信號(hào)與系統(tǒng)王明泉課件第3章

1、第第3章章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 的頻域分析的頻域分析中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 信號(hào)課程建設(shè)組主講：金 永第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析2 /107信號(hào)與系統(tǒng)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析n3.0 3.0 引言引言3 3n3.1 3.1 用正交函數(shù)集表示信號(hào)用正交函數(shù)集表示信號(hào)4 4n3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)7 7n3.3 3.3 非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)的傅里葉變換2828n3.4 3.4 傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用4545n3.5 3.5 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換6969n3.6 3

2、.6 調(diào)制與解調(diào)調(diào)制與解調(diào)7878n3.7 3.7 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析法線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析法8282n3.8 3.8 無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏?989n3.9 3.9 理想低通濾波器理想低通濾波器9595n3.103.10系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性104104第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3 /107信號(hào)與系統(tǒng)3.0 3.0 引引 言言 傅里葉的兩個(gè)最主要的奉獻(xiàn)：“周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào) 的加權(quán)和 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表 示 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析4 /107信號(hào)與系統(tǒng)主要內(nèi)容

3、主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定

4、理。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析5 /107信號(hào)與系統(tǒng) 頻域分析法也是要解決這兩個(gè)問題，信號(hào)的分解和響應(yīng)的合成。但是它與時(shí)域分析法不同的是，以虛指數(shù)信號(hào)正弦信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，信號(hào)分解成系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)為卷積形式 時(shí)域分析法主要解決了兩個(gè)問題，一是信號(hào)的分解：以(t)作為測(cè)試信號(hào)，將信號(hào)分解為()( ) ()xtxtd )()()(txthty的形式；二是響應(yīng)的合成：利用。 tjetje的線性組合，而響應(yīng)也是的線性組合。這里引入了頻率的概念，涉及到了傅里葉變換。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6 /107信號(hào)與系統(tǒng)

5、響應(yīng)，這個(gè)式子也就是系統(tǒng)h(t)的傅里葉變換模式。對(duì)于一個(gè)信號(hào)可以分解為 對(duì)于系統(tǒng)輸入為tje，那么輸出為tjjtjtjtjejHdheedhethety)()()()()()(這里 dtthejHtj)()(tje)(jH，是系統(tǒng)頻率特性或頻率么得到的響應(yīng)就是信號(hào)分解的線性組合中的每一項(xiàng)乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù)波分析將信號(hào)分解為級(jí)數(shù)形式，非周期信號(hào)可以應(yīng)用傅里葉變換分解成積分形式。線性組合，那。周期信號(hào)可以應(yīng)用諧第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析7 /107信號(hào)與系統(tǒng)從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的

6、根葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的根底上開展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析底上開展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析頻域分析。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函頻域分析。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。制和頻分復(fù)用等重要概念

7、。 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析8 /107信號(hào)與系統(tǒng)3.1 用正交函數(shù)集表示信號(hào) 滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的線性組合。線性組合。 即任意信號(hào)即任意信號(hào)x(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1, t2)內(nèi)可由完備內(nèi)可由完備正交函數(shù)集的線性組合表示為正交函數(shù)集的線性組合表示為11221( )( )( )( )( )nnniiix tC g tC g tC g tC g t11221( )( )( )( )( )nniiix tC g tC g tC g tC g t近似為近似為各分量的標(biāo)量系數(shù)為各分量的標(biāo)量系數(shù)為21212( )( )d( )dti

8、tititx t g ttCgtt第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析9 /107信號(hào)與系統(tǒng) 包含正、 余弦函數(shù)的三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集。 它具有以下優(yōu)點(diǎn)： (1) 三角函數(shù)是根本函數(shù)； (2) 用三角函數(shù)表示信號(hào)， 建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)根本物理量之間的聯(lián)系； (3) 單頻三角函數(shù)是簡(jiǎn)諧信號(hào)， 簡(jiǎn)諧信號(hào)容易產(chǎn)生、 傳輸、 處理； (4) 三角函數(shù)信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后， 仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)， 僅幅度和相位有變化， 計(jì)算更方便。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析10 /107信號(hào)與系統(tǒng)三角函數(shù)的正交性質(zhì)三角函數(shù)的正交性質(zhì)0011cos()sin()0tTtntmt dt0011

9、()sin()sin()2()0tTtTm nn tm t dtm n0011()cos()cos()2()0tTtTmnntmt dtmn復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)0100tTjnttedt0n11cos,sinntnt1jte2復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù)1三角函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù) 當(dāng)周期為T的函數(shù)f(t)滿足狄里克雷Dirichlet條件時(shí)，它可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮數(shù)：第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析11 /107信號(hào)與系統(tǒng)3.2.1 3.2.1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)狄里克雷條件n(1) 在一周期內(nèi)連續(xù)或有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； n(2) 一周期內(nèi)函數(shù)的極值點(diǎn)是有限的； n(3) 一周期內(nèi)函

10、數(shù)是絕對(duì)可積的， 即00( )tTtx t dt 3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析12 /107信號(hào)與系統(tǒng) 0002 , , x tTT周期信號(hào)周期為基波角頻率為在滿足狄氏條件時(shí)，可展成0001( )cossinnnnx taantbnt直流分量直流分量0001( )dtTtax ttT余弦分量的幅度余弦分量的幅度0002( )cosdtTntax tnttT正弦分量的幅度正弦分量的幅度0002( )sindtTntbx tnttT稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析13 /1

11、07信號(hào)與系統(tǒng)頻率為f1的分量稱為基波，為基頻，三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的其他形式三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 001( )sinnnnx tddnt22nnnbad 001( )cos nnnx tccnt0c在信號(hào)與系統(tǒng)中為直流信號(hào)，稱為n次諧波；頻率是基波頻率的整數(shù)倍。頻率為nf1的分量012f第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析14 /107信號(hào)與系統(tǒng)關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系

12、曲線稱為相位頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 nc n幅度頻率特性和相位頻率特性幅度頻率特性和相位頻率特性周期信號(hào)可分解為直流、基波周期信號(hào)可分解為直流、基波 和各次諧波和各次諧波（ 基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合0 0n 注：周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處，是離散的。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析15 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：周期信號(hào)畫出其頻譜圖tttttx00003sin21sin2)452cos(cos21)(00000051( )1 2cos()cos(2)cos(

13、3)442211 2cos()cos(2)cos(3)4422x ttttttt 0211cn000n000442(a)(b)210直流分量基波2次諧波幅度頻譜圖相位頻譜圖第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析16 /107信號(hào)與系統(tǒng)例例求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 tAtAtf112sin2sin0

14、 22 )(111TtTtTAtf直流直流基波基波二次諧波二次諧波t tfA/2/221T21T 112T第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析17 /107信號(hào)與系統(tǒng)圖示四種同周期的信號(hào)，圖示四種同周期的信號(hào)，(1) (1) 求求f1(t)的三角型傅立葉級(jí)數(shù)；的三角型傅立葉級(jí)數(shù)；(2) (2) 利用各波形與利用各波形與f1(t)的關(guān)系求另三個(gè)波形的三角型傅立的關(guān)系求另三個(gè)波形的三角型傅立葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) f1(t)tT01T/2(a)-T/2f2(t)tT01T/2(b)-Tf3(t)tT01T/2(c)-Tf4(t)tT01T/2(d)-T/220041d21TttTTa第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系

15、統(tǒng)的頻域分析18 /107信號(hào)與系統(tǒng)014a 222220002222222222000sin2244 cos sin 41 (cos 1)(cos 1),cos2244 sin cos 21 cos 02 TTTnTTTnn tatn t dttn t dtTTnTT nnnn Tnn tbtn t dttn t dtTTnTT nnnn /12212322111111cos cos 1cos 1 ( )cossin ;4( )cos -1cos 1(2)( )()( 1)cossin ;24( )1 cos cos 1(3)( )()cossin ;4( )(4)nnnnnnnnnnf t

16、n tn tnnnnTf tf tn tn tnnnnf tftn tn tnn 42321cos 11( )( )( )2cos .2( )nnf tf tf tn tnn=2,4,6第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析19 /107信號(hào)與系統(tǒng)0000000001cos()21sin()2cossinjnjnjnjnjnneeneejenjn指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)含義比較明確，但運(yùn)算很不方便，因此經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。 利用歐拉公式可以將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析20 /107信號(hào)與系統(tǒng)

17、nnnnnnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnntnjtnjnnnnneeceecceeceecceeceecceecctncctx000000002222222)cos()(110110110)()(10010指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析21 /107信號(hào)與系統(tǒng)00)0(,2)(cXecnXnjndttnjtntxTjbajcecnXTttnnnnnjnn)sin)(cos(1)(21)sin(cos2121)(00000tjnnntjnneXenXtx00)()(0dtetxTtjnTtt000)(1這樣x

18、(t)的指數(shù)形式為njtjnnnneecctx02)(00第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析22 /107信號(hào)與系統(tǒng)指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為nnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnjnnbXjXXjaXXXabXcXecjbaXecjbaeXXcaXnnnIm2)(Re2arctan2121)(2121)-(21000第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析23 /107信號(hào)與系統(tǒng) 指數(shù)形式的頻譜與三角形式的頻譜根本一樣，主要區(qū)別如下： 1引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)，負(fù)頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正頻率項(xiàng)合起來才代表一個(gè)振蕩分量； 2Cn是實(shí)

19、函數(shù)，Xn一般是復(fù)函數(shù)； 一般來說，Xn是復(fù)常數(shù)可以表示成模和幅角的形式njnneXX在三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式中，cn是第n次諧波分量的振幅， 但在指數(shù)形式中， Xn要與相對(duì)應(yīng)的第-n項(xiàng)X-n合并， 構(gòu)成第n次諧波分量的振幅和相位。 3當(dāng)Xn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Xn的正負(fù)表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析24 /107信號(hào)與系統(tǒng)0000 00 021c22c23cnFn244244 0 00000(a)(b)012141nX0211cn000n000442(a)(b)210第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析25 /107信號(hào)與系統(tǒng)nnncbanX2121)(22相

20、頻特性相頻特性 nnnabarctan幅頻特性幅頻特性 的奇函數(shù) 關(guān)于的偶函數(shù)關(guān)于取正值）的奇函數(shù)（實(shí)際關(guān)于取正值）的偶函數(shù)（實(shí)際關(guān)于 n X(n) n b n ann 頻譜分析第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析26 /107信號(hào)與系統(tǒng)1 13 nc0c1c3cO1 13 n O 頻譜圖頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnFc曲線曲線 n第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析27 /107信號(hào)與系統(tǒng)-2-4240f1(t)1-1310f2(t)T-TE2Tt例：信號(hào)展開為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) 1j j j 2221j 21 j 0022 1111(a)

21、1ed(ee)sinSa ;44j 22221 ( )Sae;221(b) , ()ed2 ()jntnnnntnTntnnnFtnnnf tEEFFTttTTEtTnT j j 200j 2 0eej2()j ( )e .22TTntntntnnEEnnTEEf tnXXX第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析28 /107信號(hào)與系統(tǒng)周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜 周期信號(hào)的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號(hào)是功率信號(hào)。22221( )TTnnPxt dtXT 平均功率0022222*1( )1( )TjntTnnTjntTnnnnnnnnnnPx tX edtTXx t ed

22、tTX XX XX時(shí)域頻域第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析29 /107信號(hào)與系統(tǒng)n上式反映了周期信號(hào)的平均功率與離散譜之間的關(guān)系，稱為功率信號(hào)的帕塞瓦爾關(guān)系式。n周期信號(hào)的平均功率等于直流、基涉及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。n信號(hào)的幅頻特性決定了信號(hào)的平均功率分布規(guī)律， 隨 分布的特性稱為周期信號(hào)的功率譜。 顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。n從周期信號(hào)的功率譜中可以直觀的看到平均功率在各頻率分量上的分布情況。 2nX0n22221( )TTnnPxt dtXT 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析30 /107信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)與函數(shù)對(duì)稱的關(guān)系

23、傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)與函數(shù)對(duì)稱的關(guān)系1 1、偶函數(shù)、偶函數(shù)( )()x txt/2/200/20/20/224( )cos( )cos2( )sin0TTnTTnTax tntdtx tntdtTTbx tntdtT00arctan02nnnnnnnnaabXXaa nX傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。為實(shí)函數(shù)。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析31 /107信號(hào)與系統(tǒng)2 2、奇函數(shù)、奇函數(shù)( )()x txt 202/20/2/2/200/201 ( )d =0 2( )cos024( )sin( )sinTTTnTTTnTax ttTax tntdtTbx tntdtx tntdt

24、TT/20arctan/202nnnnnnnnbbbXXjba nX傅里葉級(jí)數(shù)中無余弦分量，為虛函數(shù)。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析32 /107信號(hào)與系統(tǒng)2,4,6 0nnnab時(shí)3 3、奇諧函數(shù)半波像對(duì)稱、奇諧函數(shù)半波像對(duì)稱20041,3,5 ( )cosdTnnax tnttT時(shí)2004( )sindTnbx tnttTx(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即)(tfOtTT 2T( )2Tx tx t 假設(shè)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)假設(shè)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化：00a 第3章

25、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析33 /107信號(hào)與系統(tǒng)5 , 3 , 16 , 4 , 2coscos)2(cos000nntntnTtnT/2-T/20tx(t)E-E，2020200022200002( )cos22 ( )cos( )cos22 ()cos()( )cos22TTnTTTTaf tntdtTf tntdtf tntdtTTTTf tntdtf tntdtTTxxxxx)()2(tfTtfxx5 , 3 , 16 , 4 , 2cos)(40200nntdtntfTaTn同理可得 5 , 3 , 16 ,4,2sin)(40200nntdtntfTbTnxx第3章 連續(xù)時(shí)間信

26、號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析34 /107信號(hào)與系統(tǒng) 2Tx tx t02T4 4、偶諧函數(shù)、偶諧函數(shù)2004( )sindTnbx tnttT1,3,5 0nnnab當(dāng)時(shí)20042,4,6 ( )cosdTnnax tnttT當(dāng)時(shí)x(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量2T波形移動(dòng)與原波形重合，稱為偶諧函數(shù)。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析35 /107信號(hào)與系統(tǒng)0001cossinNNnnnSaantbnt誤差函數(shù) ( )NNtx tS方均誤差00221( )( )dtTNNNtEtttT 0001cossinnnnx taantbnt) 12(N

27、)(tx取傅里葉級(jí)數(shù)的前 項(xiàng)來逼近周期信號(hào) 22222011( )2NNNnnnEtxtaab周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的近似周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的近似第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析36 /107信號(hào)與系統(tǒng)N越大，越接近信號(hào) 快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形 將會(huì)失真； 方波信號(hào)傅里葉有限級(jí)數(shù)方波信號(hào)傅里葉有限級(jí)數(shù)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析37 /107信號(hào)與系統(tǒng)吉布斯現(xiàn)象n中選取傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，在所合成的波形種出現(xiàn)的峰值起伏越靠近的不連續(xù)點(diǎn)。但是對(duì)任何有限的N值，局部和所呈現(xiàn)的峰值的最大值趨于一個(gè)常

28、數(shù)，它大約等于總跳變值的9，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。這種現(xiàn)象通常稱為吉布斯Gibbs現(xiàn)象。n吉布斯現(xiàn)象說明：用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)表示有間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可防止的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會(huì)隨項(xiàng)數(shù)的增加而減少。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，向間斷點(diǎn)處壓縮，而使它所占有的能量減少。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析38 /107信號(hào)與系統(tǒng)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)1、離散性：譜線分布是離散的，而不是連續(xù)的。2、諧波性：譜線在頻率軸上的位置刻度一定是基頻 的整數(shù)倍。3、奇偶性：實(shí)信號(hào)的幅度譜是n的偶函數(shù)，而相 位譜是n 的奇函數(shù)。 4、收斂性：功率有

29、限信號(hào)的譜線長(zhǎng)度隨 n而衰 減到零。 5、功率守恒性帕斯瓦爾定理：從時(shí)域上求得的 信號(hào)的功率等于其頻域中的直流分量與各次諧波 分量的功率之和。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析39 /107信號(hào)與系統(tǒng)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)其它022)(tEtx0000/ 22/ 20222000011|1222sin22jntjntnnnjjEXEedteTTjnEeeTnjnnEESaTnT 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析40 /107信號(hào)與系統(tǒng)0Sa2nEXnT頻譜及其特點(diǎn)頻譜及其特點(diǎn)(1)(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)(3)離散譜諧波性離散

30、譜諧波性0 n當(dāng)時(shí)取值(2) 0EnT其最大值在處，為。5/nX（）是是復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)（此此處處為為實(shí)實(shí) 函函數(shù)數(shù)），幅幅度度 相相位位 2)4 第第一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)：（ET 222令=000,nnXX，相位為，相位為。5T 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析41 /107信號(hào)與系統(tǒng) 00ETTx t當(dāng)時(shí)，為無限小由周期信號(hào)非周期信號(hào)。02TT幅度譜線間隔 矩形脈沖的頻譜說明了周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)： 離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性。ET 22第一零點(diǎn)20時(shí)，0，信號(hào)變成了沖激信號(hào) T，信號(hào)變成了直流信號(hào) 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析42 /107信號(hào)與系統(tǒng)頻帶寬度頻

31、帶寬度ET 2第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大局部能量平均功率第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大局部能量平均功率由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析43 /107信號(hào)與系統(tǒng)在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度頻帶寬度。對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為 的頻的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。率區(qū)間定義為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為

32、： ，帶寬與脈寬成反比。，帶寬與脈寬成反比。或或 12 fBB語音信號(hào)語音信號(hào) 頻率大約為頻率大約為 3003400Hz，音樂信號(hào)音樂信號(hào) 5015,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器 有效帶寬約為有效帶寬約為 1520,000Hz。系統(tǒng)的通頻帶信號(hào)的帶寬，才能不失真max110nX第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析44 /107信號(hào)與系統(tǒng)3.3.1 3.3.1 傅里葉變換的引出傅里葉變換的引出再用再用 表示頻譜就不適宜了，雖然各頻譜幅度無表示頻譜就不適宜了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。nXET 2( )x t

33、：周期信號(hào)：周期信號(hào)非周期信號(hào)非周期信號(hào)0j221( )edTntTnXx ttT 連續(xù)譜，幅度無限小連續(xù)譜，幅度無限小離散譜離散譜T 002 T 0各系數(shù)各系數(shù)譜線間隔譜線間隔第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析45 /107信號(hào)與系統(tǒng)010, ()0 fX nT 0j2021()( )edTntTX nx ttT 0j202( )edlimlimTntTTTXjTX nx tt 0001X nX nTX nfT T 1 0X nf 頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)T T 單位頻帶上的單位頻帶上的頻譜值頻譜值T j( )edtx tt 有界函數(shù)有界函數(shù)連續(xù)連續(xù) 000dnn

34、第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析46 /107信號(hào)與系統(tǒng)頻譜密度函數(shù)的表示頻譜密度函數(shù)的表示j ()() |()|eX jX j Xj j()( )ed( )tX jx ttF x t 幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜傅里葉變換傅里葉變換第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析47 /107信號(hào)與系統(tǒng)反變換反變換0j000()( )entnX nx t 000()()2limlimTTXjTX nX n j1ed2tx tXj 0j0( )()entnx tX n 0d,0n T 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 00()2limTXjX n 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析48 /107信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變

35、換對(duì)傅里葉變換對(duì) j()( )ed( )tX jx ttF x t j11( )d2tx tXjeFXj x tXj 由 ()11( )()()22j tjtf tFedFed 若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶，相頻為奇，此時(shí) 1( )() cos()2f tFtd 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析49 /107信號(hào)與系統(tǒng) 求和求和 振幅振幅 指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào) jj1( )edde22ttXjx tXj 無窮多個(gè)振幅為無窮小 的連續(xù)指數(shù)信號(hào)之和，頻域范圍 1 d 2Xj (,) 傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析50 /107信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換存在的

36、條件傅里葉變換存在的條件所有能量信號(hào)均滿足此條件。所有能量信號(hào)均滿足此條件。 dx tt 有有限限值值 函函數(shù)數(shù)類類型型大大大大擴(kuò)擴(kuò)展展了了。傅傅里里葉葉變變換換的的函函數(shù)數(shù)的的概概念念后后，允允許許作作當(dāng)當(dāng)引引入入 絕對(duì)可積絕對(duì)可積充分條件充分條件第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析51 /107信號(hào)與系統(tǒng)三、傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系三、傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系1、區(qū)別點(diǎn)： 傅里葉變換是一種變換域運(yùn)算，其物理意義反映了信號(hào)不同頻率w的頻譜密度；傅里葉級(jí)數(shù)是針對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行諧波分析的工具，反映了信號(hào)的諧波結(jié)構(gòu)離散。 2、聯(lián)系點(diǎn)： 傅里葉變換是利用傅里葉級(jí)數(shù)來導(dǎo)出的； nnjXTX| )

37、(1第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析52 /107信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換對(duì)傅里葉變換對(duì) j()( )ed( )tX jx ttF x t j11( )d2tx tXjeFXj x tXj 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析53 /107信號(hào)與系統(tǒng)典型非周期信號(hào)傅里葉變換典型非周期信號(hào)傅里葉變換1 1、矩形脈沖信號(hào)、矩形脈沖信號(hào) ( )()()22x tE u tu tjj22jj2222sinee2ede.j2 j22ttEEXjEtESa2ESa2XjE 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn 幅度頻譜 相位頻譜 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析54 /107信號(hào)

38、與系統(tǒng) 12 fBB或或 Sa2XjE 頻寬：頻寬：幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻譜頻譜時(shí)限頻無限，頻限時(shí)無限第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析55 /107信號(hào)與系統(tǒng)2 2、單邊指數(shù)信號(hào)、單邊指數(shù)信號(hào) e000 0ttx tt()0()0()( )|j tajajtX jx t edtedteaj1aj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析56 /107信號(hào)與系統(tǒng) 221Xj 10,0XjXj arctan 2,2,0, 0 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜：1第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析57 /107信號(hào)與系統(tǒng)3 3、雙邊指數(shù)函數(shù)、雙邊指數(shù)函數(shù)( ),0,tx tet 0

39、0()11atj tatj tX je edteedtjj222第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析58 /107信號(hào)與系統(tǒng)4 4、符號(hào)函數(shù)、符號(hào)函數(shù)10sgn( )10ttt00sgn( )limsgnlim( )()ataatatateteu te utt11 )sgn(tOte te 1( )( )()atatx teu te ut0jj1022eede ed11j2jjttttXjtt 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析59 /107信號(hào)與系統(tǒng) 2je22jj2sgn t 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 0,20 ,202arctan 2Xj100112()lim()limX jXjjjj第3章

40、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析60 /107信號(hào)與系統(tǒng)5 5、沖激函數(shù)、沖激函數(shù) j()ed1tX jtt Bt,01時(shí)時(shí)的矩形脈沖，的矩形脈沖，看作看作沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。 在時(shí)域中變化異常劇烈的沖擊函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量，而變化緩慢的信號(hào)那么反之。第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析61 /107信號(hào)與系統(tǒng)沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換 jj e de0jjttttttF(3-47)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析62 /107信號(hào)與系統(tǒng)6 6

41、、直流信號(hào)、直流信號(hào) 比照單位沖激函數(shù)的傅里葉變換，由傅里葉逆變換容易求得( )1x t ()1j tX jedt112( )2j ted 所以12( )j tedt 逆變換逆變換正變換正變換直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但傅里葉變換存在，這是引入沖擊函數(shù)的結(jié)果。 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析63 /107信號(hào)與系統(tǒng) 21 j1sgn21t7 7、階躍函數(shù)、階躍函數(shù) ttusgn2121 O j1)( tuOt2121 tsgn21第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析64 /107信號(hào)與系統(tǒng)8 8、復(fù)指數(shù)信號(hào)、復(fù)指數(shù)信號(hào)ticetx)(利用直流信號(hào)傅立葉變換的結(jié)果，可求得：即)(2cti

42、ce利用此結(jié)果可求出余弦、正弦信號(hào)的頻譜函數(shù)。)(21costjtjccceet)()(cc()( )( )ccjtj tj tjtFf t edteedtedt ()2()cF 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析65 /107信號(hào)與系統(tǒng) )()(cos000 t000sinjjt 頻譜圖頻譜圖:cos0頻譜圖頻譜圖t :sin0頻譜圖頻譜圖t 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析66 /107信號(hào)與系統(tǒng)1 1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)( )(), ( )()x tX jy tY j假設(shè) 那么 ( )( )()()ax tby taX jbY j ( )()(1,2, )iix tXjin11(

43、)()nniiiiiia x ta Xj假設(shè) 那么 a、b為常數(shù) ai為常數(shù) ( )( )( )( )( )( )j tj tj tF ax tby tax tby t edtax t edtby t edt第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析67 /107信號(hào)與系統(tǒng)2 2、尺度變換性質(zhì)、尺度變換性質(zhì)( )()x tX j假設(shè) 那么 1x atXjaa ()()j tF x atx at edt1 ()( )11( )()juajuaF x atx u eduax u eduX jaaa1 ()( )11( )()juajuaF x atx u eduax u eduX jaaa0a 0a u

44、at第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析68 /107信號(hào)與系統(tǒng)(1) 0a1意義意義第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析69 /107信號(hào)與系統(tǒng)a1持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。倍。0a1脈沖持續(xù)時(shí)間增加脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。倍。此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)

45、間壓縮，那有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，那么要以展開頻帶為代價(jià)。么要以展開頻帶為代價(jià)。 3 1 ( ),ax txtXjXj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析70 /107信號(hào)與系統(tǒng)12( )( )( )x tx tjx t3 3、奇偶虛實(shí)性、奇偶虛實(shí)性()R j()I j121212()( )( )( )cossin( )cos( )sin( )sin( )cos()()j tX jx t edtx tjx ttjt dtx ttx tt dtjx ttx tt dtR jjI j22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

46、的頻域分析71 /107信號(hào)與系統(tǒng)1 是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)( )x t()( )cosR jx ttdt()( )sinI jx ttdt 偶函數(shù)奇函數(shù)*()()()()XjR jjI jXj22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 偶函數(shù)奇函數(shù)實(shí)部實(shí)部虛部虛部幅度幅度相位相位1( )( )x tx t第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析72 /107信號(hào)與系統(tǒng) 是實(shí)偶函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)( )x t()0I j()()X jR j也是實(shí)偶函數(shù)也是實(shí)偶函數(shù) 是實(shí)奇函數(shù)是實(shí)奇函數(shù)( )x t()0R j()()X jjI j是虛奇函數(shù)是虛奇函數(shù)()( )cosR jx ttdt

47、()( )sinI jx ttdt 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析73 /107信號(hào)與系統(tǒng)2 是虛函數(shù)是虛函數(shù)( )x t2()( )sinR jx ttdt2()( )cosI jx ttdt 偶函數(shù)奇函數(shù)22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 偶函數(shù)奇函數(shù)實(shí)部實(shí)部虛部虛部幅度幅度相位相位2( )( )x tjx t第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析74 /107信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)實(shí)一般實(shí)部偶、虛部奇、模偶、相位奇偶實(shí)偶奇虛奇虛虛偶虛偶奇實(shí)奇)(tx)(X上述討論的結(jié)果如下:()()xtXj*( )()x tXj*()()xtXj無論( )x t是實(shí)函數(shù)還是復(fù)

48、函數(shù)，都具有以下性質(zhì)第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析75 /107信號(hào)與系統(tǒng) 例：奇偶虛實(shí)性求單位階躍函數(shù)的頻譜 ( )( )( )eou tu tu t1( )2eu t 01( )( )2u tsgn t1( )2eu t （011( )( )2u tsgn tj1( )( )( )( )eou tu tu tj 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析76 /107信號(hào)與系統(tǒng)4 4、時(shí)移特性、時(shí)移特性( )()x tX j假設(shè) 那么 00()()j tx ttX je1( )()2j tx tX jed00()01()()21()2jttjtjtx ttXjedXjeed00()()j

49、tx tteXj時(shí)域的平移對(duì)應(yīng)頻域的相移：時(shí)域左移，頻相超前，時(shí)域的平移對(duì)應(yīng)頻域的相移：時(shí)域左移，頻相超前，時(shí)域右移，頻相滯后。時(shí)域右移，頻相滯后。 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析77 /107信號(hào)與系統(tǒng)例 求 信號(hào)的頻譜。( )()y tx atb( )()x tX j11( )()()()j bx tx tbeX jXj1111( )()()()()jbay tx atbx atXjeX jaaaa1()()jbaY jeX jaa221( )()()()x tx atX jXjaa121( )()()()()bbjjaaby tx atbx teXjeX jaaa方法一方法一方法二

50、方法二第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析78 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：信號(hào)如下圖，利用時(shí)移特性求它的頻譜特性例：信號(hào)如下圖，利用時(shí)移特性求它的頻譜特性)2()(SatG2)2()2()(jeSatGFjX2-21-1222sin4)(2)()() 1() 1()(jeeSatxFjXtGtGtxjj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析79 /107信號(hào)與系統(tǒng)5 5、頻移特性、頻移特性( )()x tX j假設(shè) 那么 令00( ) ()jtx t eX j01( )( )jtx tx t e那么 00jj1j0()( )ee( )etttXjx tdtx tdtX j 時(shí)域的相移對(duì)應(yīng)頻域的平移時(shí)

51、域的相移對(duì)應(yīng)頻域的平移 0001( )cos( ()( ()2x ttX jX j0001( )sin( ()( ()2x ttX jX jj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析80 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：正弦信號(hào)的傅里葉變換例：正弦信號(hào)的傅里葉變換002()jte 000cos()()t 000sin()()tj 12( ) 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析81 /107信號(hào)與系統(tǒng)例矩形調(diào)幅信號(hào) ，如下圖 0cosx tGtt2G jESa00001122SaSa2222XjG jG jEE第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析82 /107信號(hào)與系統(tǒng)( )()x tX j()2X jtx

52、6 6、對(duì)偶性質(zhì)、對(duì)偶性質(zhì)1( )()2j tx tX jed將變量t與互換，得到2( )()j txX jt edt那么2()()j txX jt edt所以()2()X jtx假設(shè) 那么 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析83 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：抽樣函數(shù)的傅里葉變換。抽樣函數(shù)是偶函數(shù)。例：沖擊函數(shù)的頻譜函數(shù)。沖擊函數(shù)是偶函數(shù)。意義：傅里葉變換對(duì)意義：傅里葉變換對(duì))(2)(xtX)(211)(t)2()(SatG只有當(dāng)x(t)是t的實(shí)偶函數(shù)時(shí)，才有完全對(duì)稱性。此時(shí)X(jw)是w的實(shí)偶函數(shù)，即X(jw)= X(w)。1| , 01| ,)()()(2)(222GtSaFSatG，時(shí)第3章

53、 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析84 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：x(t)=t的傅里葉變換。jt )(。的奇函數(shù)是)( )(2)- ()- ()(2)(2jtjjjt。，頻域也乘以以根據(jù)線性性質(zhì)，時(shí)域乘例：x(t)=1/t的傅里葉變換。)sgn(-)sgn(,2)sgn(且jt)sgn(12),sgn(2)sgn(22jtjjt得到時(shí)頻兩邊同乘以 ，第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析85 /107信號(hào)與系統(tǒng)7 7、時(shí)域微分特性、時(shí)域微分特性( )()x tj X j假設(shè) ( )()x tX j那么 ( )()x tjX jj1( )()ed2tx tX j兩邊分別對(duì)求微分，得111( )()()()

54、221()()2j tj tj tx tX jedX jedX jj edFX jj( )( )()()nnxtjX j意義：意義：用于求解微分方程用于求解微分方程頻域分析頻域分析第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析86 /107信號(hào)與系統(tǒng)2(1)2( )02tEtx tt1202( )( )202Etx tx tEt 22( )( )()2 ( )()22Ex tx tttt j2242()ed22tEEEXjttttjj22242eeEEE22jXjXj 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析87 /107信號(hào)與系統(tǒng)jj2221242eeEEEXjjj22212e2eE2222284sinS

55、a4244EE02E()X j484822jj442222ee2 sin4EEj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析88 /107信號(hào)與系統(tǒng)假設(shè) ( )()x tX j那么 1( )()(0) ( )txdX jXj 特別地，當(dāng) (0)0X時(shí) 1( )()txdX jj8 8 時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析89 /107信號(hào)與系統(tǒng)()( )( ) ()1( )()( )( )1( ) ( )( )1( )( )()(0) (tj tj tj tjjjY jxdedtxu tdedtxu tedt dxedjxedxedjxdX jjX 1)()X jj( )( )

56、ty txd第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析90 /107信號(hào)與系統(tǒng)例：求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 ( )( )tu tt dt( )1t 11( )1 ( ) 1 ( )jju t ( ) ( )(1)(1)x tt u tu tu t1( )( )( )(1) ( )(1)(1)( )(1)x tx tu tu tttttu tu t2( )( )( )(1)x tx ttt( )x tt110( )x t110t例：求如圖函數(shù)的傅里葉變換 2()1jXje 2(0)0X第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析91 /107信號(hào)與系統(tǒng)1211()()jeXjXjjj101(0)lim1je

57、Xj11()()(0) ( )XjX jXj 2222221( )()( )()()1()( )2jjjjjeeeejjsaej 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析92 /107信號(hào)與系統(tǒng)9 9、頻域微分特性、頻域微分特性( )()x tj X j假設(shè) ( )()x tX j那么 ( )()djtx tX jd()()( )nnnd X jjtx td ( )()dtx tjX jd()( )( )( )j tj tj tdX jdx t edtdddx tedtdjtx t edt()( )nnnnd X jt x tjd或 或 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析93 /107信號(hào)與系統(tǒng)

58、( )( )atx tteu t1( ),ateu taj則221()1dX jjdajjjajaj求x(t)的傅里葉變換 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析94 /107信號(hào)與系統(tǒng)1010、頻域積分特性、頻域積分特性1( )()(0) ( )txdX jXj 假設(shè) ( )()x tX j那么 ( )(0) ( )()x txtX jdjt第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析95 /107信號(hào)與系統(tǒng)1111、時(shí)域卷積特性、時(shí)域卷積特性假設(shè) 1122,x tXjxtXj那么 1212xtxtXjXj d2121txxtxtx j1212j12j12j2112dededdeded()ttF x

59、txtxxttxxttxXjXjxXjXj第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析96 /107信號(hào)與系統(tǒng)意義： 兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積，即在時(shí)域中兩信號(hào)的卷積等效數(shù)頻譜的乘積，即在時(shí)域中兩信號(hào)的卷積等效于在頻域中頻譜相乘。于在頻域中頻譜相乘。 在頻域分析法中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在頻域分析法中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。( )( )* ( )y tx th t()()()Y jX jH j時(shí)域：頻域：1()()()()( )1(0) ( )()Y jX jU jX jjXX jj ( )( )( )* ( )ty txdx tu t例如例如第3

60、章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析97 /107信號(hào)與系統(tǒng)1( )x t( )x t()X j1()Xj22E2E0000Ettww2242222E11( )( )*( )x tx tx t22211()Sa2X jXjXjE第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析98 /107信號(hào)與系統(tǒng)1212、頻域卷積特性、頻域卷積特性假設(shè) 1122,x tXjxtXj那么 12121( )( )()()2x tx tXjXj 1212xtxtXjXj時(shí)域卷積 第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析99 /107信號(hào)與系統(tǒng)t( )x tE022t( )G tE022t( )p t1022()P j0( )02()