信號(hào)與系統(tǒng)：第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析V4.0

1、4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)（略）信號(hào)分解為正交函數(shù)（略）4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)（略）信號(hào)分解為正交函數(shù)（略） 時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而可分解為一系列沖

2、激函數(shù)；而yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。分析。 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為T(mén)，角頻率，角頻率 =2 /T，當(dāng)，當(dāng)滿足狄里赫利滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為

3、如下三角條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 稱為稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf 其中其中an , bn稱為傅里葉系數(shù)。稱為傅里葉系數(shù)。 （1 1）22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見(jiàn)，可見(jiàn)， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan將（將（1）式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為：）式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為：可見(jiàn)可見(jiàn)An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的

4、奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2, 上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。分量。 其中，其中， A0/2為直流分量；為直流分量； A1cos( t+ 1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；與原周期信號(hào)相同； A2cos(2 t+ 2)稱為二次諧波，它的頻率是基波稱為二次諧波，它的頻率是基波的的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 二、波形的對(duì)稱性與諧波特性二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)

5、稱縱坐標(biāo)對(duì)稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0=0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn)an =0=0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。 實(shí)際上，任意函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)。 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t

6、)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時(shí)此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即波分量即 : a0=a2=b2=b4=0 f(t)t0TT/2三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪脧娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntj

7、njnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，A n=An， n= n， 則上式寫(xiě)為則上式寫(xiě)為 :110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A(yù)0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnFFAnnee21稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntf

8、TntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF 上式表明：任意周期信號(hào)上式表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。四、周期信號(hào)的功率四、周期信號(hào)的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及

9、特點(diǎn)一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即：相位隨頻率的變化關(guān)系，即： 將將An和和 n的關(guān)系分別畫(huà)在以的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)樽V圖。因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫(huà)也可畫(huà)|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)Fn 。 試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，

10、基波角頻率，畫(huà)，畫(huà) 出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解：解： 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf34cos21t的周期的周期T1 = 8,323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為323741212121122例：周期信號(hào)例：周期信號(hào) f(t) = P= 34cos21t是是f(t)的的/4/12

11、=3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41t是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫(huà)出畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)例：有一幅度為例：有一幅度為1，脈沖寬度，脈沖寬度為為 的周期矩形脈沖，其周期的周期矩形脈沖，其周期為為T(mén)，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)）

12、 nnTjnTtjn)2sin(2e122)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。畫(huà)圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441特點(diǎn)：特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系： (1) T一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí) （譜線間隔）不變。兩（譜線間隔）不變。兩零

13、點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。 (2) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小，頻譜變密。幅度減小。減小。 如果周期如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)就過(guò)渡到非周期信號(hào)的渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。于無(wú)窮小。 4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 為了描述

14、非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的振幅）單位頻率上的振幅） 稱稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無(wú)窮小，記為無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時(shí)，同時(shí)， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉反變換式 F(j)稱為稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)

15、稱的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱 頻譜。頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。的傅里葉反變換或原函數(shù)。 根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)也可簡(jiǎn)記為也可簡(jiǎn)記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件:ttfd)(用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFfdtjFtf)(cos)(1)(0 物理含義：非周期信號(hào)由不同頻率的余

16、弦分量組成。物理含義：非周期信號(hào)由不同頻率的余弦分量組成。二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt3. 門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0edd

17、de)( )( 5. 常數(shù)常數(shù)1 有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換的傅里葉變換所形成的序列所形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn 這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變

18、換。這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) )6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)歸納記憶：1. F 變換對(duì)

19、變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì) 若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 則則a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 0f ( t )t1-11例：例：f(t)的波形如圖，則的波形如圖，則 F(j) = ?解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - -

20、 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -0f ( t )t1-11二、二、奇偶性：奇偶性：若若f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù), 則則tttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RX(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) 若若 f(t) = f(-t) ,則則 X() = 0, F(j) = R() 若若 f(t) = -f(-t) ,則則 R() = 0, F(j) = jX()三、對(duì)稱性質(zhì)三、

21、對(duì)稱性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則F( jt ) 2f () 例：已知例：已知 ( (t)1 )1 代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 t，t- - ：)(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj例：參見(jiàn)教材第例：參見(jiàn)教材第145-146145-146頁(yè)頁(yè) 例例4.5-14.5-1、4.5-24.5-2。四、尺度變換性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則 其中其中“a” 為非零實(shí)常數(shù)為非零實(shí)常數(shù)令令 a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(參見(jiàn)教材第參見(jiàn)教材第1

22、47147頁(yè)圖頁(yè)圖4.5-24.5-2。 尺度變換表明，在時(shí)域中信號(hào)占據(jù)時(shí)間的壓縮尺度變換表明，在時(shí)域中信號(hào)占據(jù)時(shí)間的壓縮對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中信號(hào)占有頻帶的擴(kuò)展。對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中信號(hào)占有頻帶的擴(kuò)展。五、時(shí)移性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)若：若： f (t) F(j) 則則式中式中t0是實(shí)常數(shù)是實(shí)常數(shù))(e)(00jFttftj證明證明: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj例：例： f(t)的波形如圖，的波形如圖， F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5)

23、 F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468 例：已知例：已知 f (t)F( j), 則則 f (at b) ?解解: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) ajFea1bajf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1或：或：六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則證明證明:F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0)(e)(00tfjF

24、tj例例 ：f(t) = ej3t F(j) = ?解解: 1 2() ej3t 1 2(- -3)例：例： f(t) = cos0t F(j) = ?解解:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)例：例： 已知已知 f(t) F(j) ， 則則 f(t) cos0t ? 參見(jiàn)教材第參見(jiàn)教材第151頁(yè)。頁(yè)。例：教材第例：教材第151頁(yè)例頁(yè)例4.5-5。七、卷積性質(zhì)七、卷積性質(zhì)時(shí)域卷積定理：時(shí)域卷積定理：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)則則 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)頻域卷積定理：頻域卷積定理：若若 f1(t) F1(j)，

25、f2(t) F2(j)則則 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21例：教材第例：教材第154154頁(yè)例頁(yè)例4.5-74.5-7。八、時(shí)域的微分和積分八、時(shí)域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0證明證明:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j)n F(j)（時(shí)域卷積定理）（時(shí)域卷積定理）f(-1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(其中其中f(t)= 1/t2 ?例例1：解解:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()s

26、gn()(1ddjjtt|)sgn(12t例例2：f(t)2- -20t t2設(shè)設(shè) f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)解解:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjF參考教材參考教材155-156155-156頁(yè)例頁(yè)例4.5-84.5-8。九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)

27、()(1)()0(d)(21)0(jFf例例 1：f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(解解:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt其中其中4.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換ntjnnT

28、Ftfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期為：周期為T(mén)的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù) T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解：解：)()()(2)(nnTnnTt(1)例例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解：周期信號(hào)解：周期信號(hào)f(t)也可看作也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即 f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =

29、nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁(yè)式與上頁(yè)(1)式比較，得式比較，得)2(1)(200TnjFTjnFFn這也給出求周期信號(hào)傅里葉系數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號(hào)傅里葉系數(shù)的另一種方法。 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對(duì)周期信號(hào)：對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：de)(21)(tjjFtf其基本信號(hào)為其基本信號(hào)為 ej t 。一、頻率響應(yīng)一、頻率響應(yīng) 1、基本信號(hào)、基本信號(hào)ej t作用于作用

30、于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)檎f(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率，當(dāng)激勵(lì)是角頻率的基本信號(hào)的基本信號(hào)ej t時(shí)，其響應(yīng)時(shí)，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) e

31、j tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej tY(j ) = F(j )H(j )2、一般信號(hào)、一般信號(hào)f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) LTI* h (t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

32、的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換Y(j )與激勵(lì)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；( ( ) )稱為相稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。頻特性（或相頻響應(yīng)）。 H(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法3、頻率響應(yīng)、頻率響應(yīng)H( (j ) )的計(jì)算的計(jì)算 2） H(j ) = Y(j )/F(j ) 求解方法：求解方法：(

33、1)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。(2)由電路直接求出。由電路直接求出。 例例1：某系統(tǒng)的微分方程為：某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t) 求求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)時(shí)的響應(yīng)y(t)。dtethjHtj)()() 1f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 解：微分方程兩邊取傅里葉變換解：微分方程兩邊取傅里葉變換 j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYj

34、H例例2：如圖電路，：如圖電路，R=1，C=1F， 以以u(píng)C(t)為輸出，求其為輸出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解：畫(huà)電路頻域模型解：畫(huà)電路頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 例例3:3:圖示系統(tǒng)，圖示系統(tǒng)， 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng) y( (t) ) 。解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000()(jS)2()(Satg)(2)2(gtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(

35、*)(422g)(21)(4GjF)1000()1000(4144ggtttty1000cossin21)(二、無(wú)失真?zhèn)鬏敹?、無(wú)失真?zhèn)鬏?系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。真。 1、無(wú)失真?zhèn)鬏敗o(wú)失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與 輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后輸入信號(hào)相比，只有幅度

36、的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后 不同，而沒(méi)有波形上的變化。即不同，而沒(méi)有波形上的變化。即 輸入信號(hào)為輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為其頻譜關(guān)系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) 時(shí)域條件：時(shí)域條件： h(t)=K (t td) 頻域條件：頻域條件： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td 即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)纳鲜鍪切盘?hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐肜硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶條件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)

37、的幅頻、寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 (2)(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：頻譜圖：頻譜圖：例例2: 2: 圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，（圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，? 1）求）求R R1 1和和R R2 2； （2 2）求電阻與電容參數(shù)關(guān)系）求電阻與電容參數(shù)關(guān)系. .（1）（2）解：解：)1()()() 1()(211221jRRRRjRRjHAjH)(若要求不失真?zhèn)鬏斎粢蟛皇д鎮(zhèn)鬏?22111222111)()2(RCjRRCjRRCjRjH若要求不失真?zhèn)鬏?，則若要求不失真?zhèn)鬏?，則221111RCjRCj2

38、211RCRC121RR)()1()()1)()() 1 (2121jFjRjRjRjRjYcctjejH010 0t1. 1. 理想低通濾波器理想低通濾波器 C 為截止頻率，稱為理想低通濾波器通頻帶。為截止頻率，稱為理想低通濾波器通頻帶。在在0 C 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有時(shí)延）的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有時(shí)延） 濾波器：濾波器：ccjH01分類(lèi)：分類(lèi)：octjeg)(2)(2cg三、理想低通濾波器三、理想低通濾波器 dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0tt

39、Sathcc 2. 2. 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h( (t) )或或octjegjH)(2)()(2tSagccc)()(2occtjttSaegoc1 1、h( (t) )與與 ( (t) )比較，嚴(yán)重失真；比較，嚴(yán)重失真；2 2、h( (t) )為抽樣函數(shù)，最大值為為抽樣函數(shù)，最大值為3 3、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；4、 t0時(shí)，時(shí)，h(t) 0 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng) 理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)；理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)；c5、物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特性為物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特性為djH21)(lnPaley -Wiener 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （

40、佩利（佩利-維鈉準(zhǔn)則）維鈉準(zhǔn)則）（實(shí)際低通濾波器通過(guò)逼近實(shí)現(xiàn)）（實(shí)際低通濾波器通過(guò)逼近實(shí)現(xiàn)）h( (t) )有效持續(xù)時(shí)間：有效持續(xù)時(shí)間：c2（主瓣）（主瓣） 物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件 就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在激響應(yīng)在t0時(shí)必須為時(shí)必須為0，即，即 h(t)=0 ,t0 即響應(yīng)不應(yīng)在即響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（Paley)和維納（和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足 djH2)(djH21)(l

41、n并且并且稱為佩利稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）維納準(zhǔn)則。（必要條件） 從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為頻帶內(nèi)為0。 jj1F0)(1)(2tjegjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(13. 3. 理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)dejoccttj)(12121 0121ttSitgC jjjHFYoctjegjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)(2上升時(shí)間：響應(yīng)由最小值到

42、最大值所經(jīng)上升時(shí)間：響應(yīng)由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間，記作歷的時(shí)間，記作 BtCr12 CCfB 23階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系統(tǒng)帶寬成反比。階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系統(tǒng)帶寬成反比。理想低通濾波器的單位階躍響應(yīng)為理想低通濾波器的單位階躍響應(yīng)為4理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)和不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)和不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。4.8 4.8 取樣定理取樣定理 取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)。信號(hào)的全部信息，利用這

43、些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了可以說(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。 一、信號(hào)的取樣一、信號(hào)的取樣 所謂所謂“取樣取樣”就是利用取樣脈沖序列就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信從連續(xù)信號(hào)號(hào)f(t)中中“抽取抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。一系列離散樣本值的過(guò)程。 這樣得到的離散信號(hào)稱為這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)取樣信號(hào)。 如圖一連續(xù)信號(hào)如圖一連續(xù)信號(hào)f(t)f(t)0 0t t 用取樣脈沖序列用取樣脈沖序列s(t)(開(kāi)關(guān)函數(shù)）開(kāi)關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為進(jìn)行取樣，取樣間隔為T(mén)S，fS =1/TS稱為取樣頻率。稱為取樣頻率。t ts(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0取樣信號(hào)取樣信號(hào) fS(t) = f(t)s(t)f(t)s(t)fs(t)t tf(t)s(t)1T T