQ，3充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以防止求曲線

8、的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過(guò)兩圓C1：x2y24x 2y 0和C2:x2y22y 40的交點(diǎn)，且圓心在直線 丨：2x 4y 10上的圓的方程。4充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說(shuō)的三角代換法。余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題.這X2典型例題P為橢圓篤a2y1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四b邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)。5線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程

9、，方程的兩根設(shè)為xa，Xb，判別式為、5 / A那么|AB| .1 k2 |Xa Xb|1 k2-，假設(shè)直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)|a|算過(guò)程。例 求直線x y 10被橢圓x 4y16所截得的線段AB的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。F.|、F2是橢圓2 X251的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過(guò)F1的弦，假設(shè)|AB| 8，求值 |F2A| | F2B| 禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例 點(diǎn)A 3, 2為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2 4x上 移動(dòng)

10、，假設(shè)|PA| |PF|取得最小值，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)藏:1. 直線方程的形式1直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。2與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan ,0,) 點(diǎn)到直線的距離d AX0 By0 2 C夾角公式：d A Btan1 k2人3弦長(zhǎng)公式直線 y kx b上兩點(diǎn) A(Xi,yJ,B(X2,y2)間的距離： AB Ji k2|x x?J(1 k2)(xi X2)2 4x1X2 或 AB Ji 右 |yi y24兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1

11、) 、橢圓的方程的形式有幾種？三種形式2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m 0, n 0且m n)m n距離式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a參數(shù)方程： x a cos , y bsin(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：-1(m n 0) m n距離式方程： 卜(xc)y2、.、(xc)2y2 | 2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：近；雙曲線：近；拋物線：2paa(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)2如：印F2是橢圓4足MFj |MF22那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點(diǎn)

12、三角形面積公式：P在橢圓上時(shí)，S f,pf2b2 tan-2P在雙曲線上時(shí)，S FiPF2 b cot 1 2 2其中 F1PF2,cos|PFj2 IPF2I2 4c2| PF11 | PF2 | PF1 | PF2 |cos(6)、 記住焦 半 徑公式： 1橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a exg；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a ey°，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減2雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e| xo | a3拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|為|衛(wèi),焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為|y1 |衛(wèi)2 2(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲(chǔ)藏1、點(diǎn)差法中點(diǎn)弦問(wèn)題2仝1的弦AB中點(diǎn)那么有32B X2,y2 ， M

13、 a,b 為橢圓42 2 2 2 2222仝生1,空空1 ;兩式相減得二竺 § 亠0434343xi X2 Xi X2yi y yi 兀 、,_ 3a43AB= 4b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類(lèi)的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式 0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦 長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn) A(x(,yi),B(X2，y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方 程得到兩個(gè)式子，然后 -，整體消元，假設(shè)有兩個(gè)字母未知數(shù)，那么要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比方直線過(guò)焦 點(diǎn)，那么可以利用三點(diǎn)A、B、

14、F共線解決之。假設(shè)有向量的關(guān)系， 那么尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè) 直線為y kx b，就意味著k存在。例i、三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2 5y280上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn) A在y軸正半軸上.i假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BC的方程;2假設(shè)角A為900 , AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問(wèn)抓住“重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦BC的斜率，從而寫(xiě)出直線BC的方程。第二問(wèn)抓住角A為90°可得 出AB丄AC,從而得XiX2 ym i4(yi y?) i6 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn)D的

15、軌跡方程；解：i設(shè) B “yi，C(X2,y2 ),BC 中點(diǎn)為(“y。),F(2,0 測(cè)有22Xiyi20162 2X2y220 16兩式作差有(XiX2)(XiX2)20(yi y2)(yiy?)16y°k4(1)F2,0為三角形重心，所以由竺空2，得X0 3，由y1 y2 4 0得33y。2，代入1得k 65直線BC的方程為6x 5y 2802由 AB丄 AC 得 X1X2 y°2 14力 y2 16 02設(shè)直線 BC 方程為 y kx b,代入4x2 5y280, 得4 5k2x2 10bkx 5b280010kbX1 X2 4 5k2， X1X25b2804 5k

16、2y1y28k4 5k24b280k24 5k2代入2式得29b 32b164 5k20 ,解得b 4舍或b直線過(guò)定點(diǎn)0 ,4，設(shè)D99y2 9x232y 160所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2 y4、設(shè)而不求法例2、如圖，梯形ABCD中AB4yx,y,貝卩91 , 即XX2 CD ,點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過(guò)c、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)33時(shí)'求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建2 2立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，假設(shè)設(shè)C C,h，代入篤 爲(wèi)1，求得h2a b2 2進(jìn)

17、而求得xe,yE，再代入篤爲(wèi)1 ,建立目標(biāo)函數(shù)a bf(a,b,c, )0,整理 f(e,)Oh可米取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,)0 ,整理f(e, ) 0,化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOy，那么CD丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)依題意，記A c, 0 , C C, h,Ex0，y0，其中c >B|為雙曲線的半焦距,h是梯形的咼，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得xocC 2_2c1 2 1hy0廠2 2設(shè)雙曲線的方程為字十1,那么離心率e £aX由點(diǎn)C、E在雙曲

18、線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e -代入雙曲線方 a程得e2hjb2由式得.2 2b，將式代入式，整理得e24 4124故由題設(shè)？3解得e2e2所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 , .10分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，到達(dá)設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,Xecc22 c1 2 1設(shè)3；得，I 1解得AEa exE , ACexC ,又他，乂 AC|33e224-.7 e .10廠代入整理£，由題e 1所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7,.105、判別式法例3雙曲線C工 藝1，直線丨過(guò)點(diǎn)A . 2,0，斜率為k，當(dāng)

19、0 k 12 2時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線丨的距離為.2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有 這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B作與丨平行的直線，必 與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l : y k(x . 2)0 k 1直線i'在i的上方且到直線I的距離為.2I': y kx xlk把直線'的方1:代入雙曲線方程，消去y,令判別式解得k的值解題過(guò)程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考

20、，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B到直線I的距離為v'2 ，相當(dāng)于化歸 的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M(x, . 2 x2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，那么點(diǎn) M到直線I的距離為:kx V2 x2<2kA2 1于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx,從而有kx 2 x2V2kkx J2 x2 J2k.于是關(guān)于x的方程kx . 2 x2.2k . 2(k2 1) 22 x2( 2(k2 1) 2k kx)2,2(k21) 2k kx 0. 2k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x . 2(k2 1)

21、2k 2 0, 2(k21) 2k kx 0.由0 k 1可知： _ _ 2方程 k2 1 x2 2k . 2(k2 1). 2kx . 2(k2 1). 2k 2 0 的二根同正，故,2(k1),2k kx 0恒成立，于是 等價(jià)于 _ 2k21 x2 2k . 2(k21)、2kx . 2(k21)、2k 20.由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得,2 、5k.5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C：x2 2y2 8和點(diǎn)P4，1，過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使APPBAQQB求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的

22、方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 .因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件:APPBAQQB來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x 4(Xa Xb) 2XaXb，要建立X與k的關(guān)系，只需 ZV18 (Xa Xb)將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可

23、以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決此題，已經(jīng)做到心中有數(shù)APAQPBQB14(XaXb)2XaXb8 (Xa Xb )將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程不含k，那么可由y k(x 4) 1解得從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)k J，直接代入x f k即可得到軌跡方程。 x 4程。簡(jiǎn)解：設(shè) A “1 ,B(X2, y2),Q(x,y)，那么由 APPBAQ可得：4QBX1X2X 捲x2 X解之得：X4(x1 x2) 2

24、x28(為 X2)1設(shè)直線AB的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓C的方程,消去y得出關(guān)于x的一元二次方程:2k21 x24k(1 4k)x 2(14k)224k 3xk 2k(x 4)1聯(lián)立，消去k得:2xy 4(x 4)0.在2中，由64k264k240，解得2 102 10， 4結(jié)合3、，、，4k (4k 1)X1X22 >2k 12XX22(14k)8k2 1入 1丨，可求得16 2 10 x916 2 109.故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x y40 16 2而 16 2JT099點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到

25、.這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道6、求根公式法2y 1順次交于A、B兩點(diǎn),AP= 2，但從此后卻一PBXb2例5設(shè)直線丨過(guò)點(diǎn)P0,3，和橢圓+ 試求空的取值范圍.PB分析：此題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到: 籌莫展，問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取 值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)或某幾個(gè) 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式或方程，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二那么是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系分析1：從第一條想法入手，舉二空已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于PBXb有兩個(gè)變量Xa,Xb，同時(shí)這兩個(gè)變量

26、的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將xa,xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得 出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.簡(jiǎn)解仁當(dāng)直線1垂直于x軸時(shí)可求得篇1;當(dāng)I與x軸不垂直時(shí)，設(shè) Ax , BX2, y2，直線I的方程為:y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得 旳227k 69k2 59k24因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k 0的情0時(shí),所以APPB27k 69k25 x2 x2 9k24xL= 9k 2 斗_5 = 1X29k 2.9k2 5Xi27k

27、 6 9k2 529k 418k=9k 2.9k251 9 29 2185k254k)2 180 9k240,解得k2所以綜上1895k2AP 1 1 .PB 5分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,那么應(yīng)該考慮到:判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái).一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但此題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于AP冬不是關(guān)于Xi,X2的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.原因找到后，解決問(wèn)題的X2方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 Xi,X2的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.簡(jiǎn)解2:設(shè)直線丨的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得X!

28、 x29k24 x2 54kx 45 0*54 k9k24459k24令魚(yú)，那么,X2324k2245k20在*中由判別式0,可得k2 I，從而有15.432嚴(yán)236，所以4- 2 36，解得45k20555結(jié)合01 得 1 1.5綜上，,AP11 .PB5點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能 說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有 見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 .

29、第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、 公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，到達(dá)解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推 理嚴(yán)密。通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)， 且 AF FB 1， OF1 .I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；H記橢圓的上頂點(diǎn)為M ,直線丨交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否 存在直線I ,使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？假設(shè)存在，求出直線I的方程; 假

30、設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程:I由 AF?fB 1, of 1(a c)(a c) 1 , c 1a 、2,b 1寫(xiě)出橢圓方程由F為PQM的重心* PQ MF, MP FQkPQ 12 23x 4mx 2m 20兩根之和，l 兩根之積MP ? FQ 0解題過(guò)程:得出關(guān)于 m的方程解出mI如圖建系，設(shè)橢圓方程為2 2卑冬 1(a b 0)那么c 1a b又T AF FB 1 即(ac) (a c) 12故橢圓方程為-5假設(shè)存在直線丨交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心,2m2 234m1) m2解得m 4或m 1舍經(jīng)檢驗(yàn)m害符合條件.于是設(shè)直線1為yxm ,由y x m 得2 2彳得 ,x

31、 2y 22 23x 4mx 2m20T MP FQ0為(X21)Y2(Y11)又ym(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2:m)(X1m 1)0即設(shè) P(Xi,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1,2x1x2 (x1 x2)(m1)2 mm 0由韋達(dá)定理得點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零.例7、橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三點(diǎn).2I求橢圓E的方程:“假設(shè)點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0)，當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，

32、求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：設(shè)方程為mx2 ny21T J由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)得到m, n的方程l I解出m,n由 DFH內(nèi)切圓面積最大_轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大得出D點(diǎn)坐標(biāo)為0,：/ 33轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)r內(nèi)切圓3-DFH面積最大值為J3S DFH周長(zhǎng)r內(nèi)切圓21解題過(guò)程： I設(shè)橢圓方程為mx2 n y2 1 m 0, n 0 將A( 2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入橢圓E的方程，得 24m 1,229 解得m -, n -.二橢圓E的方程X 1 .m n 143434H| FH | 2，設(shè) ADFH 邊上的高為 S dfh - 2 h h 2

33、當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為.3，所以S dfh的最大值為3 .設(shè)厶DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值6.所以,S DFH所以R的最大值為身所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為宵點(diǎn)石成金:s的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)r的內(nèi)切圓例8定點(diǎn)C( 10)及橢圓x2 3y25，過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A, B兩點(diǎn).I假設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 1，求直線AB的方程；H在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維流程:I解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x1)，將 y k(x 1)代入 x2 3y25，消去y整理得(3k21)X2 6k

34、2x3k2 50.設(shè) A(X!，yj，B(X2，y2)，36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 那么6k2片 X23.0,(1)X2白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是得_X2、23k23k21k乜，符合題意。3所以直線AB的方程為x 3y 10，或 x ,3y1 0.H解：假設(shè)在X軸上存在點(diǎn)M (m,0)，使MA MB為常數(shù). 當(dāng)直線AB與 x軸不垂直時(shí)，由I 知x-ix26k23k21 'X-|X23k2 53k2所以MA MB (%m)(x2 m)y2(x1 m)(x2 m)k2(Xi 1)(X21)(k21)X1 X2(k2 m)(x1 X2) k2m2.將代入，整理得MA MB(6m

35、1)k2 53k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m26m 143(3k21)注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有6m 14 0, m ,此時(shí)3 4MA MB -.9當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為1,2"31,23，當(dāng) m7時(shí)，亦有MA MB -.39綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M7 ,0，使MA MB為常數(shù).3點(diǎn)石成金:MA MB(6m 1)k2 53k2 1(2m 1)(3k2 1) 2m £3k2 1m26m 143(3k21)例9、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,1,平行于OM的直

36、線I在y軸上的截距為m m半0，I交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)I求橢圓的方程；H求m的取值范圍；皿求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 思維流程：2 2解：1設(shè)橢圓方程為務(wù)占1(a b 0)aba 2b28那么41 解得2a2 b21b222 2橢圓方程為X y 12HT直線I平行于0M，且在y軸上的截距為m又Kom_ 1I的方程為：y1x m22y1x m由2222 x2mx2m240xy 182直線I與橢圓交于A、 B兩個(gè)不同點(diǎn)，(2m)24(2m24)0,解得 2 m 2,且m 0皿設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki, k2,只需證明ki+k2=0即可設(shè) A(Xi,yJ,B(X2,

37、y2), 且 x1 x22m,x1x2 2m2 4那么ky1存2y21X12X22由X22mx2m240可得x1x22m,x1x22m2 4而kk2y1 1y21 (y11)(X22) (y21)(X12)x122(X12)(X22)X2gx1m1)(X22)J(2X2 m1)(x12)(X12)(X22)X1 x2(m2)(X1X2)4( m 1)(X12)(X22)2m24 (m2)( 2m)4(m1)(X12)(X22)2m24 2m：2 4m4m40(Xi 2)(X22)ki k20故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形ki k

38、2 0例10、雙曲線 篤 爲(wèi)1的離心率e蘭衛(wèi)，過(guò)A(a,0), B(0, b)的直a b3線到原點(diǎn)的距離是三.21求雙曲線的方程;2直線y kx 5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C, D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值思維流程：解：v 122 VT原點(diǎn)到直線AB :冬丄i的距離a3'a bab、a 2 b 2b 1, a x 3.ab 、3c 2 '-故所求雙曲線方程為y2 132 把y kx 5代入x23 y23中消去 y ,整理得(1 3k2)x2 30kx 78 0.設(shè) C(X1,yJD(X2,y2),CD 的中點(diǎn)是 Eg y°),那么X。k BEX1 X22y°1x。15 k3ky。kx 053kX0 ky° k 0,即目心k 0,又k故所求k= 士 > 7 .0,k2點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上BC=BD BE丄CD;例11、橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.I求橢圓C