蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思考

1、.蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)考慮面對(duì)書本，假如對(duì)知識(shí)沒有了質(zhì)疑，對(duì)挑戰(zhàn)沒有了渴望，對(duì)自我沒有了信心，那么學(xué)習(xí)的過程就沒有了驚嘆，沒有了思辨，沒有了期待，沒有了樂趣那不是我想要的課堂。變故突生，課堂遭遇意外圓錐體積的推導(dǎo)，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。小學(xué)6年級(jí)的時(shí)候，我學(xué)過一次，等我當(dāng)了老師，我教過學(xué)生兩次。今天還是上這節(jié)課，輕車熟路，實(shí)驗(yàn)和講解都很順利，學(xué)生開場(chǎng)做練習(xí)了。過了一會(huì)兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來掩不住興奮炸裂開來。兩個(gè)臉漲得通紅的男同學(xué)，高聲叫著，二分之一！是二分之一！你看。孫老師，其中叫范

2、托的學(xué)生沖動(dòng)地說：你先看，這個(gè)三角形的面積是不是這個(gè)長(zhǎng)方形的一半？一個(gè)涂得臟兮兮的長(zhǎng)方形，以及一個(gè)沿這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線對(duì)折后剪下來的三角形出如今我眼前如圖一。對(duì)呀。那這個(gè)呢？他又拿出和剛剛一樣的兩個(gè)圖形。也是呀。這樣兩個(gè)疊起來，兩個(gè)三角形的體積是不是兩個(gè)長(zhǎng)方形的一半。是呀。那3個(gè)、4個(gè)、很多個(gè)疊起來呢？也是二分之一啊。那就對(duì)了。他得意地說，接著開場(chǎng)演示，他把一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動(dòng)另外一邊旋轉(zhuǎn)360度如圖三，撥一下，數(shù)一下，1張、2張、3張 一起轉(zhuǎn)的，那張數(shù)是一樣多，長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)一圈就是圓柱,三角形轉(zhuǎn)一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?教室里突然靜了下來

3、，部分學(xué)生已經(jīng)停下了對(duì)作業(yè)的討論，盯著講臺(tái)上的三角形碎片想著剛剛的推論。太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮(zhèn)定，頭腦中迅速地調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)：旋轉(zhuǎn)成形的任一瞬間，三角形的面積都是長(zhǎng)方形的二分之一，由于是同步旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)的度數(shù)完全一樣，也就是說，累計(jì)疊加的個(gè)數(shù)也完全一樣，因此，由無數(shù)個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓錐的體積，應(yīng)該就是由同樣多個(gè)數(shù)的長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個(gè)推理好似是天衣無縫，面對(duì)人們信之不移的規(guī)律性知識(shí)，不同的方法怎么出現(xiàn)了不同的結(jié)論！應(yīng)該是三分之一啊，怎么辦？我知道我的學(xué)生此刻都在盯著我。兩分鐘后，終于有人忍不住開了口，教室里炸開了鍋。書上印錯(cuò)了！倒水的時(shí)候，3次

4、根本就沒有倒?jié)M，不是三分之一，應(yīng)該是二分之一??！范托，你好厲害！而我，只能暫時(shí)眼睜睜地看著他們，因?yàn)槲掖_實(shí)無法當(dāng)堂反響這個(gè)推理的邏輯破綻。尋根索源，問題從何而來1.實(shí)驗(yàn)不準(zhǔn)確埋下了問題的種子。實(shí)驗(yàn)用的圓柱量杯和圓錐量斗外外表比較時(shí)，確實(shí)是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，實(shí)際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時(shí)候，總會(huì)比三等分的刻度線略微低一點(diǎn)。3次倒水完成后，離杯口還差一點(diǎn)間隔 。通常的做法就是簡(jiǎn)單地向?qū)W生解釋一下，是實(shí)驗(yàn)誤差，學(xué)生也能承受。但在喜歡較真的學(xué)生心里卻埋下了問題的種子，思量著是否有其他的推理方法來驗(yàn)證甚至推翻這個(gè)結(jié)論。2.知識(shí)漸豐使得問題萌

5、發(fā)。學(xué)生會(huì)想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶爾的，雖然教材中沒有要求，但在面積體積的教學(xué)中，我鋪墊了有關(guān)點(diǎn)線面三者之間演變的過程，那時(shí)是為了幫助他們更好地理解概念：把點(diǎn)一個(gè)個(gè)沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了線，線段的長(zhǎng)度可以理解為點(diǎn)的個(gè)數(shù)；把同樣長(zhǎng)度的線段沿一定的方向平行疊加排列，就形成一個(gè)面，線的條數(shù)可以理解為所形成的長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)方形的面積線的長(zhǎng)度線的條數(shù)長(zhǎng)寬；大小一樣的面，一層層往上疊加形成柱體，面的層數(shù)可以理解為柱體的高。柱體體積底面面積面的層數(shù)底面面積高。沒想到，埋下的種子，卻在這里生根發(fā)了芽。3.求知欲和好勝心強(qiáng)促使問題爆發(fā)。6年級(jí)的孩子叛逆心強(qiáng)，不滿現(xiàn)實(shí),充滿夢(mèng)想，喜歡挑

6、戰(zhàn)權(quán)威，又追求新奇。平時(shí)班級(jí)競(jìng)賽中又多以解答方法巧妙而論勝負(fù)，導(dǎo)致學(xué)生尤其是優(yōu)秀學(xué)生群中，以與眾不同為榮。他們學(xué)有余力，專門喜歡研究冷門解法，以彰顯自己的實(shí)力。面對(duì)生成，老師如何應(yīng)對(duì)1.錯(cuò)誤的過程比正確的結(jié)果更重要?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注過程的價(jià)值，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和感受。學(xué)生良好的情感態(tài)度和價(jià)值觀的獲得也是一項(xiàng)教學(xué)目的，一定程度上，這比知識(shí)和技能的掌握更重要。我知道學(xué)生的結(jié)論是錯(cuò)誤的，但我無法解釋，那么，對(duì)于這個(gè)過程的思辨和探究是否該停頓呢？從知識(shí)習(xí)得的角度說，學(xué)生是失敗的，繼續(xù)研究討論錯(cuò)誤的結(jié)論是沒有必要的。但從另一個(gè)角度來看，學(xué)生是成功的，因?yàn)樗麄儾粌H參與了數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得了親身體驗(yàn)，而且在

7、正確與錯(cuò)誤的思維交鋒中，迫使他們不斷調(diào)整、完善、重塑頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)造和數(shù)學(xué)思維方式。只有經(jīng)過深化討論研究，真正弄清了錯(cuò)誤的根源所在，才能更深化地體會(huì)正確之正的真正意義。就算反復(fù)考慮后仍無法解答，留一個(gè)問號(hào)在腦子里，隨時(shí)思量，也是一件不錯(cuò)的事情。這個(gè)探究的過程，就是學(xué)生自我進(jìn)步的過程。當(dāng)然，這個(gè)討論的過程假如放在課后小范圍中繼續(xù)進(jìn)展，更能協(xié)調(diào)好班級(jí)整體開展與個(gè)人開展的關(guān)系。2.學(xué)生思維的鍛煉比老師的智慧形象更重要。教學(xué)真的是一條奇幻旅程，假如沒有平日里對(duì)他們算法多樣化的縱容，他們就會(huì)毫不猶豫地承受書本上的定論，也就不會(huì)旁生枝節(jié)，搞出這樣一個(gè)至今還令我無法解釋的問題。那么，今天站在課堂上的我仍

8、然是一個(gè)學(xué)識(shí)淵博的不倒問，照這樣的邏輯推理，是我自己給自己制造了費(fèi)事，懊悔嗎？不！不懊悔！這件事情確實(shí)讓我有所震動(dòng)。老師之所以有權(quán)威，其中一個(gè)重要的原因是老師在某些方面比學(xué)生知識(shí)淵博，兩者之間知識(shí)相差的間隔 越大，權(quán)威感就越強(qiáng)，因此對(duì)老師自身業(yè)務(wù)的進(jìn)步也就提出了更高的要求。如今學(xué)生獲取知識(shí)的途徑越來越多，學(xué)習(xí)的速度越來越快，假如把如今老師和學(xué)生之間的知識(shí)差看作一個(gè)固定的數(shù)，那如何來減緩這個(gè)差距縮小的速度呢？是控制學(xué)生的學(xué)習(xí)速度，讓自己可以悠閑地吸收新知識(shí)？還是想盡方法激發(fā)他們體內(nèi)的智慧能量，然后在他們的窮追猛跑下策馬狂奔？我想，我的選擇肯定是后者。課后，為了這個(gè)問題我查看了七八本書，還請(qǐng)教了教

9、研員和數(shù)學(xué)學(xué)科方面的專家，在他們的指導(dǎo)下，總算對(duì)這個(gè)問題有了進(jìn)一步深化的理解:我們一直從面的角度在考慮，無限分割成面后，把任意一個(gè)面沿對(duì)角線平分，那么三角形x和三角形y的面積相等如圖四，因此旋轉(zhuǎn)累加后，三角形x所形成的體與三角形y所形成的體也是體積一樣的，因此學(xué)生的二分之一說似乎是有根據(jù)的。但事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)成形和線形疊加成形是不同的。旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度雖然一定，但旋轉(zhuǎn)點(diǎn)離中心點(diǎn)的位置不同，實(shí)際挪動(dòng)的間隔 也是不同的。打個(gè)比方，在旋轉(zhuǎn)面的一條邊上取兩個(gè)點(diǎn)j和k，旋轉(zhuǎn)同樣的角度時(shí)，j所挪動(dòng)的間隔 要明顯的大于k所挪動(dòng)的間隔 如圖五。也就是說，在每個(gè)旋轉(zhuǎn)瞬間形成的是中間薄、外端厚，底面是扇形的柱體如圖

10、六。把它沿著AEF這個(gè)面分割，三角形x沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的四面體是ABEF,三角形y沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的五面體是ACDEF,從體積的角度看，這兩個(gè)部分的底面完全一樣，是一個(gè)扇形，但分開比較后可以發(fā)現(xiàn)，三角形x沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體，以軸AB為高度最大處的厚度如圖七，而三角形y沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體是以弧面CDEF為高度最大處的厚度如圖八，兩者的體積進(jìn)展比較顯而易見是后者比較大。由此推論，二分之一說就不能成立了。假如能證明五面體ACDEF的體積正好是四面體ABEF的兩倍，那倒可以成為圓錐體積三分之一說的另一種證明方法，可惜弧面的計(jì)算方法是我未曾涉獵的知識(shí)，這次被學(xué)生問住開場(chǎng)促使我重新審視自己的知

11、識(shí)構(gòu)造，我所擁有的知識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠??！復(fù)雜問題，怎樣深化淺出學(xué)生期盼的解答終于揭開面紗，但這么復(fù)雜的解釋想讓6年級(jí)的學(xué)生承受似乎有點(diǎn)困難，得想個(gè)好方法。那天我走進(jìn)教室的時(shí)候，手中多了1個(gè)圓形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，讓學(xué)生清楚感受到形成的是1個(gè)圓柱體，然后拿出蛋糕，我們來切一個(gè)面看看，我從圓心出發(fā)切了1刀，讓學(xué)生想象切面是什么形狀，學(xué)生想到了，是長(zhǎng)方形，只不過藏在里面。30個(gè)這樣的長(zhǎng)方形疊加呢？我拿出了另外的30個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形追問。是長(zhǎng)方體。學(xué)生毫不猶豫地答復(fù)，我按他們的意思疊加了一遍，果然是長(zhǎng)方體。接著我不緊不慢地說，假如旋轉(zhuǎn)了一度算一片，旋轉(zhuǎn)30度左右，該切在哪里?。亢芏鄬W(xué)生自

12、告奮勇來切，一塊蛋糕就切下來了。觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？在兩個(gè)物體的比較中學(xué)生很快明白了直線疊加和旋轉(zhuǎn)疊加的不同如圖九：直線疊加兩端同時(shí)增厚，而旋轉(zhuǎn)疊加一端增厚，沿軸的一端厚度卻一直沒有發(fā)生變化。我乘勝追擊,合適直線疊加的推論就不一定會(huì)合適旋轉(zhuǎn)疊加，因?yàn)橛幸徊糠直换ハ鄶D掉了。說的時(shí)候我還特地使勁捏了捏長(zhǎng)方體的一端。有些學(xué)生開場(chǎng)醒悟了，小聲地說那就不一定是二分之一了。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然

13、也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。這就滿足了??！那我的蛋糕不是浪費(fèi)了嗎？我成心賣了個(gè)關(guān)子，學(xué)生頓時(shí)來了精神。還有什么？我拿起切下的那塊蛋糕，這個(gè)面是長(zhǎng)方形吧？沿對(duì)角線一分是兩個(gè)一模一樣的三角形吧？好，沿這條對(duì)角線把蛋糕切開，兩塊一樣大嗎？學(xué)生中起了爭(zhēng)論，不一會(huì)兒就只剩下一種聲音，當(dāng)?shù)案獗晃矣蒙厦娴姆椒ㄇ虚_來后，學(xué)生終于明白：用面的方法來考慮體，是不周到的。當(dāng)那兩個(gè)他們說不出形狀的體真實(shí)地?cái)[在他們面前時(shí)，他們已經(jīng)明白了錯(cuò)誤的原因，那個(gè)我也無法用他們?nèi)缃袼芾斫獾臄?shù)學(xué)語言來解釋的原因。課本、報(bào)

14、刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。“師之概念，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫??！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者。“老“師連用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。