量子物理基礎(chǔ)波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程

1、一、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋一、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 )(0) (20ee),(pxEtixtitx微觀粒子微觀粒子具有波動(dòng)性具有波動(dòng)性用物質(zhì)波波函數(shù)描述用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)微觀粒子狀態(tài)1925年薛定諤年薛定諤例如例如 自由粒子沿自由粒子沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)，其能量軸正方向運(yùn)動(dòng)，其能量 E 、動(dòng)量、動(dòng)量 P 為常為常量，所以量，所以 v (= E / h ) 、 ( = h / P ) 不隨時(shí)間變化，其不隨時(shí)間變化，其物質(zhì)波是單色平面波，波函數(shù)為物質(zhì)波是單色平面波，波函數(shù)為15.6 波函數(shù) 一維定態(tài)薛定諤方程 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義：2| ),(|tr t 時(shí)刻，粒子在空間時(shí)刻，粒

2、子在空間 r 處處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度VtrWd| ),(|d2 t 時(shí)刻時(shí)刻 , 粒子粒子在在 r 處處 dV 內(nèi)出現(xiàn)的概率內(nèi)出現(xiàn)的概率dVor),(trVtrtrd),(),(*電子數(shù)電子數(shù) N=7電子數(shù)電子數(shù) N=100電子數(shù)電子數(shù) N=3000電子數(shù)電子數(shù) N=20000電子數(shù)電子數(shù) N=70000 單個(gè)粒子單個(gè)粒子的出現(xiàn)是的出現(xiàn)是偶然事件偶然事件；大量粒子大量粒子的分布有確定的的分布有確定的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律計(jì)規(guī)律。電子電子雙縫雙縫干涉干涉圖樣圖樣說(shuō)明說(shuō)明1ddd| ),(|2zyxtr 歸一化條件歸一化條件 波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)

3、波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)概率密度在任一處都是唯一、有限的概率密度在任一處都是唯一、有限的, , 并在整個(gè)空間內(nèi)連續(xù)。并在整個(gè)空間內(nèi)連續(xù)。粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為 1 1VtrWd| ),(|d2 t 時(shí)刻時(shí)刻 , 粒子粒子在在 r 處處 dV 內(nèi)出現(xiàn)的概率內(nèi)出現(xiàn)的概率dVor),(tr說(shuō)明說(shuō)明二、薛定諤方程二、薛定諤方程 (描述微觀粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微分方程描述微觀粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微分方程 ) 質(zhì)量質(zhì)量 m 的粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)的粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù) V ( r , t ) ，其運(yùn)動(dòng)微分方程為其運(yùn)動(dòng)微分方程為ttritrtrVzyxm),(

4、),(),(22222222粒子在穩(wěn)定力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)粒子在穩(wěn)定力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù) V ( r ) 、能量、能量 E 不隨時(shí)間不隨時(shí)間變化，粒子處于定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)寫為變化，粒子處于定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)寫為( , )( )eEit r t r得得0)(2)(2222222rVEmrzyx定態(tài)定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程薛定諤薛定諤方方 程程一維定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程（粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)（粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)) ) 02d)(d222xVEmxx描描述述外外力力場(chǎng)場(chǎng)的的勢(shì)勢(shì)能能函函數(shù)數(shù)粒子能量粒子能量(2) 求解求解 E（粒子能量）（粒子能量） ( r ) (定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù))(1)

5、勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù) V 不隨時(shí)間變化。不隨時(shí)間變化。說(shuō)明說(shuō)明三、一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子三、一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子 0 x a 區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程為區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程為x0 aV ( x )勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù) 02dd222xmExx222mEk令令V (x) = 0 ， 0 x aV (x) = ， 0 a0)(x0)(x0 x 或或 x U0 , R0, 即使粒子總能量大于勢(shì)壘高度，入射粒子并非即使粒子總能量大于勢(shì)壘高度，入射粒子并非全部透射進(jìn)入全部透射進(jìn)入 III 區(qū)區(qū),仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 區(qū)。區(qū)。 (2)E U0 , T0, 雖然粒子總能量小于勢(shì)壘高度，入射粒子

6、仍雖然粒子總能量小于勢(shì)壘高度，入射粒子仍可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入 III 區(qū)區(qū) 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)。E(3) 透射系數(shù)透射系數(shù)T 隨勢(shì)壘寬度隨勢(shì)壘寬度a、粒子質(zhì)量、粒子質(zhì)量m 和能量差變化，和能量差變化， 隨著勢(shì)壘隨著勢(shì)壘的的加寬、加高透射系數(shù)減小。加寬、加高透射系數(shù)減小。 粒子類型粒子類型粒子能量粒子能量勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度 勢(shì)壘寬度勢(shì)壘寬度透射系數(shù)透射系數(shù)電子電子1 eV2 eV1 eV2 eV1 eV2 eV210-10 m510-10 m0.024210-10 m0.51質(zhì)子質(zhì)子310-38五、氫原子五、氫原子02)(2222222VEmzyx204eVr 球坐標(biāo)的定態(tài)薛定諤方程球坐

7、標(biāo)的定態(tài)薛定諤方程222222222011()(sin)sin12()0sin4rrrrrmeErr1. 能量量子化能量量子化 能量能量主量子數(shù) n = 1 , 2 , 3 , 電子云電子云mr10110529. 0124rr 139rr 2122042)8(1nEhmenEn電子在波爾軌道上出現(xiàn)的概率最大電子云密度電子云密度 概率密度概率密度nlm2（r, ） 2. 角動(dòng)量量子化角動(dòng)量量子化 角量子數(shù)角量子數(shù) l = 0 , 1 , 2 , , n-1 ) 1( llL電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 L 的大小的大小3. 角動(dòng)量空間量子化角動(dòng)量空間量子化 角動(dòng)量角動(dòng)量 L 的在外磁

8、場(chǎng)方向的在外磁場(chǎng)方向Z 的投影的投影l(fā)zmL 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml = 0 , 1 , 2 , , l 2206L2l2 1Ll磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml = 0 , 1 , 2L 在在 Z 方向的投影方向的投影2, 0,2zLz6) 12(2LL 的大小的大小例例 l = 2 電子角動(dòng)量的大小及可能的空間取向電子角動(dòng)量的大小及可能的空間取向 ？z0(1) 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象v0v0 +vv0 -v光源處于磁場(chǎng)中時(shí)，一條譜光源處于磁場(chǎng)中時(shí)，一條譜線會(huì)分裂成若干條譜線。線會(huì)分裂成若干條譜線。光光源源eLLmee2zezLme2向向 z 軸（外磁場(chǎng)軸（外磁場(chǎng) B 的方向）投影的方向）投影B 玻爾磁子攝譜儀攝譜儀磁矩磁矩和角動(dòng)量的關(guān)系磁矩和角動(dòng)量的關(guān)系(2) 解釋解釋NS4. 塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng) 磁場(chǎng)作用下的原子附加能量磁場(chǎng)作用下的原子附加能量zBBEz由于磁場(chǎng)作用由于磁場(chǎng)作用, 原子附加能量為原子附加能量為 B lm