32函數(shù)模型及其運用

1、3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型一、教學(xué)目標:1. 知識與技能 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義, 理解它們的增長差異性.2. 過程與方法 能夠借助信息技術(shù), 利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格, 對幾種常見增長類型的函數(shù)的增長狀況進行比較, 初步體會它們的增長差異性; 收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等), 了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.3. 情感、態(tài)度、價值觀 體驗函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.二、 教學(xué)重點、難點：1. 教學(xué)重點 將實際問題轉(zhuǎn)化

2、為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2教學(xué)難點 選擇合適的數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題.三、 學(xué)法與教學(xué)用具：1. 學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，動手畫圖，自主學(xué)習(xí)、思考，并相互討論，進行探索.2教學(xué)用具：多媒體.四、教學(xué)設(shè)想：（一）引入實例，創(chuàng)設(shè)情景.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1，分析其中的數(shù)量關(guān)系，思考應(yīng)當(dāng)選擇怎樣的函數(shù)模型來描述；由學(xué)生自己根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式，教師在數(shù)量關(guān)系的分析、函數(shù)模型的選擇上作指導(dǎo).例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，

3、這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多者為優(yōu)(1) 比較三種方案每天回報量(2) 比較三種方案一段時間內(nèi)的總回報量哪個方案在某段時間內(nèi)的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86

4、.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4根據(jù)上表我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報為y元，則 方案一：每天回報40元； y=40 (xN*)方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回 報10元； y=10x (xN*)方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番。 Y=0.42x-1(x)從每天的回報量來看：第14天，方案一最多： 每58天，方案二最多： 第9天以后，方案三最

5、多； 有人認為投資14天選擇方案一；58天選擇方案二；9天以后選擇方案三。累積回報表 天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結(jié)論投資8天以下（不含8天），應(yīng)選擇第一種投資方案；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。3例題的啟示：解決實際問題的步驟：（1）實際問題 （2）讀懂問題抽象概括（3）數(shù)學(xué)問題（4）演算推理（5）數(shù)學(xué)問題的解（6）還原說明（

6、7）實際問題的解4練習(xí)某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且資金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？5小結(jié)（1）解決實際問題的步驟：實際問題 讀懂問題 將問題抽象化 數(shù)學(xué)模型 解決問題（2）幾種常見函數(shù)的增長情況：常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)沒有增長直線上升指數(shù)爆炸6作業(yè):課本116頁練習(xí)題集1、2題收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函

7、數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用，并思考。有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型，在具體應(yīng)用函數(shù)模型時，應(yīng)該怎樣選用合理的函數(shù)模型.3 .2 .2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例第一課時 一、 教學(xué)目標1. 知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題.2. 過程與方法 進一步感受運用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價.二、 教學(xué)重點重點 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實際問題.難點 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價.三、 學(xué)法與教學(xué)用具1. 學(xué)法：自主學(xué)習(xí)和嘗

8、試，互動式討論.2. 教學(xué)用具：多媒體四、 教學(xué)設(shè)想（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題. 現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系來建立. 對于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學(xué)模型進行分析評價，驗證數(shù)學(xué)模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度.（二）實例嘗試，探求新知例1. 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示.1）寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)解析式；2）寫出汽車行駛路程關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象；3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程

9、表讀數(shù)與時間的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.本例所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題.教師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征.注意培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式.例2. 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù). 早在1798，英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型： 其中表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，表示人口的年均增長率.下表是19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）年份19501951195

10、219531954人數(shù)5519656300574825879660266年份19551956195719581959人數(shù) 1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？探索以下問題：1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評價？如

11、何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題的一類問題，引導(dǎo)學(xué)生認識到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個參數(shù)與.完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器.在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時，可引導(dǎo)學(xué)生利用計算器或計算機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生認識到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式.引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)測，實質(zhì)上是通過求一個對數(shù)值來確定的近似值.課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1

12、萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.探索以下問題：1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？2）如何對所確定的函數(shù)模型進行評價？本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型.引導(dǎo)學(xué)生認識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標準是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是對函數(shù)模評價的依據(jù).本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培養(yǎng)學(xué)生有意識地運用.三. 歸納小結(jié)，發(fā)展思維.利用給定函數(shù)模型或建立確定

13、的函數(shù)模型解決實際問題的方法；1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系；2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；3）對所確定的函數(shù)模型進行適當(dāng)?shù)脑u價；4）根據(jù)實際問題對模型進行適當(dāng)?shù)男拚?從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程.圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式. 在實際應(yīng)用時，經(jīng)常需要將函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化.（四）布置作業(yè)：教材P120習(xí)題32（A組）第69題.3.2.

14、2函數(shù)模型的應(yīng)用實例第二課時一、教學(xué)目標1、知識與技能 能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實際問題。2、過程與方法 體驗收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會函數(shù)擬合的思想方法。3、情感、態(tài)度、價值觀 深入體會數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活及各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及其重要價值。二、教學(xué)重點、難點：重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立起函數(shù)模型，并進行模型修正。三、學(xué)學(xué)與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。2、教學(xué)用具：多媒體四、教學(xué)設(shè)想（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動“建立

15、非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應(yīng)用軟件。這一數(shù)學(xué)模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結(jié)果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關(guān)重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達60萬人。這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨

16、勢預(yù)測動力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預(yù)測。本例建立教學(xué)模型的過程，實際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。（二）嘗試實踐 探求新知例1.某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示： 銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240思考1:你能看出表中的數(shù)據(jù)有什么變化規(guī)律？ 思考2:假設(shè)每桶水在進價的基礎(chǔ)上增加x元,則日均銷售量為多少？ 思考3:假設(shè)日均銷售利潤為y元，那么y與x 的關(guān)系如何？ 思考4:上述關(guān)系表明，日均銷售利潤y元是

17、x 的函數(shù)，那么這個函數(shù)的定義域是什么？ 思考5:這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？ 思考6:你能總結(jié)一下用函數(shù)解決應(yīng)用性問題中的最值問題的一般思路嗎？ 例2某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表（身高：cm；體重：kg）身高60708090100110體重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170體重20.9226.8631.1138.8547.2555.051） 根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為

18、偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm ，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？探索以下問題：1）借助計算器或計算機，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點圖；2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近？3）你認為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系比較合適？4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進行適當(dāng)?shù)臋z驗和評價.5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導(dǎo)學(xué)生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷.根據(jù)散點圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對模型進行適當(dāng)修正，并做出一定的預(yù)測. 此外，注意引導(dǎo)學(xué)生體會本例所用的數(shù)學(xué)思想方法.例2一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社在一個月（以30天計算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？ 解：如圖：則每月獲利潤y（6x75