特征方程特征根法求解數(shù)列通項(xiàng)公式

1、特征方程特征根法求解數(shù)列通項(xiàng)公式一：A(n+1)=pAn+q,p,q為常數(shù).(1)通常設(shè)：A(n+1)-入=p(An-入)，則？3)顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：XA2=X+1解得X1=(1+，5)/2,X2=(1-，5)/2.貝UF(n)=C1*X1An+C2*X2An F(1)=F(2)=1 .C1*X1+C2*X2C1*X1A2+C2*X2A2解得C1=1/，5,C2=-1/，5 .F(n)=(1/，5)*(1+A/5)/2An-(1-v/5)/2AnIV5表示卞艮號(hào)5】通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù)r,s使得F(n)-r*F

2、(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)貝Ur+s=1,-rs=1nn3時(shí)，有F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)將以上n-2個(gè)式子相乘，得:F(n)-r*F(n-1)=sA(n-2)*F(2)-r*F(1) .s=1-r,F(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)

3、+rA2*F(n-2)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+M3*F(n-3)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+rA(n-2)*s+rA(n-1)*F(1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+M(n-2)*s+rA(n-1)(這是一個(gè)以sA(n-1)為首項(xiàng)、以rA(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公差的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和)=sA(n-1)-rA(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sAn-rAn)/(s-r)r+s=1,-rs=1的一解為s=(1+a/5)/2,r=(1-，5)/2則F(n)=(1M/5)*(1+，5)/2An-(

4、1-，5)/2人0三：最后準(zhǔn)備好了嗎，咱們來看最刺激，最具挑戰(zhàn)性的一組：A(n+1)=(MAn+N)/(CAn+D)M,C不同時(shí)為零此題一般可以避開求通項(xiàng)公式而另辟蹊徑的方法，比如數(shù)學(xué)歸納法一類的等等，但是如果一定要挑戰(zhàn)一下自己，那我們現(xiàn)在就開始通項(xiàng)公式之路(1)此處似乎只能用特征根法：特征方程：x+(Mx+N)/(Cx+D)特征方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)為“，3,則(An-a)/(An-3)為等比數(shù)列注意：a,3可以互換位置特征方程有一個(gè)實(shí)根，a則1/(An-a)偉等差數(shù)列特征方程沒有實(shí)數(shù)根，則An為循環(huán)數(shù)列，每年總要有幾個(gè)題要來個(gè)A2007,A2008,A2009,A20xx例四：這個(gè)例題的數(shù)字給的十分有意思一一偉強(qiáng)A(n+1)=(3An+4)/(2An+3)特征方程：x=(3x+4)/(2x+3),x=V2則(An+，2)/(An，2)為等比數(shù)列(A(n+1)+，2)/(A(n+1)-V2)=(3An+4)/(2An+3)+，2/(3An+4)/(2An+3)-V2=(3+，2)An+(3,2+4)/