2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問題13

1、2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問題(二)例3 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y ，點C的坐標(biāo)為(4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上 (1) 寫出點M的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍； 當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為12時，求t的值圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10杭州24”，拖動點Q在拋物線上運動，從t隨x變化的圖像可以看到，t是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下還可以感受到，PQCM12只有一種情況，此時Q在y

2、軸上；CMPQ12有兩種情況思路點撥1第（1）題求點M的坐標(biāo)以后，RtOCM的兩條直角邊的比為12，這是本題的基本背景圖2第（2）題中，不變的關(guān)系是由平行得到的等角的正切值相等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，列關(guān)于t與x的比例式，從而得到t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系 3探求自變量x的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況4梯形的兩底的長度之比為12，要分兩種情況討論把兩底的長度比轉(zhuǎn)化為QH與MO的長度比滿分解答(1)因為ABOC 4，A、B關(guān)于y軸對稱，所以點A的橫坐標(biāo)為2將x2代入y，得y2所以點M的坐標(biāo)為（0，2）(2) 如圖2，過點Q作QH x軸，設(shè)垂足為H，則HQy，HPx t 因為CM/PQ，

3、所以QPHMCO因此tanQPHtanMCO，即所以整理，得如圖3，當(dāng)P與C重合時，解方程，得如圖4，當(dāng)Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x± 2因此自變量x的取值范圍是，且x¹± 2的所有實數(shù) 圖2 圖3 圖4因為sinQPHsinMCO，所以，即當(dāng)時，解方程，得（如圖5）此時當(dāng)時，解方程，得如圖6，當(dāng)時，；如圖6，當(dāng)時， 圖5 圖6 圖7考點伸展本題情境下，以Q為圓心、QM為半徑的動圓與x軸有怎樣的位置關(guān)系呢？設(shè)點Q的坐標(biāo)為，那么而點Q到x軸的距離為因此圓Q的半徑QM等于圓心Q到x軸的距離，圓Q與x軸相切例 4 已知，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位

4、置如圖1所示，點A的坐標(biāo)為(4,0)，點C的坐標(biāo)為，直線與邊BC相交于點D(1)求點D的坐標(biāo)；(2)拋物線經(jīng)過點A、D、O，求此拋物線的表達(dá)式；(3)在這個拋物線上是否存在點M，使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10奉賢24”，分別雙擊按鈕“MO/AD”、“MA/OD”和“MD/OA”，可以體驗到，在“MO/AD”和“MA/OD”兩種情況下，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD/OA”情況下，根據(jù)對稱性可以直接得到點M的坐標(biāo)思路點撥1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，設(shè)交點式比

5、較簡便2過AOD的三個頂點分別畫對邊的平行線與拋物線相交，可以確定存在三個梯形3用拋物線的解析式可以表示點M的坐標(biāo)滿分解答(1)因為BC/x軸，點D在BC上，C(0,2)，所以點D的縱坐標(biāo)為2把y2代入，求得x3所以點D的坐標(biāo)為(3,2)(2)由于拋物線與x軸交于點O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函數(shù)解析式為(3) 設(shè)點M的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)OM/DA時，作MNx軸，DQx軸，垂足分別為N、Q由tanMONtanDAQ，得因為x0時點M與O重合，因此，解得x7此時點M的坐標(biāo)為（7，14）如圖3，當(dāng)AM/OD時，由tanMANtanDOQ，得因為

6、x4時點M與A重合，因此，解得x1此時點M的坐標(biāo)為如圖4，當(dāng)DM/OA時，點M與點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，此時點M的坐標(biāo)為（1，2） 圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題的、用幾何法進(jìn)行計算，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角的正切相等如果用代數(shù)法進(jìn)行，計算過程比較麻煩以為例，先求出直線AD的解析式，再求出直線OM的解析式，最后解由直線OM和拋物線的解析式組成的二元二次方程組2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(三)例 5 如圖1，等邊ABC的邊長為4，E是邊BC上的動點，EHAC于H，過E作EFAC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PEEB設(shè)ECx（0x2）（1）請直接寫出圖中與線段EF相

7、等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；（2）Q是線段AC上的動點，當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時，求平行四邊形EFPQ的面積（用含的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)（2）中 的平行四邊形EFPQ面積最大值時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09福州21”，拖動點E在BC上運動，觀察面積隨x變化的圖象，可以體驗到，當(dāng)E是BC的中點時，平行四邊形EFPQ的面積最大，此時四邊形EFPQ是菱形拖動點M在BC的垂直平分線上運動可以改變E的大小，可以體驗到，E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)可能為2，4，6，3，

8、0思路點撥1如何用含有x的式子表示平行四邊形的邊PQ，第（1）題作了暗示2通過計算，求出平行四邊形面積最大時的x值，準(zhǔn)確、規(guī)范地畫出此時的圖形是解第（3）題的關(guān)鍵，此時點E是BC的中點，圖形充滿了特殊性3畫出兩個同心圓可以幫助探究、理解第（3）題：過點H的圓，過點C的圓滿分解答（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條（2）如圖2，在RtCEH中，C60°，ECx，所以因為PQFEBE4x，所以（3）因為，所以當(dāng)x2時，平行四邊形EFPQ的面積最大此時E、F、P分別為ABC的三邊BC、AB、AC的中點，且C、Q重合，四邊形EFPQ是邊長為2的菱形（如圖3） 圖2 圖3過點E點作EDFP

9、于D，則EDEH如圖4，當(dāng)E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是2個時，0r；如圖5，當(dāng)E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是4個時，r； 如圖6，當(dāng)E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是6個時，r2；如圖7，當(dāng)E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是3個時，r2時；如圖8，當(dāng)E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是0個時，r2時 圖4 圖5 圖6 圖7 圖8考點伸展本題中E是邊BC上的動點，設(shè)ECx，如果沒有限定0x2，那么平行四邊形EFPQ的面積是如何隨x的變化而變化的？事實上，當(dāng)x2時，點P就不存在了，平行四邊形EFPQ也就不存在了因此平行四邊形EFPQ的面積隨

10、x的增大而增大例6 如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D（1）直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF/DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？設(shè)BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09江西24”，拖動點P在BC上運動，可以體驗到，四邊形PEDF可以成為平行四邊形觀察BCF的形狀和S隨m變化的圖象，可以體驗到，S是m的二次函數(shù)，當(dāng)P是BC的中點時，

11、S取得最大值思路點撥1數(shù)形結(jié)合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長2當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時，根據(jù)DE=FP列關(guān)于m的方程3把BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB滿分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）拋物線的對稱軸是x1（2）直線BC的解析式為yx3把x1代入yx3，得y2所以點E的坐標(biāo)為（1，2）把x1代入，得y4所以點D的坐標(biāo)為（1，4）因此DE=2因為PF/DE，點P的橫坐標(biāo)為m，設(shè)點P的坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為，因此當(dāng)四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP于是得到解得，（與點E重合，舍去）因此，當(dāng)m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形

12、時設(shè)直線PF與x軸交于點M，那么OM+BM=OB=3因此m的變化范圍是0m3 圖2 圖3考點伸展在本題條件下，四邊形PEDF可能是等腰梯形嗎？如果可能，求m的值；如果不可能，請說明理由如圖4，如果四邊形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（與點CE重合，舍去），（與點E重合，舍去）因此四邊形PEDF不可能成為等腰梯形圖4例 7 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點（1）求點A、B、C的坐標(biāo)（2）當(dāng)CBD為等腰三角形時，求點的坐標(biāo)（3）在直線AB上是否存在點E，使得以點E、D、O、A為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直

13、接寫出的值；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“08太原29”，拖動點D可以在直線AC上運動分別雙擊按鈕“BCBD”，“CBCD”和“DBDC”，可以準(zhǔn)確顯示CBD為等腰三角形雙擊按鈕“平行四邊形”，可以體驗到，以點E、D、O、A為頂點的平行四邊形有三個思路點撥1數(shù)形結(jié)合，由兩條直線的解析式組成的方程組的解，就是點A的坐標(biāo)2分類討論等腰三角形CBD，按照頂角的頂點分三種情況討論3在計算點D的坐標(biāo)時，構(gòu)造以C為頂點的直角三角形，靈活運用三邊比3454畫平行四邊形時，是點E決定點D的位置：過點O作AC的平行線交AB于E，由OE與AD平行且相等得到點D的兩個位置，這樣就容易得到

14、三個平行四邊形滿分解答（1）在中，當(dāng)時，所以點的坐標(biāo)為在中，當(dāng)時，所以點的坐標(biāo)為（4，0）解方程組 得，所以點的坐標(biāo)為（2）因為點D在直線上，設(shè)點D的坐標(biāo)為當(dāng)CBD為等腰三角形時，有以下三種情況：如圖2，當(dāng)DBDC時，設(shè)底邊BC上的高為DM在RtCDM中，所以這時點D的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)CDCB5時，點D恰好落在y軸上，此時點D的坐標(biāo)為（0，3）根據(jù)對稱性，點D關(guān)于點C對稱的點D的坐標(biāo)為（8，3）如圖4，當(dāng)BCBD時，設(shè)BC、DC邊上的高分別為DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，這時點D的坐標(biāo)為綜上所述，當(dāng)CBD為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為、（0

15、，3）、（8，3）或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，以點E、D、O、A為頂點的四邊形是平行四邊形有以下三種情形：當(dāng)四邊形AEOD為平行四邊形時，當(dāng)四邊形ADEO為平行四邊形時，圖52013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問題(一)例 1 如圖1，直線l經(jīng)過點A(1，0)，且與雙曲線(x0)交于點B(2，1)過點(p1)作x軸的平行線分別交曲線(x0)和(x0)于M、N兩點（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點P在直線y2上，求證：PMBPNA；（3）是否存在實數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11南通28”，拖動點

16、P在射線AB上運動，可以體驗到，當(dāng)直線MN經(jīng)過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是兩個同高的三角形，MN4MP存在兩種情況思路點撥1第（2）題準(zhǔn)確畫圖，點的位置關(guān)系盡在圖形中2第（3）題把SAMN4SAMP轉(zhuǎn)化為MN4MP，按照點M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論滿分解答（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m2設(shè)直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得 解得 所以直線l的解析式為（2）由點(p1)的坐標(biāo)可知，點P在直線上x軸的上方如圖2，當(dāng)y2時，點P的坐標(biāo)為(3，2)此時點M的坐標(biāo)為(1，2)，點N的坐標(biāo)為(1，2)由P(3，2)、M(1，

17、2)、B(2，1)三點的位置關(guān)系，可知PMB為等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三點的位置關(guān)系，可知PNA為等腰直角三角形所以PMBPNA圖2 圖3 圖4（3）AMN和AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上當(dāng)SAMN4SAMP時，MN4MP如圖3，當(dāng)M在NP上時，xMxN4(xPxM)因此解得或（此時點P在x軸下方，舍去）此時如圖4，當(dāng)M在NP的延長線上時，xMxN4(xMxP)因此解得或（此時點P在x軸下方，舍去）此時考點伸展在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，AMN90°，此時點M的坐標(biāo)為（1，2），點P的坐標(biāo)為（3，2）

18、情形二，如圖6，MAN90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半不存在ANM90°的情況圖5 圖6例2 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，CBOA，OC4，BC3，OA5，點D在邊OC上，CD3，過點D作DB的垂線DE，交x軸于點E （1）求點E的坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)yx2bxc的圖像經(jīng)過點B和點E求二次函數(shù)的解析式和它的對稱軸；如果點M在它的對稱軸上且位于x軸上方，滿足SCEM2SABM，求點M的坐標(biāo)圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11松江24”，拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察面積比的度量值，可以體驗到，有兩個時刻，面積的比值等于2思路點撥1這三道題