彈性力學(xué)有限元法3PPT課件

1、2022-3-141第第3章章 彈性力學(xué)有限元法彈性力學(xué)有限元法2022-3-1423.1有限元法求解問題的基本步驟有限元法求解問題的基本步驟1.問題及求解域定義問題及求解域定義2.連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化 即即有限元網(wǎng)格劃分有限元網(wǎng)格劃分，將連續(xù)體劃分為有限個具，將連續(xù)體劃分為有限個具有一定形狀的單元組合體，相鄰單元之間通過節(jié)點有一定形狀的單元組合體，相鄰單元之間通過節(jié)點相連接。相連接。3.單元分析單元分析（1）選擇位移模式）選擇位移模式位移法位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未知量。（應(yīng)用較多）：選擇節(jié)點位移作為基本未知量。（應(yīng)用較多）力法力法：選擇節(jié)點力為基本未知量。：選擇節(jié)點力為基本未知量。

2、混合法混合法：取一部分力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量。：取一部分力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量。2022-3-143（2）分析單元的力學(xué)性質(zhì)）分析單元的力學(xué)性質(zhì) 列出單元節(jié)點和節(jié)點位移之間的關(guān)系式。應(yīng)用幾何方程和列出單元節(jié)點和節(jié)點位移之間的關(guān)系式。應(yīng)用幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，導(dǎo)出單元剛度矩陣。物理方程來建立力和位移的方程式，導(dǎo)出單元剛度矩陣。節(jié)點載荷和節(jié)點位移之間的關(guān)系式為：節(jié)點載荷和節(jié)點位移之間的關(guān)系式為： 為單元剛度矩陣。為單元剛度矩陣。（3）計算等效節(jié)點力計算等效節(jié)點力：用等效的節(jié)點力來代替所有在單元：用等效的節(jié)點力來代替所有在單元上的力。上的力。eKeeeFK20

3、22-3-1444. 組成物體的整體方程組組成物體的整體方程組 由單元剛度矩陣構(gòu)成整體剛度矩陣。對總體建立方程：由單元剛度矩陣構(gòu)成整體剛度矩陣。對總體建立方程：5. 求解有限元方程和結(jié)果解釋求解有限元方程和結(jié)果解釋 根據(jù)邊界條件和初始條件求解上式，得到節(jié)點位移。根據(jù)邊界條件和初始條件求解上式，得到節(jié)點位移。FKu2022-3-1453.2 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化 結(jié)構(gòu)的離散化也稱為結(jié)構(gòu)的離散化也稱為有限元網(wǎng)格劃分有限元網(wǎng)格劃分，即將求解域近似，即將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且只在節(jié)點上彼此相連的有限個為具有不同有限大小和形狀且只在節(jié)點上彼此相連的有限個單元組成的離散域。單元組成的離散

4、域。 常用的單元類型：常用的單元類型：1.桿單元桿單元 一維單元，位移僅是軸向座標(biāo)的函數(shù)。一維單元，位移僅是軸向座標(biāo)的函數(shù)。2.平面單元平面單元 二維單元，單元內(nèi)任意點的應(yīng)力、應(yīng)變、位移僅與兩個二維單元，單元內(nèi)任意點的應(yīng)力、應(yīng)變、位移僅與兩個座標(biāo)方向的變量有關(guān)。座標(biāo)方向的變量有關(guān)。2022-3-1462022-3-147 三角形單元：采用三角形單元：采用線性位移模式，線性位移模式，在整個單元內(nèi)各點的在整個單元內(nèi)各點的應(yīng)變值為常數(shù)，所以也稱為常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。應(yīng)變值為常數(shù)，所以也稱為常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。 矩形單元：采用矩形單元：采用雙線性位移模式雙線性位移模式，單元內(nèi)的應(yīng)力是線性，單元

5、內(nèi)的應(yīng)力是線性變化的。變化的。3. 薄板彎曲單元和薄板單元薄板彎曲單元和薄板單元ukxuxK2ukxmx2()kxmxx4. 多面體單元多面體單元2022-3-1482022-3-1495. 等參數(shù)單元等參數(shù)單元：單元內(nèi)：單元內(nèi)任一點的位移與節(jié)點位移之間任一點的位移與節(jié)點位移之間的關(guān)系的關(guān)系恰好和恰好和該點的坐標(biāo)與節(jié)點坐標(biāo)之間該點的坐標(biāo)與節(jié)點坐標(biāo)之間的關(guān)系相同。的關(guān)系相同。 任意四邊形的邊一般不平行于坐標(biāo)軸，沿單元邊的位任意四邊形的邊一般不平行于坐標(biāo)軸，沿單元邊的位移將按拋物線變化，而不是線性變化。移將按拋物線變化，而不是線性變化。 以直角坐標(biāo)系以直角坐標(biāo)系XOY下的任意直邊四邊形單元單元的形

6、心下的任意直邊四邊形單元單元的形心為坐標(biāo)原點，用等分它四個邊的兩條直線為坐標(biāo)軸，建立一為坐標(biāo)原點，用等分它四個邊的兩條直線為坐標(biāo)軸，建立一個非正交的局部座標(biāo)系個非正交的局部座標(biāo)系 ，使單元邊界上的，使單元邊界上的 、 是是 ，這樣在局部坐標(biāo)系中構(gòu)成一個矩形單元。矩形單元的節(jié)點和這樣在局部坐標(biāo)系中構(gòu)成一個矩形單元。矩形單元的節(jié)點和內(nèi)部任一點都與原總體坐標(biāo)系中的單元的節(jié)點和內(nèi)部點形成內(nèi)部任一點都與原總體坐標(biāo)系中的單元的節(jié)點和內(nèi)部點形成一一對應(yīng)關(guān)系。一一對應(yīng)關(guān)系。總體坐標(biāo)系適用于整個結(jié)構(gòu)，局部坐標(biāo)系只總體坐標(biāo)系適用于整個結(jié)構(gòu)，局部坐標(biāo)系只適用于具體某個單元。適用于具體某個單元。1o 12022-3-

7、14106. 軸對稱單元：軸對稱單元： 幾何形狀是回轉(zhuǎn)體，所受約束和外力對稱于回轉(zhuǎn)軸幾何形狀是回轉(zhuǎn)體，所受約束和外力對稱于回轉(zhuǎn)軸的的機(jī)械機(jī)構(gòu)稱為軸對稱問題。對此類問題一般采取柱坐標(biāo)系機(jī)械機(jī)構(gòu)稱為軸對稱問題。對此類問題一般采取柱坐標(biāo)系來描述應(yīng)力和變形。來描述應(yīng)力和變形。 對于此類問題采用軸對稱單元。對于此類問題采用軸對稱單元。劃分網(wǎng)格的基本原則：劃分網(wǎng)格的基本原則：（1）網(wǎng)格數(shù)量：網(wǎng)格數(shù)量增加，計算精度會有所提高。）網(wǎng)格數(shù)量：網(wǎng)格數(shù)量增加，計算精度會有所提高。（2）網(wǎng)格疏密：在結(jié)構(gòu)不同處采用不同的網(wǎng)格形式。）網(wǎng)格疏密：在結(jié)構(gòu)不同處采用不同的網(wǎng)格形式。（3）單元階次：網(wǎng)格數(shù)量較少時，計算精度差別較

8、大，采）單元階次：網(wǎng)格數(shù)量較少時，計算精度差別較大，采用高階單元。網(wǎng)格數(shù)量較多時，采用兩種單元的精度相差不用高階單元。網(wǎng)格數(shù)量較多時，采用兩種單元的精度相差不大，采用低階單元計算量降低。大，采用低階單元計算量降低。2022-3-1411（4）網(wǎng)格質(zhì)量：網(wǎng)格幾何形狀的合理性，網(wǎng)格質(zhì)量）網(wǎng)格質(zhì)量：網(wǎng)格幾何形狀的合理性，網(wǎng)格質(zhì)量的好壞會影響計算精度，對于太差的網(wǎng)格形狀程序的好壞會影響計算精度，對于太差的網(wǎng)格形狀程序?qū)詣油Ｖ褂嬎?。將會自動停止計算。?）網(wǎng)格分界面和分界點：結(jié)構(gòu)中一些特殊位置的）網(wǎng)格分界面和分界點：結(jié)構(gòu)中一些特殊位置的界面或特殊位置的點應(yīng)分為網(wǎng)格邊界或節(jié)點。界面或特殊位置的點應(yīng)分為

9、網(wǎng)格邊界或節(jié)點。（6）位移協(xié)調(diào)性：一個單元的節(jié)點必須也是相鄰單）位移協(xié)調(diào)性：一個單元的節(jié)點必須也是相鄰單元的節(jié)點，只有這樣單元上的力和力矩才能夠通過元的節(jié)點，只有這樣單元上的力和力矩才能夠通過節(jié)點傳遞到相鄰單元。節(jié)點傳遞到相鄰單元。（7）網(wǎng)格布局：對于對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)該劃分對稱單元。）網(wǎng)格布局：對于對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)該劃分對稱單元。（8）節(jié)點和單元編號：一般情況下程序自動編號。）節(jié)點和單元編號：一般情況下程序自動編號。2022-3-14123.3 單元分析單元分析1.單元的插值函數(shù)單元的插值函數(shù) 如果彈性體內(nèi)的位移分量已知，則應(yīng)變分量和如果彈性體內(nèi)的位移分量已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也可以確定了。應(yīng)力分量也

10、可以確定了。 幾何方程幾何方程 虎克定律虎克定律FKuuE2022-3-1413 對于整體劃分單元后，在每個單元的局部范圍里可以采對于整體劃分單元后，在每個單元的局部范圍里可以采用比較簡單的函數(shù)來近似地表達(dá)單元的真實位移，把各單元用比較簡單的函數(shù)來近似地表達(dá)單元的真實位移，把各單元的位移函數(shù)連接起來，就可以近似表示整個區(qū)域的真實的位的位移函數(shù)連接起來，就可以近似表示整個區(qū)域的真實的位移函數(shù)。移函數(shù)。2022-3-1414 在離散體中任取一個單元，三個節(jié)點按逆時針方向順序編在離散體中任取一個單元，三個節(jié)點按逆時針方向順序編號為號為i，j，m。節(jié)點坐標(biāo)分別表示為（。節(jié)點坐標(biāo)分別表示為（xi，yi）

11、，（），（xj，yj），），（xm，ym）。）。2022-3-1415 對于彈性力學(xué)平面問題，一個三角形單元上的每對于彈性力學(xué)平面問題，一個三角形單元上的每個節(jié)點應(yīng)有個節(jié)點應(yīng)有2個位移分量，則三角形單元共有個位移分量，則三角形單元共有6個自個自由度：由度： 。三角形單元的節(jié)點位移矢量是：三角形單元的節(jié)點位移矢量是：單元節(jié)點力矢量是：單元節(jié)點力矢量是：,iijjmmu v u v uv( ,)eTiijjmmu v u v uv (,)eeeeeee TiijjmmFXYXYXY2022-3-1416 單元分析的基本任務(wù)單元分析的基本任務(wù)是建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的是建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移

12、之間的關(guān)系式：關(guān)系式：式中式中 是是6*6的矩陣，稱為的矩陣，稱為單元剛度矩陣單元剛度矩陣。 將單元的位移分量將單元的位移分量u，v取為坐標(biāo)取為坐標(biāo)x，y的多項式，且位移的多項式，且位移場函數(shù)場函數(shù)u，v在三個節(jié)點處的數(shù)值應(yīng)該等于這三個節(jié)點處的六在三個節(jié)點處的數(shù)值應(yīng)該等于這三個節(jié)點處的六個位移分量。個位移分量。即有：即有：eeeFKeK2022-3-1417123456( , )( , )u x yaa xa yv x yaa xa y在在i，j，m三點應(yīng)該有：三點應(yīng)該有：123456123456123456iiiiiijjjjjjmmmmmmuaa xa yvaa xa yuaa xa yv

13、aa xa yuaa xa yvaa xa y(1)2022-3-1418由上式可以確定由上式可以確定 的值。將其帶入的值。將其帶入（1）式就可以得到用）式就可以得到用單元節(jié)點位移表示的單單元節(jié)點位移表示的單元位移模式元位移模式。126,a aa( , )0( , )0( , )0( , )0( , )0( , )0( , )( , )jimjimNx yN x yNx yu x yNx yN x yNx yv x yeuN2022-3-1419 N稱為形函數(shù)矩陣或插值函數(shù)矩陣。稱為形函數(shù)矩陣或插值函數(shù)矩陣。插值函數(shù)具有如下性質(zhì)：插值函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）在節(jié)點上插值函數(shù)的值有：）在節(jié)點上插

14、值函數(shù)的值有：（2）在單元內(nèi)任一點各插值函數(shù)的和等于一。）在單元內(nèi)任一點各插值函數(shù)的和等于一。1( , )0jiiijN x y當(dāng)j=i（i,j,m)當(dāng)1ijmNNN2022-3-1420 線性單元線性單元 平面單元平面單元 立體單元立體單元 總體、局部和自然坐標(biāo)總體、局部和自然坐標(biāo) 數(shù)值積分：高斯勒讓德多項式數(shù)值積分：高斯勒讓德多項式 ANSYS實例實例2022-3-14213.1 一維單元一維單元1. 形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)在有限元分析中形函數(shù)在有限元分析中,扮演非常主要的扮演非常主要的角色角色. 除作為元素除作為元素(單元單元)的內(nèi)插函數(shù)的內(nèi)插函數(shù),將元將元素內(nèi)的位移或溫度分布素內(nèi)的位移或溫

15、度分布,以節(jié)點位移或節(jié)以節(jié)點位移或節(jié)點溫度表示外點溫度表示外,在余量法中的迦遼金法中在余量法中的迦遼金法中,亦可作為加權(quán)函數(shù)來用亦可作為加權(quán)函數(shù)來用. 此外此外,亦可將分布亦可將分布載荷轉(zhuǎn)換為集中力與彎矩載荷轉(zhuǎn)換為集中力與彎矩,分別施加在各分別施加在各節(jié)點上節(jié)點上.形函數(shù)根據(jù)其多項式的冪次形函數(shù)根據(jù)其多項式的冪次,分為一次、分為一次、二次、三次與高次等。二次、三次與高次等。2022-3-1422位移沿著單元的分布可以用一個線性函數(shù)近似。如圖所示。位移沿著單元的分布可以用一個線性函數(shù)近似。如圖所示。u( ) eixxjxjuiul2022-3-1423 一維一次元素的形函數(shù)中，函數(shù)值沿單一坐標(biāo)軸

16、一維一次元素的形函數(shù)中，函數(shù)值沿單一坐標(biāo)軸以線性變化。假設(shè)位移函數(shù)沿以線性變化。假設(shè)位移函數(shù)沿x軸線性變化，位軸線性變化，位移函數(shù)移函數(shù)uu(x)可寫成可寫成: u=a1+a2x向量形式向量形式: 假設(shè)在假設(shè)在i、j節(jié)點的位移值分別為節(jié)點的位移值分別為ui和和uj , 有有: u=ui 在在X=Xi處處 u=uj 在在X=Xj處處 211aaxu2022-3-1424將節(jié)點的值帶入線性方程將產(chǎn)生兩個方程和兩個未知量：將節(jié)點的值帶入線性方程將產(chǎn)生兩個方程和兩個未知量：求解未知量求解未知量a1和和a2得到：得到：12iiuaa X12jjuaa X1ijjijiu Xu XaXX2jijiuuaX

17、X2022-3-1425由節(jié)點的值表示的單元的位移分布為：由節(jié)點的值表示的單元的位移分布為：改寫一下形式得到：改寫一下形式得到：定義形函數(shù)：定義形函數(shù)： 其中其中l(wèi)為單元長度。為單元長度。( )ijjijiejijiu Xu XuuuXXXXX( )jeiijjijiXXXXuuuXXXXjjijiXXXXsXXliijjiXXXXsXXl2022-3-1426由形函數(shù)表示的單元的位移分布為：由形函數(shù)表示的單元的位移分布為：寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：可以使用形函數(shù)和相應(yīng)的節(jié)點值來表示給定單元上的任意的未知量的可以使用形函數(shù)和相應(yīng)的節(jié)點值來表示給定單元上的任意的未知量的變化。變化。( )eii

18、jjusus u( )ieijjuussu2022-3-14272. 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì)1. 在相應(yīng)的節(jié)點上值為在相應(yīng)的節(jié)點上值為1,而在相鄰節(jié)點上值為而在相鄰節(jié)點上值為0. 和和 和和2.形函數(shù)的和為形函數(shù)的和為1。1iijjiiXXXXXXXXsll0jjjjjiXXXXXXXXsll0iiiiijXXXXXXXXsll1jjjiijXXXXXXXXsll1jiijjijiXXXXssXXXX2022-3-14283. 形函數(shù)對于形函數(shù)對于x導(dǎo)數(shù)的和為導(dǎo)數(shù)的和為011()()0jijijijijiXXXXdddXXXdXXXXXXX 2022-3-14293. 實例實例（a）懸臂梁在

19、）懸臂梁在X4cm處的溫度由單元（處的溫度由單元（2）來表示：）來表示：(2)(2)(2)32223323XXXXTSTSTTTll5442413436.333TC1234(1)(2)(3)2cm3cm5cmx123450413420TTCTT2022-3-1430（b）懸臂梁在）懸臂梁在X=8cm處的溫度由單元（處的溫度由單元（3）來表示：）來表示：對于這個例子，注意對于這個例子，注意 和和 的區(qū)別。的區(qū)別。(3)(3)(3)34334434XXXXTSTSTTTll10885342025.655TC(2)3S(3)3S2022-3-1431 假設(shè)承受的是軸向負(fù)荷假設(shè)承受的是軸向負(fù)荷, 應(yīng)用

20、線性單元應(yīng)用線性單元, 柱體的柱體的垂直位移由下式確定垂直位移由下式確定.AB2022-3-1432（a）應(yīng)用總體坐標(biāo)）應(yīng)用總體坐標(biāo)Y，點，點A的位移由單元（的位移由單元（1）表示：）表示：（b）點）點B的位移由單元（的位移由單元（4）表示：）表示：(1)(1)(1)21112212YYYYuS uS uuull15 1010000.032830.021881515uin (4)(4)(4)54445545YYYYuSuSuuull605252450.075040.084420.079411515uin2022-3-14333.2 一維三節(jié)點單元一維三節(jié)點單元 一維三節(jié)點單元一維三節(jié)點單元用二

21、次函數(shù)代替線性用二次函數(shù)代替線性函數(shù)要求使用三個節(jié)函數(shù)要求使用三個節(jié)點來定義一個單元點來定義一個單元,這這是因為至少要有三個是因為至少要有三個點才能確定一個二次點才能確定一個二次函數(shù)函數(shù).第三個點可以取第三個點可以取在單元的中點在單元的中點.2321xaxaau 32121aaaxxu2022-3-1434 如單元的溫度分布可如單元的溫度分布可以表示以表示為為:并且節(jié)點的值為并且節(jié)點的值為:T=Ti 在在X=Xi處處T=Tk 在在X=Xk處處T=Tj 在在X=Xj處處 2321XcXccTe 2022-3-1435 產(chǎn)生的三個方程和三個未知量產(chǎn)生的三個方程和三個未知量:求解求解c1，c2和和c

22、3，整理后得到由節(jié)點的值和形函數(shù)表示的單，整理后得到由節(jié)點的值和形函數(shù)表示的單元溫度分布：元溫度分布：將以上表達(dá)式寫成矩陣形式為：將以上表達(dá)式寫成矩陣形式為：212321232123iiikkkjjjTcc Xc XTcc Xc XTcc Xc X( )eiijjkkTsTs Ts T2022-3-1436這里形函數(shù)為這里形函數(shù)為：一般來說，對于給定單元，由節(jié)點的值表示的參數(shù)變化一般來說，對于給定單元，由節(jié)點的值表示的參數(shù)變化 可以寫為：可以寫為：( )ieijkjkTTsssTT2222()()2()()2()()ijkjikkijsXXXXlsXXXXlsXXXXl( )ieijkjkss

23、s2022-3-1437 對于給定單元節(jié)點的對于給定單元節(jié)點的位移變化位移變化: 在形函數(shù)的性質(zhì)中在形函數(shù)的性質(zhì)中,二二次形函數(shù)關(guān)于次形函數(shù)關(guān)于X的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和不為零之和不為零. kjikjieuuuSSSu2022-3-14383.3 一維四節(jié)點單元一維四節(jié)點單元 在有限元公式中，二次插值提供了較為精確的結(jié)果。然在有限元公式中，二次插值提供了較為精確的結(jié)果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高階的插值函數(shù)，例而，如果需要更高的精度，可以使用更高階的插值函數(shù)，例如三次多項式。這樣可以使用三次函數(shù)表示給定變量的空間如三次多項式。這樣可以使用三次函數(shù)表示給定變量的空間變化。用三次函數(shù)代替二次函

24、數(shù)，要求使用四個節(jié)點來定義變化。用三次函數(shù)代替二次函數(shù)，要求使用四個節(jié)點來定義一個單元，這是因為至少要有四個節(jié)點才能確定一個三階多一個單元，這是因為至少要有四個節(jié)點才能確定一個三階多項式。單元被分成等長的三段。四個節(jié)點的取法如圖所示。項式。單元被分成等長的三段。四個節(jié)點的取法如圖所示。應(yīng)用三次近似考慮上例，典型單元的溫度分布可以表示為：應(yīng)用三次近似考慮上例，典型單元的溫度分布可以表示為：2022-3-1439iXjXkXmXmTkTjTiTTX3l3l3l2022-3-1440并且節(jié)點的值為：并且節(jié)點的值為： 在在 處處 在在 處處 在在 處處 在在 處處由節(jié)點的值和形函數(shù)表示的單元溫度分布：

25、由節(jié)點的值和形函數(shù)表示的單元溫度分布：寫成矩陣的形式為：寫成矩陣的形式為：( )231234eTcc Xc Xc XikmTTTTTTTTikmjXXXXXXXX( )eiijjkkmmTSTS TS TS T( )jeijkmkmTTTSSSSTT2022-3-1441 形函數(shù)為形函數(shù)為:)()(227)()(227)()(29)()(293333kjimmjikmkijmkjiXXXXXXlSXXXXXXlSXXXXXXlSXXXXXXlS 2022-3-1442 當(dāng)插值函數(shù)的階數(shù)增加時當(dāng)插值函數(shù)的階數(shù)增加時,可以用拉格朗日可以用拉格朗日插值代替以上的方法來得到形函數(shù)插值代替以上的方法來得

26、到形函數(shù): 對于三次插值函數(shù)對于三次插值函數(shù),每個節(jié)點相關(guān)的形函數(shù)每個節(jié)點相關(guān)的形函數(shù)可以用三個函數(shù)的乘積表示可以用三個函數(shù)的乘積表示.函數(shù)的乘積在函數(shù)的乘積在給定的節(jié)點上為給定的節(jié)點上為1,而在其他節(jié)點上為而在其他節(jié)點上為0. 如考慮節(jié)點如考慮節(jié)點i:2022-3-1443 若將若將X=Xj X=Xk X=Xm代入方程代入方程, 函數(shù)函數(shù)Si的值為零的值為零. 當(dāng)在給定節(jié)點上計算形函數(shù)時當(dāng)在給定節(jié)點上計算形函數(shù)時,即即X=Xi時時,函數(shù)的函數(shù)的值為值為1:)32)(3)()()(111lllaXXXXXXamikiji )()(1mkjiXXXXXXaS 3129la 2022-3-1444

27、 由節(jié)點值表示的三次插值函數(shù)任意參數(shù)由節(jié)點值表示的三次插值函數(shù)任意參數(shù)的變化可的變化可以表示為以表示為: 三次形函數(shù)性質(zhì)三次形函數(shù)性質(zhì): 形函數(shù)在相應(yīng)節(jié)點上值為形函數(shù)在相應(yīng)節(jié)點上值為1,而在另一個相鄰節(jié)點上值為而在另一個相鄰節(jié)點上值為0; 如果對形函數(shù)求和如果對形函數(shù)求和,結(jié)果為結(jié)果為1; 對三次形函數(shù)的求導(dǎo)將得到二次的結(jié)果對三次形函數(shù)的求導(dǎo)將得到二次的結(jié)果. mkjimkjieSSSS2022-3-14453.4整體、局部和自然坐標(biāo)整體、局部和自然坐標(biāo) 在有限元建模中，可以使用幾個參考系。整體坐標(biāo)用來表示每個在有限元建模中，可以使用幾個參考系。整體坐標(biāo)用來表示每個節(jié)點的位置和每個單元的方向，

28、并用來施加邊界條件和負(fù)荷。另一方節(jié)點的位置和每個單元的方向，并用來施加邊界條件和負(fù)荷。另一方面，需要使用局部和自然坐標(biāo)系，以簡化計算。對于一維單元，整體面，需要使用局部和自然坐標(biāo)系，以簡化計算。對于一維單元，整體坐標(biāo)坐標(biāo)X和局部坐標(biāo)和局部坐標(biāo)x的關(guān)系為：的關(guān)系為：iXXx2022-3-1446 在一維一次形函數(shù)的表達(dá)式中帶入由局部坐標(biāo)在一維一次形函數(shù)的表達(dá)式中帶入由局部坐標(biāo)x表示的表示的X有：有：()1jjiiXXXXxxllls ()iiijXXXxXxllls0 xl2022-3-14473.4.1 一維線性自然坐標(biāo)一維線性自然坐標(biāo) 自然坐標(biāo)是局部坐標(biāo)的無量綱形式。使用自然坐標(biāo)容易在上限自

29、然坐標(biāo)是局部坐標(biāo)的無量綱形式。使用自然坐標(biāo)容易在上限1和下限和下限1之間積分。令：之間積分。令：這里這里x是局部坐標(biāo)，局部坐標(biāo)與自然坐標(biāo)的關(guān)系如圖所示。是局部坐標(biāo)，局部坐標(biāo)與自然坐標(biāo)的關(guān)系如圖所示。21xl2022-3-1448 通過將由通過將由 表示的表示的x帶入形函數(shù)的表達(dá)式能夠帶入形函數(shù)的表達(dá)式能夠得到自然線性形函數(shù)。自然線性形函數(shù)具有線性得到自然線性形函數(shù)。自然線性形函數(shù)具有線性形函數(shù)相同的性質(zhì)。形函數(shù)相同的性質(zhì)。1(1)2is1(1)2js2022-3-14493.4.2 一維自然二次和三次形函數(shù)一維自然二次和三次形函數(shù)將將 帶入形函數(shù)的表達(dá)式得到二次自然形帶入形函數(shù)的表達(dá)式得到二次自然形函數(shù)為：函數(shù)為：iXXx(1)2lx1(1)21(1)2(1)(1)ijksss 2022-3-1450 一維三次自然形函數(shù)為：一維三次自然形函數(shù)為：1(1) 31 31161(1) 31 31169(1)1 31169(1) 13116ijkmsss