《平方差公式》教學(xué)案例

1、平方差公式-教學(xué)案例數(shù)學(xué)教學(xué)案例（人教版八年級數(shù)學(xué)上冊14.2.1）案例名稱：平方差公式所屬課程：數(shù)學(xué)所屬專業(yè)：初中數(shù)學(xué)授課課時：一課時平方差公式教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容與分析1 .內(nèi)容平方差公式一一兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。2 .內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。平方差公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在已經(jīng)掌握了單項式乘法、多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例。對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法，同時也為以后的因式分解、分式的

2、化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有承上啟下的作用。3 .教學(xué)重點與難點本節(jié)課的重點：理解平方差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特點，并能運用公式進(jìn)行運算。本節(jié)課的難點：理解公式中字母的含義，即公式：伍+份（。-6）=標(biāo)-/中的字母a,b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式。正確找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a,b.平方差公式的變式應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)與解析1 .目標(biāo)（1）知識目標(biāo)；掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進(jìn)行計算。（2）能力目標(biāo)：在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象研究問題的方法；在驗證平方差公式的過程中，感知

3、數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力；在運用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。(3)情感目標(biāo)：讓學(xué)生在合作探究的學(xué)習(xí)過程中體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于觀察、大膽猜想的創(chuàng)新思維品質(zhì)。2 .目標(biāo)解析(1)理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運用平方差公式解決問題。在數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，加深學(xué)生對公式的理解。(2)讓學(xué)生經(jīng)歷具體一一抽象的過程。從中發(fā)現(xiàn)、體會、理解公式，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感、觀察、歸納、猜想、推理能力，利用幾何圖形的面積驗

4、證公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想。在運用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。(3)通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在解決問題過程中與他人合作交流的重要性，讓學(xué)生在公式的運用中積累解題的經(jīng)驗，體會成功的喜悅。三、學(xué)生情況分析學(xué)生已經(jīng)較熟練地掌握了多項式乘法，為學(xué)習(xí)本節(jié)知識做了知識準(zhǔn)備；學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作能力、探究能力、歸納分析能力，能通過合作交流完成學(xué)習(xí)任務(wù)；通過創(chuàng)造問題情境，讓學(xué)生探索相應(yīng)問題，建立并運用公式，從而拓展學(xué)生知識技能成為可能。四、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困

5、難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的解。因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加五、教學(xué)過程設(shè)計(一)創(chuàng)設(shè)情境，引出新知問題1:計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(屏幕顯示)(1) (x+l)(x-l)=.(2) (in+2)(/?/-2)=.(3) (2x+l)(2x-l)=.師生活動：學(xué)生計算，三位同學(xué)在黑板上板書，師生共同分析結(jié)果?！驹O(shè)計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式一一平方差公式。(二)探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問題2：依照以上三道題的

6、計算回答下列問題：(屏幕顯示)式子的左邊具有什么共同特征？它們右邊的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)嗎？師生活動：教師提問，學(xué)生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出：(a+b)(a-b)=a2-b2,由學(xué)生運用多項式乘法計算，驗證了其公式的正確性?！驹O(shè)計意圖】在學(xué)生已掌握的多項乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項式乘法_平方差公式，這樣更加自然合理。讓學(xué)生經(jīng)歷具體一一抽象的過程。即經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括、推理的過程，從中體會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法：“具體一一抽象”。（三）數(shù)形結(jié)合

7、，幾何說理問題3：活動探究：將長為（a+b）,寬為（a-b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，放在圖中處拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的圖形的面積關(guān)系嗎？（屏幕顯示）（a+b）（a-b）=a-It師生活動：小組合作，教師巡視指導(dǎo)，代表發(fā)言。【設(shè)計意圖】通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動，利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,讓學(xué)生認(rèn)識平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題，再次驗證了平方差公式的正確性。（四）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)新知問題4：前面探究所得的式子（，+力）（。-'）=，/-尸，稱為平方差公式，你能

8、用文字語言表述它嗎？（屏幕顯示）師生活動：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生用自己的語言表述，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。(五)剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)問題5：在平方差公式(，+»)(-)=，尸-2中，認(rèn)真觀察其結(jié)構(gòu)特征，你能用自己的語言表述嗎？(屏幕顯示)師生活動：同桌討論后回答，相互補(bǔ)充并總結(jié)如下：左邊是兩個二項式相乘，其中“a與J是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即力-/。師追問：以上三個算式中，哪些數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a,bo師生活動：獨自思考，代表發(fā)言?！驹O(shè)計意

9、圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性,并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。(六)鞏固運用，內(nèi)化新知問題6：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：(屏幕顯示)(1)(2x+3y)(2x-3z)(2)-a+b)(ci-b)(3)(2a-3b)(2(i-3b)(4)(x+y-z)(x-y+z)師生活動：分組討論，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件。鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a,b可以

10、是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。例題1：運用平方差公式計算：(屏幕顯示)(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-v-2y)師生活動：師生共同分析解答，教師板書(1),學(xué)生板書(2)o在解答(1)的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生哪一個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a、b,然后按照公式寫出平方差，再計算出結(jié)果；在解答(2)的過程中，同樣注意上述問題，并提議用不同方法解答，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。分析：在(1)中，可以把3x看成a,2看成b,即(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4nn(a+b)(a-b)=a2-b2解：(1)(3a+2)(3x-2)(2)(-x+2y)(-x-

11、2y)=(3x)2-2?=(t)2-(2»=9x2-4=x2-4y2【設(shè)計意圖】讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)哪個數(shù)或式表示公式中的a,哪個數(shù)或式表示公式中的b,并運用公式進(jìn)行計算。練習(xí)1:下列計算對不對？若不對，應(yīng)怎樣改正。(屏幕顯示)(1) (2。-36)(2。+3b)=2。2一3吐(2) (-2x-3v)(2a-3y)=(2x)2-(3y)2.(3) (in+2)(m3)=m2-6.(4) (2。-3bX2-33=(2a)2-(3b)2.(5) (x+y-z)(x-y+z)=x2-y2-z2.師生活動：同桌討論交流后，代表回答，老師引導(dǎo)學(xué)生訂正答案?！驹O(shè)計意圖】對學(xué)生常出現(xiàn)的錯

12、誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運用平方差公式進(jìn)行計算必須具備的條件。問題7：從以上例題和練習(xí)中，你認(rèn)為運用公式解決問題應(yīng)注意什么？（屏幕顯示）師生活動：學(xué)生回答問題，并相互補(bǔ)充。總結(jié)以下經(jīng)驗：1、在運用平方差公式之前,一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特點；2、一定要找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a,哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的b；3、總結(jié)規(guī)律：a的符號相同，b的符號相反；4、公式中的字母a,可以是具體的數(shù)、單項式、多項式等；5、勿忘記寫公式右邊的“平方”?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a、b的意義，在運用公式計算時一定要抓住關(guān)鍵一一找準(zhǔn)哪

13、個數(shù)或式相當(dāng)于“第一個數(shù)"a,哪個數(shù)或式相當(dāng)于“第二個數(shù)”b,通過此過程，突破本節(jié)課的難點。（七）拓展深化，發(fā)展思維例題2：計算：（屏幕顯示）（1）（y+2）（y-2）-（y-l）（y+5）（2）98X102師生活動：師生共同分析，得出：（1）中的前兩個多項式的積可以直接利用平方差公式，后兩個多項式的積不具備平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能用此公式；必須用多項式的乘法計算，并把計算的結(jié)果放在括號里。（2）是兩個數(shù)乘積的簡捷計算，這兩個因數(shù)恰好可以分解成兩個數(shù)（100與2）的和與這兩個數(shù)的差，且這兩個數(shù)的平方容易計算。問題（2）對一部分學(xué)生來說，有一定難度，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，并及時

14、總結(jié)規(guī)律一一第一個數(shù)是兩個因數(shù)的平均數(shù)?！驹O(shè)計意圖】第（D題是新舊知識的綜合運用，此題要讓學(xué)生深刻理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明白只有符合公式結(jié)構(gòu)特征的乘法才能運用公式簡化運算；第（2）題是平方差公式在數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個數(shù)乘積的簡捷計算問題，使學(xué)生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，即鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性。練習(xí)2：看誰算得快。(屏幕顯示)(1)(2y+3x)(-2y+3x)(2)(-a-3b)(-a+3b)(3) 501X(-499)(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)師生活動：四名學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上完

15、成，教師巡視指導(dǎo)，完成后大家一起評判四名學(xué)生的解答?！驹O(shè)計意圖】通過同類型題的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地理解平方差公式，較熟練地運用平方差公式進(jìn)行有關(guān)計算。同時進(jìn)行查漏補(bǔ)缺。(八)小試牛刀，挑戰(zhàn)自我問題8:在下列括號中填上合適的多項式：(屏幕顯示)(1) (5x+2)，)()=25x2-4y2(2) ()()=81-4師生活動：獨立思考，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計意圖】此題旨在從反方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為以后學(xué)習(xí)因式分解做了鋪墊。第2個填空題，屬開放設(shè)計型.目的是加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學(xué)生的

16、發(fā)散思維。(九)暢所欲言，課時小結(jié)大家一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請同學(xué)們回答下列問題：(屏幕顯示)(1)這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？(2)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是什么？(3)應(yīng)用平方差公式時要注意什么？師生活動：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充。【設(shè)計意圖】從通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心一一平方差公式，進(jìn)一步認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征，為運用公式積累經(jīng)驗。(+)布置作業(yè)(屏幕顯示)1 .教課書習(xí)題14.2第1題(寫在作業(yè)本上)。2 .預(yù)習(xí)完全平方公式?！驹O(shè)計意圖】作業(yè)1目的是鞏固所學(xué)知識，作業(yè)2主要培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。六、目標(biāo)檢測設(shè)計1 .下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是(

17、)A.(-a-b)(a+b)B.(-a-b)(a-b)C.(a+b-c)(-a-b+c)D.(-a+b)(a-b)【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的理解。2 .填空題：(1) (1+3。)()=1一9，/.(2) (一2y-3x)(3x-2y)=.(3) (4/7-3a)()=9a2-6b2.(4) 設(shè)m+=6,mn=3t貝!|in2n2=.(5)已知(x-ay)(x+ay)=x2-6y2,那么a=.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式靈活運用的能力。3 .計算：(1)(個+1)(個1)(2)(x+l)(x-l)(x2+l)(3) (2y - 3x)(3x 2y)(4)(>,+5)(y-1)-(>'-2)(y+2)【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式的理解及運用。4 .計算：(1) 1998X2002(1)20142-2013X2015【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式的應(yīng)用一一兩個數(shù)乘積的簡捷計算的掌握。5 .解答題：已知：兩個正方形的周長之和等于32cm,它們的面積之差為48cll1：求這兩個正方形的邊長?！驹O(shè)計意圖】綜合利用新舊知識解答實際生活中的問題，考查學(xué)生對知識綜合運用的能力，同