信號與系統(tǒng)：第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析V4.0

1、4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)（略）信號分解為正交函數(shù)（略）4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)（略）信號分解為正交函數(shù)（略） 時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而可分解為一系列沖

2、激函數(shù)；而yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。分析。 4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號設(shè)周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當(dāng)，當(dāng)滿足狄里赫利滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為

3、如下三角條件時，它可分解為如下三角級數(shù)級數(shù) 稱為稱為f(t)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf 其中其中an , bn稱為傅里葉系數(shù)。稱為傅里葉系數(shù)。 （1 1）22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan將（將（1）式同頻率項合并，可寫為：）式同頻率項合并，可寫為：可見可見An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的

4、奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2, 上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。分量。 其中，其中， A0/2為直流分量；為直流分量； A1cos( t+ 1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；與原周期信號相同； A2cos(2 t+ 2)稱為二次諧波，它的頻率是基波稱為二次諧波，它的頻率是基波的的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對

5、稱縱坐標(biāo)對稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0=0，展開為余弦級數(shù)。，展開為余弦級數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對稱于原點對稱于原點an =0=0，展開為正弦級數(shù)。，展開為正弦級數(shù)。 實際上，任意函數(shù)實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)。 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t

6、)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時此時 其傅里葉級數(shù)中只含其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即波分量即 : a0=a2=b2=b4=0 f(t)t0TT/2三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？沙８胁槐?，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪脧娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntj

7、njnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n， 則上式寫為則上式寫為 :110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A(yù)0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnFFAnnee21稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntf

8、TntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF 上式表明：任意周期信號上式表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。率的虛指數(shù)信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為4.3 4.3 周期信號的頻譜及特點周期信號的頻譜及

9、特點一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即：相位隨頻率的變化關(guān)系，即： 將將An和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫為實數(shù)，也可直接畫Fn 。 試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，

10、基波角頻率，畫，畫 出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解：解： 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf34cos21t的周期的周期T1 = 8,323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為323741212121122例：周期信號例：周期信號 f(t) = P= 34cos21t是是f(t)的的/4/12

11、=3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41t是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點例：有一幅度為例：有一幅度為1，脈沖寬度，脈沖寬度為為 的周期矩形脈沖，其周期的周期矩形脈沖，其周期為為T，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)）

12、 nnTjnTtjn)2sin(2e122)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。畫圖。零點為零點為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441特點：特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。一般具有收斂性?？傏厔轀p小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系： (1) T一定，一定， 變小，此時變小，此時 （譜線間隔）不變。兩（譜線間隔）不變。兩零

13、點之間的譜線數(shù)目：零點之間的譜線數(shù)目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。 (2) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小，頻譜變密。幅度減小。減小。 如果周期如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜離散頻譜就過就過渡到非周期信號的渡到非周期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。于無窮小。 4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 為了描述

14、非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的振幅）單位頻率上的振幅） 稱稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時，同時， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉反變換式 F(j)稱為稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡

15、稱的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱 頻譜。頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。的傅里葉反變換或原函數(shù)。 根據(jù)傅里葉級數(shù)根據(jù)傅里葉級數(shù)也可簡記為也可簡記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件:ttfd)(用下列關(guān)系還可方便計算一些積分用下列關(guān)系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFfdtjFtf)(cos)(1)(0 物理含義：非周期信號由不同頻率的余

16、弦分量組成。物理含義：非周期信號由不同頻率的余弦分量組成。二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實數(shù)實數(shù)10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0edd

17、de)( )( 5. 常數(shù)常數(shù)1 有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換的傅里葉變換所形成的序列所形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn 這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變

18、換。這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) )6. 符號函數(shù)符號函數(shù)0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)歸納記憶：1. F 變換對

19、變換對2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對：變換對：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì) 若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 則則a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 0f ( t )t1-11例：例：f(t)的波形如圖，則的波形如圖，則 F(j) = ?解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - -

20、 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -0f ( t )t1-11二、二、奇偶性：奇偶性：若若f(t)是實函數(shù)是實函數(shù), 則則tttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RX(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) 若若 f(t) = f(-t) ,則則 X() = 0, F(j) = R() 若若 f(t) = -f(-t) ,則則 R() = 0, F(j) = jX()三、對稱性質(zhì)三、

21、對稱性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則F( jt ) 2f () 例：已知例：已知 ( (t)1 )1 代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 t，t- - ：)(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj例：參見教材第例：參見教材第145-146145-146頁頁 例例4.5-14.5-1、4.5-24.5-2。四、尺度變換性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則 其中其中“a” 為非零實常數(shù)為非零實常數(shù)令令 a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(參見教材第參見教材第1

22、47147頁圖頁圖4.5-24.5-2。 尺度變換表明，在時域中信號占據(jù)時間的壓縮尺度變換表明，在時域中信號占據(jù)時間的壓縮對應(yīng)于其頻譜在頻域中信號占有頻帶的擴展。對應(yīng)于其頻譜在頻域中信號占有頻帶的擴展。五、時移性質(zhì)五、時移性質(zhì)若：若： f (t) F(j) 則則式中式中t0是實常數(shù)是實常數(shù))(e)(00jFttftj證明證明: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj例：例： f(t)的波形如圖，的波形如圖， F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5)

23、 F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468 例：已知例：已知 f (t)F( j), 則則 f (at b) ?解解: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) ajFea1bajf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1或：或：六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)若若 f (t) F(j) 則則證明證明:F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0)(e)(00tfjF

24、tj例例 ：f(t) = ej3t F(j) = ?解解: 1 2() ej3t 1 2(- -3)例：例： f(t) = cos0t F(j) = ?解解:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)例：例： 已知已知 f(t) F(j) ， 則則 f(t) cos0t ? 參見教材第參見教材第151頁。頁。例：教材第例：教材第151頁例頁例4.5-5。七、卷積性質(zhì)七、卷積性質(zhì)時域卷積定理：時域卷積定理：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)則則 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)頻域卷積定理：頻域卷積定理：若若 f1(t) F1(j)，

25、f2(t) F2(j)則則 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21例：教材第例：教材第154154頁例頁例4.5-74.5-7。八、時域的微分和積分八、時域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0證明證明:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j)n F(j)（時域卷積定理）（時域卷積定理）f(-1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(其中其中f(t)= 1/t2 ?例例1：解解:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()s

26、gn()(1ddjjtt|)sgn(12t例例2：f(t)2- -20t t2設(shè)設(shè) f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)解解:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjF參考教材參考教材155-156155-156頁例頁例4.5-84.5-8。九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)

27、()(1)()0(d)(21)0(jFf例例 1：f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(解解:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt其中其中4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二、一般周期信號的傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換ntjnnT

28、Ftfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期為：周期為T的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù) T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解：解：)()()(2)(nnTnnTt(1)例例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。：周期信號如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解：周期信號解：周期信號f(t)也可看作也可看作一時限非周期信號一時限非周期信號f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即 f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =

29、nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁式與上頁(1)式比較，得式比較，得)2(1)(200TnjFTjnFFn這也給出求周期信號傅里葉系數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號傅里葉系數(shù)的另一種方法。 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對周期信號：對周期信號：對非周期信號：對非周期信號：de)(21)(tjjFtf其基本信號為其基本信號為 ej t 。一、頻率響應(yīng)一、頻率響應(yīng) 1、基本信號、基本信號ej t作用于作用

30、于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 說明：頻域分析中，信號的定義域為說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率，當(dāng)激勵是角頻率的基本信號的基本信號ej t時，其響應(yīng)時，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) e

31、j tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej tY(j ) = F(j )H(j )2、一般信號、一般信號f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) LTI* h (t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

32、的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換Y(j )與激勵與激勵f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；( ( ) )稱為相稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。頻特性（或相頻響應(yīng)）。 H(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法3、頻率響應(yīng)、頻率響應(yīng)H( (j ) )的計算的計算 2） H(j ) = Y(j )/F(j ) 求解方法：求解方法：(

33、1)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。(2)由電路直接求出。由電路直接求出。 例例1：某系統(tǒng)的微分方程為：某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t) 求求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)時的響應(yīng)y(t)。dtethjHtj)()() 1f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 解：微分方程兩邊取傅里葉變換解：微分方程兩邊取傅里葉變換 j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYj

34、H例例2：如圖電路，：如圖電路，R=1，C=1F， 以以uC(t)為輸出，求其為輸出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解：畫電路頻域模型解：畫電路頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 例例3:3:圖示系統(tǒng)，圖示系統(tǒng)， 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng) y( (t) ) 。解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000()(jS)2()(Satg)(2)2(gtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(

35、*)(422g)(21)(4GjF)1000()1000(4144ggtttty1000cossin21)(二、無失真?zhèn)鬏敹o失真?zhèn)鬏?系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。真。 1、無失真?zhèn)鬏敗o失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與 輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后輸入信號相比，只有幅度

36、的大小和出現(xiàn)時間的先后 不同，而沒有波形上的變化。即不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為其頻譜關(guān)系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) 時域條件：時域條件： h(t)=K (t td) 頻域條件：頻域條件： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td 即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)纳鲜鍪切盘枱o失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐肜硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶條件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)

37、的幅頻、寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 (2)(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：無失真?zhèn)鬏敆l件：頻譜圖：頻譜圖：例例2: 2: 圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，（圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，? 1）求）求R R1 1和和R R2 2； （2 2）求電阻與電容參數(shù)關(guān)系）求電阻與電容參數(shù)關(guān)系. .（1）（2）解：解：)1()()() 1()(211221jRRRRjRRjHAjH)(若要求不失真?zhèn)鬏斎粢蟛皇д鎮(zhèn)鬏?22111222111)()2(RCjRRCjRRCjRjH若要求不失真?zhèn)鬏?，則若要求不失真?zhèn)鬏?，則221111RCjRCj2

38、211RCRC121RR)()1()()1)()() 1 (2121jFjRjRjRjRjYcctjejH010 0t1. 1. 理想低通濾波器理想低通濾波器 C 為截止頻率，稱為理想低通濾波器通頻帶。為截止頻率，稱為理想低通濾波器通頻帶。在在0 C 的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真。（有時延）的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真。（有時延） 濾波器：濾波器：ccjH01分類：分類：octjeg)(2)(2cg三、理想低通濾波器三、理想低通濾波器 dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0tt

39、Sathcc 2. 2. 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h( (t) )或或octjegjH)(2)()(2tSagccc)()(2occtjttSaegoc1 1、h( (t) )與與 ( (t) )比較，嚴(yán)重失真；比較，嚴(yán)重失真；2 2、h( (t) )為抽樣函數(shù)，最大值為為抽樣函數(shù)，最大值為3 3、濾波器限制輸入信號高頻成分；、濾波器限制輸入信號高頻成分；4、 t0時，時，h(t) 0 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng) 理想低通濾波器是物理不可實現(xiàn)；理想低通濾波器是物理不可實現(xiàn)；c5、物理可實現(xiàn)的濾波器，其幅頻特性為物理可實現(xiàn)的濾波器，其幅頻特性為djH21)(lnPaley -Wiener 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （

40、佩利（佩利-維鈉準(zhǔn)則）維鈉準(zhǔn)則）（實際低通濾波器通過逼近實現(xiàn)）（實際低通濾波器通過逼近實現(xiàn)）h( (t) )有效持續(xù)時間：有效持續(xù)時間：c2（主瓣）（主瓣） 物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件 就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在激響應(yīng)在t0時必須為時必須為0，即，即 h(t)=0 ,t0 即響應(yīng)不應(yīng)在即響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足 djH2)(djH21)(l

41、n并且并且稱為佩利稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）維納準(zhǔn)則。（必要條件） 從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為頻帶內(nèi)為0。 jj1F0)(1)(2tjegjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(13. 3. 理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)dejoccttj)(12121 0121ttSitgC jjjHFYoctjegjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)(2上升時間：響應(yīng)由最小值到

42、最大值所經(jīng)上升時間：響應(yīng)由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間，記作歷的時間，記作 BtCr12 CCfB 23階躍響應(yīng)上升時間與系統(tǒng)帶寬成反比。階躍響應(yīng)上升時間與系統(tǒng)帶寬成反比。理想低通濾波器的單位階躍響應(yīng)為理想低通濾波器的單位階躍響應(yīng)為4理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)和不可實現(xiàn)系統(tǒng)理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)和不可實現(xiàn)系統(tǒng)。4.8 4.8 取樣定理取樣定理 取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號。信號的全部信息，利用這

43、些樣本值可以恢復(fù)原信號?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了可以說，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。 一、信號的取樣一、信號的取樣 所謂所謂“取樣取樣”就是利用取樣脈沖序列就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信從連續(xù)信號號f(t)中中“抽取抽取”一系列離散樣本值的過程。一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為這樣得到的離散信號稱為取樣信號取樣信號。 如圖一連續(xù)信號如圖一連續(xù)信號f(t)f(t)0 0t t 用取樣脈沖序列用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）開關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS =1/TS稱為取樣頻率。稱為取樣頻率。t ts(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0取樣信號取樣信號 fS(t) = f(t)s(t)f(t)s(t)fs(t)t tf(t)s(t)1T T