第八章:期權(quán)定價的數(shù)值方法_第1頁
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第八章:期權(quán)定價的數(shù)值方法教學(xué)目標(biāo):1、了解二叉樹期權(quán)定價模型并且熟悉二叉樹模型的基本方法;2、理解蒙特卡羅模擬的基本過程;3、熟悉蒙特卡羅模擬的技術(shù)的實現(xiàn)。教學(xué)重點(diǎn):1、二叉樹模型的基本方法;2、蒙特卡羅模擬。教學(xué)難點(diǎn):1、蒙特卡羅模擬。課時建議:3課時教學(xué)主要內(nèi)容:8.1二叉樹期權(quán)定價模型把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔,并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運(yùn)動的可能:1.從開始的S上升到原先的u倍,即到達(dá)Su;2.降到原先的d倍,即Sd其中u>1,d<1.假設(shè)價格上升的概率為p,則價格下降的概率為1-p,相應(yīng)的期權(quán)的價值也會有所不同,分別為f

2、u和fd二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運(yùn)動 8.1.1二叉樹模型的基本方法二叉樹模型可分為以下幾種方法一)單步二叉樹模型 1.無套利定價法2.風(fēng)險中性定價法3.風(fēng)險中性定價法(二)證券價格的樹型結(jié)構(gòu) 4.證券價格的樹型結(jié)構(gòu)(三)倒推定價法 5. 倒推定價法二叉樹方法的一般定價過程以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例6.一般定價過程無套利定價法:構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng)則組合為無風(fēng)險組合。此時:因為是無風(fēng)險組合,可用無風(fēng)險利率貼現(xiàn),得將代入上式就可得到:其中,1.風(fēng)險中性定價法在風(fēng)險中性世界里:(1)所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率;(2

3、)未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件:假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動,則:再設(shè)定:(第三個條件的設(shè)定則可以有所不同, 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件)由以上三式可得,當(dāng)很小時:,從而,以上可知,無套利定價法和風(fēng)險中性定價法具有內(nèi)在一致性。2.證劵價格的樹形結(jié)構(gòu)在時刻,證券價格有i+1種可能,它們可用符號表示為:,j=0.1 i注意:由于,使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的,從而大大簡化了樹圖。 3.推到定價法得到每個結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價格之后,就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法,從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推,為期權(quán)定價。 如果是歐式期權(quán),可通過

4、將時T刻的期權(quán)價值的預(yù)期值在 時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率r 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價值; 如果是美式期權(quán),就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點(diǎn)上,比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時間,到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán),選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值。 4.二叉樹方法的一般定價過程假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為的小區(qū)間,同時用表示結(jié)點(diǎn)(i,j)處的證券價格可得:,其中j=0.1 N假定期權(quán)不被提前執(zhí)行,后,則:(表示在時間i時第j個結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價值)若有提前執(zhí)行的可能性,則:8.1.2構(gòu)造樹圖的其他方法和思路1.三叉樹圖每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有三種運(yùn)動的可能:1.從開始的S上升到原先的u倍,

5、即到達(dá)Su;2.保持不變,仍為S3.降到原先的d倍,即Sd一些相關(guān)參數(shù):2.控制方差技術(shù) 基本原理:期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似,我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式,而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解假設(shè):FB-MB=FA-MA,(FB代表期權(quán)B的真實價值,F(xiàn)A表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計值,MB和MA表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值)則期權(quán)A 的更優(yōu)估計值為:FA=FB+ MA-MB 3.適應(yīng)性網(wǎng)狀模型采用相同的三叉樹定價過程在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時,當(dāng)資產(chǎn)價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時,用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部

6、分,將一個時間步長進(jìn)一步細(xì)分,如分為/4,每個小步長仍然4.隱含樹圖通過構(gòu)建一個與目前市場上的期權(quán)價格信息相一致的資產(chǎn)價格樹圖,從而得到市場對標(biāo)的資產(chǎn)價格未來概率分布的看法。 其具體方法是在二叉樹圖中,通過前一時刻每個結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價格向前推出(注意不是倒推)下一時刻每個結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價格和相應(yīng)概率 隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息,來為奇異期權(quán)定價 二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn):假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成,用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路徑。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險中性世界中的概率p,從而為期權(quán)定價取當(dāng)前時刻為,

7、在給定參數(shù)p、u和d的條件下,當(dāng)時,二叉樹公式:可以在(s,t)進(jìn)行泰勒展開,最終可以化簡為:在時,二叉樹模型收斂于布萊克舒爾斯偏微分方程。8.2.1蒙特卡羅模擬的基本過程基本思路:由于大部分期權(quán)價值實際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(payoff)的期望值的貼現(xiàn);因此,盡可能地模擬風(fēng)險中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價格的多種運(yùn)動路徑,計算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報均值,之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價值。8.2.2蒙特卡羅模擬的技術(shù)的實現(xiàn)隨機(jī)路徑:在風(fēng)險中性世界中,為了模擬的路徑,我們把期權(quán)的有效期分為N個長度為時間段,則上式的近似方程為或,(是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)樣本)重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù),計算回

8、報值的平均值,折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值。單個變量和多個變量的蒙特卡羅模擬:1、當(dāng)回報僅僅取決于到期時S的最終價值時 可直接用一個大步(T-0)(假設(shè)初始時刻為零時刻)來多次模擬最終的資產(chǎn)價格,得到期權(quán)價值:2、當(dāng)回報依賴于多個市場變量時每次模擬運(yùn)算中對每個變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣,從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。的離散過程可以寫為:常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬利率為常數(shù)時:期權(quán)價值為(初始時刻設(shè)為0):其中,表示風(fēng)險中性世界中的期望。 利率為變量時:期權(quán)價值為(初始時刻設(shè)為0):, 為有效期內(nèi)瞬間無風(fēng)險利率的平均值隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定:1.e的產(chǎn)生e是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機(jī)數(shù)。如果只有一個單變量,則可以通過下式獲得:其中Ri(1i12)是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。2. 模擬運(yùn)算次數(shù)的確定如果對估計值要求95的置信度,則期權(quán)價值應(yīng)滿足(M是進(jìn)行運(yùn)算的個數(shù),u為均值, w是標(biāo)準(zhǔn)差)8.2.3減少方差的技巧(一)對偶變量技術(shù)(二)控制方差技術(shù)(三)重點(diǎn)抽樣法(四)間隔抽樣法(五)樣本矩匹配法(六)準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法(七)樹圖取樣法8.2.4蒙特卡羅模擬的理解和應(yīng)用主要優(yōu)點(diǎn): 1.在大多數(shù)情況下,人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法,而無需對期權(quán)定價模型

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