高二數(shù)學(xué)期望

1、2021/3/918.2.6 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望高二數(shù)學(xué)組2021/3/921 1、什么叫、什么叫n n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？一一. .復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一般地，由一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與與，每次試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中P(A)p0。稱這樣的試驗(yàn)為。稱這樣的試驗(yàn)為n次獨(dú)立次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)重復(fù)試驗(yàn)，也稱，也稱伯努利試驗(yàn)。伯努利試驗(yàn)。A2 2、什么叫二項(xiàng)分布？、什么叫二項(xiàng)分布？k kk kn n k kn nn nP P ( (k k) )C C p p ( (1

2、1 p p) ) X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0若若XB (n，p)2021/3/93一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X X可能取的值為可能取的值為x x1 1，x x2 2，x xi i，X X取每一個(gè)值取每一個(gè)值x xi i(i(i1 1，2 2，)的概率的概率P(XP(Xx xi i) )p pi i，則稱下表，則稱下表為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的的概率分布，概率分布， 由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：( (1)p

3、1)pi i00，i i1 1，2 2，；( (2)p2)p1 1p p2 21 13 3、隨機(jī)變量的概率分布、隨機(jī)變量的概率分布Xx1x2xiPp1p2pi2021/3/94引例p69全年級(jí)有n=300個(gè)學(xué)生，其中有ni同學(xué)的身高是xi cm身高xi156157158.184185人數(shù)nin1n2n3n29n30比例ni/nn1/n n2 /nn3 /nn29 /n n30 /nP(xi)= ni/nn1/n n2 /nn3 /nn29 /n n30 /n全年級(jí)同學(xué)身高總和為多少，平均身高全年級(jí)同學(xué)身高總和為多少，平均身高u u為多少？為多少？二、引例二、引例從班中任選一位同學(xué)，用從班中任選

4、一位同學(xué)，用X代表身高，則代表身高，則X=156的概率的概率分布有多少分布有多少？2021/3/95nniipxpxpxpxXE 2211)(nXE1)( (11nx+22nx+.+ mmnx) 把全年級(jí)的平均身高把全年級(jí)的平均身高 u 定義成定義成 X 的均值，記作的均值，記作 E(X) P=p(X=ix)=nni,i=1,2.n 全年級(jí)同學(xué)的平均身高是全年級(jí)同學(xué)的平均身高是 2021/3/96數(shù)學(xué)期望的定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱： EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。

5、三、新課講解三、新課講解2021/3/97小練習(xí) 在籃球比賽中，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中得1分的概率為0.7，那么他罰球一次得分設(shè)為X，X的均值是多少？解：該隨機(jī)變量解：該隨機(jī)變量X X服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布: : P(X=1)=0.7 P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3P(X=0)=0.3所以：所以：EX=1EX=1P(X=1)+0P(X=1)+0P(X=0)=0.7P(X=0)=0.7X01p0.30.72021/3/985 . 05 . 0115 . 010 11111010XPXPEX四、應(yīng)用例題2021/3/99 例例2.在只需回答在只需回答“是是”“”“不是不是”的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)

6、，每個(gè)選手的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同的問題，都回答失敗，輸回答兩個(gè)不同的問題，都回答失敗，輸1分，否則贏分，否則贏0.3分，分，用用X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是是”“”“不是不是”，計(jì)，計(jì)算算X的概率的分布和數(shù)學(xué)期望的概率的分布和數(shù)學(xué)期望。 解：X=-1的充分必要條件是兩次猜錯(cuò)，所以 p(X=-1)=1/4=0.25 X=0.3是X=-1的對(duì)立事件，所以 p(X=0.3)=3/4=0.75 X只取-1和0.3，于是 E(X)=-1 p(X=-1)+(0.3 ) p(X=0.3) =-1 0.25+0.3 0.75=-0.0252021/3/9102、如

7、果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X X服從兩點(diǎn)分布，服從兩點(diǎn)分布，那么那么 EX= p 3、若、若XB (n，p)，則，則 EX= n p4、超幾何分布超幾何分布nMEN五、性質(zhì)五、性質(zhì)1 1、若、若Y=aX+b,a,bY=aX+b,a,b常數(shù)，則常數(shù)，則E(aX+b)= aE(X)+bE(aX+b)= aE(X)+b2021/3/911小練習(xí)小練習(xí):某學(xué)校要從某學(xué)校要從5名男生和名男生和2名女名女生中選出生中選出2人作為上海世博會(huì)人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量志愿者，若用隨機(jī)變量x 表示選出的志愿者中女生的表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則人數(shù)，則x的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

8、（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）742021/3/912變式 一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望。105*4E(X)= =2 2021/3/913 例例3.甲乙比賽時(shí)，甲每局贏的概率是甲乙比賽時(shí)，甲每局贏的概率是P=0.51，乙每局贏的，乙每局贏的概率是概率是q=0.49，甲乙一共進(jìn)行了，甲乙一共進(jìn)行了10次比賽，當(dāng)各次比賽次比賽，當(dāng)各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，計(jì)算甲平均贏多少局，乙平均贏多的結(jié)果是相互獨(dú)立的，計(jì)算甲平均贏多少局，乙平均贏多少局。少局。 解:用X表示10局中甲贏的次數(shù)， 則X服從二項(xiàng)分布B（10，0.51）. E（X）=10 0.51=5.1

9、 所以 甲平均贏5.1局 用Y表示10局中乙贏的次數(shù)， 則Y服從二項(xiàng)分布B（10，0.49）. E（Y）=10 0.49=4.9 所以乙平均贏4.9局2021/3/914 例例4，袋中有，袋中有3個(gè)紅球，個(gè)紅球，7個(gè)白球，從中無放回地任取個(gè)白球，從中無放回地任取5個(gè)，個(gè)，取到幾個(gè)紅球就得幾分，問平均得幾分。取到幾個(gè)紅球就得幾分，問平均得幾分。 解：用X表示得分?jǐn)?shù)，則X也是取到的紅球數(shù)， X服從超幾何分布H（10，3，5），于是 EX=nM/N=53/10=1.5 所以平均得到了1.5分。 2021/3/9151、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)則E= . 2、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的分布列是的分布列是E=7.5,則a= b= .4a910P0.30.1b0.22.40.47(2)若=2+1，則E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,則a= b= .0.40.12021/3/916變式：2021/3/917數(shù)學(xué)期望小結(jié)EX表示X所表示的隨機(jī)變量的均值； EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X