Banach不動(dòng)點(diǎn)理論及其應(yīng)用

1、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用綜述摘要本文主要研究Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。1介紹了壓縮映射原理證明隱函數(shù)存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的應(yīng)用；23介紹了應(yīng)用壓縮映射原理需要注意的問(wèn)題；4介紹了不動(dòng)點(diǎn)定理在證明Fredholm積分方程和Volterra積分方程解的存在唯一性以及在求解線性代數(shù)方程組中的應(yīng)用；5討論了不動(dòng)點(diǎn)定理在區(qū)間套定理的證明中的應(yīng)用、壓縮映射原理壓縮映射原理的幾何意義表示：度量空間中的點(diǎn)x和y在經(jīng)過(guò)映射后，它們?cè)谙窨臻g中的距離縮短為不超過(guò)d（x,y）的倍（1）。它的數(shù)學(xué)定義為：定義設(shè)X是度量空間，T是X到X的映射，若存在，1,使得對(duì)所有x,yX,有下式成立()d(Tx,Ty

2、)d(x,y)則稱(chēng)T是壓縮映射。定理（不動(dòng)點(diǎn)定理）：設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即方程Tx=x有且只有唯一解。證明：設(shè)是X種任意一點(diǎn)，構(gòu)造點(diǎn)列',使得Xi TXo,X2TXiT2X0,|,XnTXn 1 TnX0()則Xn為柯西點(diǎn)列。實(shí)際上,d ( xm 1 , Xm)d(Txm,Txm1)d (xm , Xm 1)d(TXm1,TXm2)d (xm 1, xm 2 )()|l|md(x1,X0)根據(jù)三點(diǎn)不等式，當(dāng)nm時(shí),d(xm,Xn)d(xm,xm1)d(xm1,xm2)1d(xn1,Xn)1111n1)d(x0,x1)()d(%,x)所以

3、當(dāng)m,n使得xmx(md(Xm,Xn)時(shí)，d(Xm，Xn)m-d(Xo,X1)(n m)10,即Xn為柯西列。由于X完備,),又由三點(diǎn)不等式，有()d(X,TX)d(X,Xm)d(Xm,TX)d(X,Xm)d(Xm1,X)()上面不等式右端在m時(shí)趨于0,故d(X,TX)0,即xTx。不動(dòng)點(diǎn)的唯一性：假設(shè)同時(shí)存在xX,有xTx成立，則d(x,x)d(Tx,Tx)d(x,x)()由于1,所以必有d(x,x)0,即xxo證畢。定理中的映射T是定義在整個(gè)X上的，但實(shí)際上有些問(wèn)題中遇到的映射T只在X的一個(gè)子集上有定義或壓縮性質(zhì)。為了適應(yīng)這種情形的需要，定義X上的閉子集的不動(dòng)點(diǎn)定理如下。定理設(shè)(X,)是完

4、備的。T是XX的映射。若在X的閉球Yx:(x,xo)r上T是壓縮的，并且滿足條件(Xo，TXo)(1)r,(Ty,Tx)(y,x),x,yY()此處是滿足01的常數(shù)，則T在Y內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：Y作為(X,)內(nèi)的閉集按X的距離成一完備距離空間，倘能證明T(Y)Y,那么T就是YY上的壓縮映射，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理即可得證。實(shí)際上，任取xY,令yTx,則(,y)(x0,Tx)(x0,Tx°)(Tx°,Tx)(1)r(%,x)r,可見(jiàn)yY,證畢。應(yīng)用壓縮映射原理需要注意的幾個(gè)方面(1)根據(jù)證明可知，為了獲取不動(dòng)點(diǎn)x,可以從X中的任意一點(diǎn)出發(fā)(2)在T滿足d(Tx,Ty)d(x,y)

5、,xy()的條件下，T在X上不一定存在不動(dòng)點(diǎn)。例：令Txxarctanx,xR,T是從R到R的映射。設(shè)x,yR,則TxTyxy(arctanxarctany)()2根據(jù)微分中值定理，必定存在(x,y),使得TxTy(xy)2,故1TxTyxy()即d(Tx,Ty)d(x,y),但是當(dāng)Txx時(shí)，方程arctanx萬(wàn)無(wú)解，因此，映射T沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。倘若給滿足()的算子加上適當(dāng)?shù)南拗?，便能保證T有不動(dòng)點(diǎn)。定理設(shè)(X,)完備，映射T:XX滿足條件()o若T(X)X是列緊集，則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：取的閉包X。它是X內(nèi)的自列緊集(即緊致性)，而且有T(一)一。在一上定義一個(gè)實(shí)值函數(shù)(x)(x,x)()(

6、x)是一上的連續(xù)函數(shù)。它在一上達(dá)到最小值，即存在x*使(x,Tx)min(x,Tx)x則(x,Tx)0。假若不然，即(x,Tx)0,考慮Tx和T2x,它們都屬于。而由()得一*一2*一*、,，一、(Tx,Tx)(x,Tx)min(x,Tx)()x'"得到矛盾，不動(dòng)點(diǎn)的存在性證得。那么一方面有T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。假設(shè)有xx使得Txx,Txx(Tx,Tx)(x,x),另一方面由()有(Tx,Tx)(x,x),矛盾，可見(jiàn)xx。證畢。(3)壓縮映射原理中，距離空間的完備性不能少。例：設(shè)X(0,1具有由R誘導(dǎo)出的距離，定義T如下：Tx=x()2T是壓縮映射，但是沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。(4)萬(wàn)程T

7、xx的不動(dòng)點(diǎn)x在大多數(shù)情況下實(shí)際上不易求得，因此常用xn作為其近似值。這樣就要估計(jì)xn與x*的誤差。若用xn近似代替x*,由于xnT41,則其誤差為n*、d(xn,x)-dgT%)()1這就是誤差估計(jì)式。二、隱函數(shù)存在定理和皮卡定理定理(隱函數(shù)存在定理)：設(shè)函數(shù)f(x,y)在帶狀域axb,y()中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y),如果還存在常數(shù)m和M滿足0mfy(x,y)M,mM()則方程f(x,y)0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)y(x)作為解：f(x,(x)0,xa,b()證明：在完備空間Ca,b上作映射A,使對(duì)任意的函數(shù)Ca,b,有1.(A)(x)(x)f(x,(x)o按

8、照定理?xiàng)l件，f(x,y)是連續(xù)的，故(A)(x)也M連續(xù)，即ACa,b0所以A是Ca,b到自身的映射。A是壓縮映射。實(shí)際上，對(duì)于1,2Ca,b,根據(jù)微分中值定理，存在01,滿足(A2)(x)(Ai)(x)|112(x)-f(x,2(x)1(x)77f(x,1(x)MM2(x)1(x)M_fyx,1(x)(2(x)1(x)|(2(x)1(x)2(x)1(x)|(1m)Mmm由于01,所以令1一，則有01,且MM(A2)(x)(A1)(x)(2(x)1(x)按Ca,b中距離的定義，即知()()因此，A是壓縮映射。由不動(dòng)點(diǎn)定理，存在唯一的Ca,b滿足A ，即d(A2,A1)d(2,1)1-(x)(x

9、)-f(x,(x),也就是說(shuō)f(x,(x)0,axb。證畢。M定理(皮卡定理)：設(shè)f(t,x)是矩形D(t,x)|ttoa,xxob()上的二元連續(xù)函數(shù)，設(shè)f(t,x)M,(t,x)D,又f(t,x)在D上滿足利普希茨條件，即存在常數(shù)K,使對(duì)任意的(t,x),(t,v)D,有f(t,x)f(t,v)Kxv()那么方程dxf(t,x)在區(qū)間Jto,to上有唯一的滿足初值條件x(to)xdt的連續(xù)函數(shù)解，其中().Tbmina,M,K為了證明本定理，首先有如下結(jié)論和定理:結(jié)論：Ca,b是完備的度量空間定理完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X上的閉子空間(皮卡定理)證明：設(shè)Cto%表

10、示區(qū)間J=心上連續(xù)函數(shù)全體按距離d(x,y)maxx(t)y(t)所成的度量空間，由上面結(jié)論，Cto上是完備度量空間，又令C表示Cto,to中滿足條件x(t)Xo|M(tJ)()連連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間，不難看出C是閉子空間，由上面定理知，C是完備度量空間。令t(Tx)(t)xof(t,x(t)dt()t0則T是C到C的映射。事實(shí)上，因Mb,所以若xC,那么當(dāng)tt。,to時(shí)，(t,x(t)D,又因f(t,x)是D上二元連續(xù)函數(shù)，所以上式右端積分有意義。又對(duì)一切tJ,(Tx)(t)x。:f(t,x(t)dtMtt。m|()to所以，當(dāng)xC時(shí)，TxCo下面證明T是壓縮映射，實(shí)際上，由條件()，對(duì)

11、C中任意兩點(diǎn)x和v,有(Tx)(t)(Tv)(t)tf(t,x(t)f(t,v)dttto(Kmaxx(t)v(t)Kd(x,v)toaatb()令K,則01,且d(Tx,Tv)max(Tx)(t)(Tv)(t)ad(x,v)()所以T是C上的壓縮映射。由不動(dòng)點(diǎn)定理，存在唯一的xC,使得Txx,即tx(t)xof(t,x(t)dt()to且x(to)xoo兩邊對(duì)t求導(dǎo)，即得dx(t)f(t,x(t)o這說(shuō)明x(t)是方程dtdx(t)dtf(t,x(t)滿足初值條件x(to) xo的解。另外，設(shè)x也是此方程滿足初值條件的解，那么tx(t)xtf(t,x(t)dtt0因而xC,且x是T的不動(dòng)點(diǎn)，

12、由不動(dòng)點(diǎn)唯一性必有xx,即方程dx(t)dtf(t,x)在區(qū)間to,to上有唯一的滿足初值條件x(to) x。的連續(xù)函數(shù)解，證畢。三、利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明區(qū)間套定理定理(區(qū)間套定理)：若閉區(qū)間列an,bn具有如下性質(zhì)an,bnani,bni,n1,2,3,|(2)“m(bn%)0則存在唯一的，使得an，bn,n1,2,|在數(shù)學(xué)分析中，可根據(jù)單調(diào)有界原理證明區(qū)間套定理，下面采用不動(dòng)點(diǎn)定理證明證明：由條件(2),不妨設(shè)該區(qū)間列中任意兩個(gè)區(qū)間不完全重合，顯然閉區(qū)間ak,bk按距離d(x,y)xy,x,y同1k1,2,|是完備距離空間。作映射：f(x)by1-ak-L(xak)aki()bk

13、ak于是對(duì)任意的xak，bj有f(x)aki,bki同八,從而f(x)是Eh到自身的映射。對(duì)于x,xRh,有f(x)f(x)111ak1|xxI()bkak令1(t1ak11),由于ak,bj同山/,于是0bak11,從而2bkakbkak01且bk1ak1,因此bkakf(x)f(x)xx|()所以f是akh到自身的壓縮映射。由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可知，f在圖八上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，即存在kakh,使得f(k)k,k1,2,|(,因aki,bkiEh,k1,2,“故存在anh,n1,2,|假設(shè)另存在an,bn,n1,2,HI,則有an,bn,n1,2,|,于是|bnan,n1,2,|()從而l

14、im(bnan)0,n1,2,|,因此,證畢。四、不動(dòng)點(diǎn)定理解線性代數(shù)方程組定理設(shè)有線性方程組x=Ax+b,其中Aaj是nn矩陣，x(x1,*2,|卜Xn)T是未知向量，b(6,4,|”,4是已知的n維列向量，若矩陣A滿足條件n()maxaj11 in.djj1則方程組x=Ax+b有唯一的解證明：令XFn,對(duì)于彳E意的x(x1,x2,|,xn)T,y=(乂,丫2,|卜yn)TX,定義它們的距離為d(x,y)maxxkyk,對(duì)于任意的xX，定義映射T:XX為:1kn/Tx=Ax+b。因?yàn)閐 (Tx,T y)max (1 i nnajxjh)n(aj yjh)j 1max1 i naijxjyjm

15、ax1 i nmax1 i nxjy, maxj 1 i naaijj 1aj d (x, y)()故T為壓縮映射，由(Fn,d)的完備性知，T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x,因此xTxAxb,即方程x=Ax+b存在唯一解。五、積分方程解的存在唯一性定理(第二類(lèi)Fredholm積分方程的解)設(shè)第二類(lèi)Fredholm線性積分方程x(t) f(t)bK(t,s)x(s)ds a()其中為參數(shù)，對(duì)充分小的()有()(1)當(dāng)fCa,b,K(t,s)是定義在atb,asb內(nèi)的連續(xù)函數(shù)時(shí),唯一的連續(xù)解x(t)Ca,b,而且x(t)是迭代序列Xn(t)f(t)abK(t,s)xni(s)ds,n0,1,2,|的極限，其

16、中x0(t)可取Ca,b中的任意函數(shù)；(2)當(dāng)fL2(a,b),積分核K(t,s)是定義在atb,asb內(nèi)的可測(cè)函數(shù)，滿足bb2K(t,s)dtds()aa(K(t,s)是定義在atb,asb內(nèi)的L2可積函數(shù))時(shí)，()有唯一的解xL2(a,b)。證明：(1)令T:Ca,bCa,b為b(Tx)(t)f(t)K(t,s)x(s)ds()a由于f(t),K(t,s)分別在a,b和a,ba,b上連續(xù)，當(dāng)xCa,b,TxCa,b,即T是Ca,b到自身的映射，并且算子T的不動(dòng)點(diǎn)x就是積分方程的解。一般情況下，T不是壓縮映射，但當(dāng)|1/M(ba)時(shí)，T為壓縮映射，其中MmaxK(t,s)。事實(shí)上，對(duì)Ca,b

17、中的任意兩元素x,y有at,sbd(Tx,Ty)max(Tx)(t)(Ty)(t)at,sbbmaxK(t,s)x(s)y(s)dsat,sbamaxaK(t，s)x(s)y(s)dsat,sbaMmaxx(s)y(s)|(ba)at,sbIM(ba)d(x,y)()可見(jiàn)，當(dāng) M(b a)1時(shí)，T為壓縮映射，由于Ca,b為完備空間，故T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x ,因止匕,1/ M (ba)時(shí)，積分方程()有唯一的連續(xù)解。(2)令T:L2(a,b)L2(a,b)為(Tx)(t)f (t)bK(t,s)x(s)ds a()K(t,s)x(s)dsdtbaK(s,t)2 ds| a|x(s):dsdtK

18、(s,t) 2 dsdtjx(s)2ds()以及T的定義可知，T是由L2(a,b)到自身的映射，取|充分小使得()21/2K(t,s)dsdt1于是d(Tx,Ty)1/2(Tx)(t) (Ty)(t)2dt2K(t,s)(x(s) y(s)ds dt1/2K(s,t) x(s) y(s)d21/2dt2K(s,t) dtds2x(s) y(s) ds1/2()故T為壓縮映射，由不動(dòng)點(diǎn)定理知,T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*L2(a,b),即積分方1/22K(s,t)dtdsd(x,y)d(x,y)程()有唯一的平方可積解。證畢?？紤]Volterra積分方程x(t) f(t)tK(t, )x( )d a()R:a t b上連續(xù)。其中f(t)Ca,b,K(t,)在三角形域推論設(shè)X是完備距離空間，A:XX,如果存在常數(shù)(0,1)和正整數(shù)n,使得()d(Anx,Any)d(x,y)則A在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。定理(Volterra定理)f(t)Ca,b,R1,則積分方程()有唯一的連續(xù)解x(t)Ca,b0證明：記MmaxK(t,)。令(t,s)Rt(Ax)(t)f(t)K(t,)x()d()a則易知A:Ca,bCa,b,且對(duì)x,yCa,b,有td(Ax,Ay)mmax|aK(t,)(x()y()d|(ba)Md(x,y)()注意這里(ba)M未必小于1,故A并不一定是壓縮映