《橢圓》第一課時(shí)參考教案

1、3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo):1了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻劃現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。2經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。3通過(guò)橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；坐標(biāo)法的根本思想。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)；坐標(biāo)法的運(yùn)用。教學(xué)任務(wù)分析：1學(xué)生已有的主要知識(shí)結(jié)構(gòu)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圓，了解圓的定義，經(jīng)歷了根據(jù)圓的特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程。2建立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)與圓類比，弄清橢圓上的點(diǎn)所滿足的條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)根本流程：回憶圓的定義，與已有的知識(shí)

2、聯(lián)系Vr通過(guò)作圖，提出問(wèn)題，引入橢圓的定義根據(jù)條件，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)與布置作業(yè)教學(xué)過(guò)程:問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)備注1、回憶圓的定義，讓 學(xué)生用準(zhǔn)備好的工具 畫圓。學(xué)生動(dòng)手畫圓，結(jié) 合圖形，重現(xiàn)思維 軌跡，為橢圓的學(xué) 習(xí)作好鋪墊。1由學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并說(shuō)出圓的 定義；畫圓時(shí)，繩子一端固 定在紙板上，一端栓 在筆上學(xué)生再次體會(huì) 筆尖到定點(diǎn)的距離不 變的情景。2.將圓心分開變?yōu)閮蓚€(gè)，繩子兩端固定在這提出新的問(wèn)題，激 發(fā)學(xué)生的好奇心，1師生一起畫圖，得到一個(gè)壓扁 的圓橢圓；讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的 美，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生兩個(gè)定點(diǎn)上，用筆勾住繩子，將會(huì)畫出什么樣的曲線呢？引發(fā)學(xué)習(xí)興趣。2教師演示課件：拱橋、橄欖

3、球、 天體的運(yùn)動(dòng)軌跡等?；钕⑾⑾嚓P(guān)。3. 在運(yùn)動(dòng)中，橢圓上的 點(diǎn)所滿足的幾何條件 是什么？4. 應(yīng)該如何描述動(dòng)點(diǎn)M 所滿足的幾何條件？1弄清曲線上的點(diǎn) 所滿足的幾何條件 是建立曲線方程的 關(guān)鍵之一。2.讓學(xué)生體會(huì)類比 思想，整理實(shí)驗(yàn)， 歸納抽象成數(shù)學(xué)問(wèn) 題。1引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè) 確疋的量一疋點(diǎn)及繩長(zhǎng)，變動(dòng) 的量一筆尖即橢圓上的點(diǎn)。2再次演示畫橢圓的過(guò)程，引導(dǎo) 學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：橢圓上的點(diǎn)到 兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和總是等于 繩長(zhǎng)。這里應(yīng)給予學(xué)生充分 思考和討論的時(shí)機(jī)， 引導(dǎo)他們說(shuō)出自己的 發(fā)現(xiàn)，并逐步修正得 到橢圓的定義。5.將兩位學(xué)生所畫的橢 圓投影到大屏幕，并提 出冋題：在繩長(zhǎng)相同的 情況下

4、，為什么畫出的 橢圓有圓有扁呢？使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓 的形狀受到兩定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的影響。1 教師：改變?cè)械膬啥c(diǎn)的 距離畫橢圓并觀察圖形，大家 有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：Fl,F2的距離愈近橢圓愈 圓，F(xiàn)l,F2的距離愈遠(yuǎn)橢圓愈 扁。6.如果只改變繩長(zhǎng)，而不改變Fi，F(xiàn)2的距離，又會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果呢使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 到橢圓的形狀也受 到繩長(zhǎng)的影響。教師：如果定點(diǎn)的位置相同， 只改變繩長(zhǎng)，橢圓又有什么變 化？學(xué)生：繩愈短橢圓愈扁，繩愈 長(zhǎng)橢圓愈圓。教師：設(shè) |FiF2|=2C， |MFi|+|MF2|=2a,如何通過(guò) a,c 刻劃?rùn)E圓的扁圓程度。c學(xué)生：當(dāng)a越小時(shí)，橢圓愈圓，c當(dāng)a越大時(shí)，橢圓越扁。7

5、.橢圓與兩定點(diǎn)位置及 疋線段長(zhǎng)有關(guān)，疋否給 疋了線段長(zhǎng)和兩疋點(diǎn) 位置就一定能作出橢 圓呢？加深對(duì)概念的理解師生共同探討，并演示課件， 展示 2a>2c,2a=2c,2a<2c三種不 同情形的軌跡。學(xué)生：當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡是橢 圓;當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是一條線段，是以為端點(diǎn)的線段； 當(dāng)2a<2c時(shí)，無(wú)軌跡;當(dāng)c=0時(shí)， 軌跡為圓.寫出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何條件的點(diǎn)的集合：P= M|MFi|+|MF2|=2a 。明確橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a2a大于|fiF2|的點(diǎn)的軌跡叫做 橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。8.

6、事實(shí)上橢圓在建筑、 電子乃至航空航天等 領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用， 因此，有必要進(jìn)一步探 求它的性質(zhì)，研究它的 方程。求曲線方程的步 驟是什么？怎樣建立 適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓 的方程呢？溫舊知新，讓學(xué)生 認(rèn)識(shí)到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo) 系有利于化簡(jiǎn)，也 會(huì)使所得的方程比 較簡(jiǎn)單。學(xué)生答復(fù)求曲線方程的步驟，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如何建立坐 標(biāo)系。通過(guò)分析曲線的特征 一 對(duì)稱性，得出以線段F1F2的中 點(diǎn)為原點(diǎn)，以FiF2的垂直平分 線為y軸建立直角坐標(biāo)系。事實(shí)上，橢圓的美主 要表達(dá)在均勻?qū)ΨQ 上，應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生 討論、發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。完成了建系設(shè)Mx,y是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為 2c(c>0),那么別是(-c,0

7、),(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與Fi，f2的距離的和等于常數(shù)2a2a>|FlF2|。由定義可知，橢圓就是集合P= M|MFl|+|MF2|=2a。，焦點(diǎn)Fi,F2的坐標(biāo)分|MFi|=J(x c)2 y2 |MF2|=J(x c)2 y2 J(x c)2 y2 + J(x c)2 y2 =2a能否將上面所得等式在學(xué)生已懂得一個(gè)請(qǐng)34名學(xué)生板演方程化簡(jiǎn)，兩邊同時(shí)平方？應(yīng)該如何處理兩個(gè)根號(hào)的位置更有利于化簡(jiǎn)？根式化簡(jiǎn)的情況 下，針對(duì)具體的問(wèn) 題，尋求解決問(wèn)題 的想法。教師在教室中走動(dòng)，觀察學(xué)生 的化簡(jiǎn)情況。組織學(xué)生評(píng)價(jià)板演情況，使學(xué)生明確假設(shè)將上面等式直接平方，那么化簡(jiǎn)過(guò)程繁雜且各項(xiàng)的次數(shù)很高；假設(shè)

8、將兩個(gè)根式放在等式的兩邊，平方后可消去、x2,y2,c2項(xiàng)簡(jiǎn)化計(jì)算，強(qiáng)調(diào)方法的選擇。通過(guò)投影，將化簡(jiǎn)的過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生<教師：設(shè) |FiF2|=2c,結(jié)合圖形，賦予展示圖形學(xué)生：可以看出通過(guò)類比，讓學(xué)生寫|MFi|+|MF2|=2a,觀察a,c, Pa C 以具體的幾何意義。a,c是以F12為底邊的等腰三角 形的腰及底邊的一半。出焦點(diǎn)在y軸上橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)圖形能否找出a,c,教師：不妨令a2-c2=b2那么方程方程分辨橢圓的焦點(diǎn):2 2嗣 C所表示的線在X軸或y軸上。可簡(jiǎn)化為b2x2+a2y2=a2b2兩段及其關(guān)系呢？邊同時(shí)除以a2b2得2 2x y 12 2ab，這就是焦點(diǎn)在X

9、軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這里a與b的關(guān)系如何？學(xué)生：a>b>0.教師用總結(jié)性的語(yǔ)言引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓方程再認(rèn)識(shí)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，分母是一個(gè)正數(shù)，右邊是1。2 2 2橢圓的三個(gè)參數(shù)滿足a b C 。2 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中X ,y的系數(shù)哪個(gè)小，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。1教材中例1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)2位學(xué)生板演例1，補(bǔ)充練習(xí)由2補(bǔ)充練習(xí)：橢圓用。學(xué)生口答。x2 y21的方程為1625教師：如果將橢圓方程改為2 2x y那么2516 =1,上述問(wèn)題1 21a= b= c3有何變化？2焦點(diǎn)在 軸上， 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，焦 距為。3假設(shè)CD為過(guò)左焦 點(diǎn)F1的弦，那么？CF1F2 的周長(zhǎng)為 ，?F2CD 的周長(zhǎng)為 。學(xué)生：答復(fù)略小結(jié)：1知識(shí)方面：總結(jié)了橢圓的定義