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1、 課 題:241 平面向量數(shù)量積的物理背景及含義 教學(xué)目標 (一)知識目標 1、 了解平面向量數(shù)量積的物理背景,理解數(shù)量積的含義及其物理意義; 2、 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系,掌握數(shù)量積的性質(zhì),并能運用 性質(zhì)進行相關(guān)的運算和判斷; 3、體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法,進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力。 (二)能力目標 通過對平面向量數(shù)量積性質(zhì)的探究,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、 分析問題、 解決問題的能力,使學(xué)生的思維能力得到訓(xùn)練.繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力 和創(chuàng)新的精神。 (三)情感目標 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索 的精神,體會學(xué)習(xí)的快樂.體會各學(xué)科之間是密不可分的.培
2、養(yǎng)學(xué)生思考 問題認真嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)。 教學(xué)重點:平面向量的數(shù)量積的定義、幾何意義及其性質(zhì)。 教學(xué)難點:平面向量數(shù)量積的概念。 教學(xué)方法:啟發(fā)探究式,講練結(jié)合法。 教學(xué)準備:多媒體、彩色粉筆。 課型:新授課. 教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)引入 教師引言: 前面我們學(xué)習(xí)了向量的相線性運算, 向量的加法、 減法和 數(shù)乘運算。我們知道這些運算有個共同的特點,就是他們運算的結(jié)果仍 然是一個向量。既然平面向量能進行加減運算,那自然會想到兩個向量 能否進行乘法運算?如果能,結(jié)果應(yīng)該是什么呢?我們很清楚,向量概 念的引入與物理學(xué)的研究密切相關(guān), 我們來看物理學(xué)中這樣的一個例子: 物理學(xué)家很早就知道,如果一個物體在力 F
3、 作用下產(chǎn)生位移 S,那么 F 所 做的功為: (圖 1) (圖 1)中力所做的功 W= F S,(圖 2)中力所做的功W = F S cos日,在 物理中功是一個標量,是由 F 和 S 這兩個向量來確定的,如果我們把功 看成是由 F 和 S 這兩個向量的一種運算結(jié)果,就可以引出新課的內(nèi)容“平 面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”. (二)合作探究 結(jié)合物理學(xué)中功大小的定義w二F Scosr和前面我們說的把功看 成是F和 S 兩個向量的運算結(jié)果,兩者是等價的.如果把F和 S 這兩個 向量推廣到一般的向量,就引出數(shù)量積的定義. 1 數(shù)量積的定義: 已知兩個非零向量a和 b,把數(shù)量a b COST叫做
4、a與 b 數(shù)量積(或 內(nèi)積),記作a b (注意:兩個向量的運算符號是用“”表示的,且不 能省略),用數(shù)學(xué)符號表示即 a b = b co , (0。蘭日蘭180今. 規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積都為零,即 0 = 0 a 為任意向量 2、接下來,請同學(xué)們思考一個問題: 根據(jù)定義我們知道數(shù)量積是一個數(shù)量,那么它什么時候為正,什么時 候為負? 我們前面已經(jīng)提到兩個向量的夾角在 0 ,180 根據(jù)余弦函數(shù)的知識 我們可以知道: 當八 0 ,90 時, os 二 0, a b 0 ; 當二 90 ,180 時, cos 二:0, a b : 0. 當 v -90 ,a _b,a b =0; 5 ”
5、b = b co 是由W =|F S cos日的引出來的,而W =| F S cos8是 Fi所做的功,F(xiàn)i =|Fcos日是F在 S 方向上的分力, 那么在數(shù)量積中 acos,叫做什么呢?這是我們今天要學(xué)的第二個新概念“投影”: a cos ( b cos叫做向量a在 b 方向上(b 在a方向上)的投影. 4、 根據(jù)投影的定義,引導(dǎo)學(xué)生說出數(shù)量積的結(jié)構(gòu),也就是數(shù)量積的幾何 意義: 數(shù)量積 a b 等于 a 的長度 a 與 b 在a方向上的投影b cos的乘積 5、 功的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么?功的數(shù)學(xué)本質(zhì)是力與位移的數(shù)量積。 6、 探究數(shù)量積的性質(zhì) 我們討論了數(shù)量積的正負,那么我們這里就具體的討論一
6、些特殊的夾 角: v - 90 ,a _ b,a b = 0; B=0: a 與 b 同向,a*b=|ab; J - 180, a 與 b反向,a b 二-a b . 我們這里都是由兩個向量的夾角來討論數(shù)量積的,那如果我們已知 兩個向量的數(shù)量積及模長,怎樣得出它們的夾角呢? 根據(jù)定義 a 七=耳 b cos n cos。.由此我們就可以得出日 同 b|3、投影的定義 (-28) 的值.當 a b =0 時,cosv - 0- -90 . 總結(jié) a _ b 二 a b = 0 . 特別地,a 曰=a 2或 a =Ja a,這里 a a 常記為 a2. 請判斷a b 與 a b 的大小關(guān)系. 解:
7、因為 a b =|bco , co 列 1, 所以 a b =司 bcos 日| b . 這些就是數(shù)量積的性質(zhì)。在課堂上以上性質(zhì)以探究形式出現(xiàn),讓 同學(xué)們積極思考,踴躍回答并總結(jié)其各自的應(yīng)用。 (三)例題講解,鞏固知識 例 1 已知a =5, b=4 , a 與 b 的夾角日=120 度,求 a b . 解:根據(jù)數(shù)量積的定義: a b =耳 b cos 日 =54 cos120 (1、 =5 父 4 x I 2 丿 =-10. 練習(xí):在厶 ABC 中 BC=8,CA=7, C = 60 求 BC *CA。 a b =a|b a 3=點18。/ = 2,5 與 b 的夾角 = 120 o 1、判斷下列各命題是否正確,并說明理由 、若 a 工 0,則對任一非零向量 b,有 a b 工 0. 、若 a 工 0,a b = a c,貝 U b = c . 2、已知 ABC 中, AB=a, AC =b,當 a b 0 或 a b =0 時,試判斷AABC 勺形狀。 (五) 課堂小結(jié) 本節(jié)課你有什么收獲?讓學(xué)生各抒己見從不同方面加以總結(jié)。 (知識收獲,學(xué)習(xí)方法,數(shù)學(xué)思想等) (六) 布置作業(yè): 1、課本 P21習(xí)題 2.4A 組 1、2、6。 2、拓展與提高:例 2 已知a b = , =2 b =8 解:匸 a
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