定積分及其應(yīng)用61577

1、咸陽師范學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計)文獻綜述題目：定積分及其應(yīng)用 學(xué)生姓名：馬永升 系 別：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級：2008級 學(xué) 號：0806014322 本(專) 科：本科 指導(dǎo)教師：李艷艷定積分及其應(yīng)用摘要：定積分在幾何、物理、初等數(shù)學(xué)以及在其他方面的應(yīng)用。討論了應(yīng)用定積分在圖形面積、立體圖形體積、求數(shù)列極限、求變速直線運動的路程、求變力所做的功的方法。關(guān)鍵詞：定積分；幾何；物理；初等數(shù)學(xué) 極限是數(shù)學(xué)分析的一個重要概念，若有數(shù)列是某個可積函數(shù)特殊的一列積分和，那么計算此數(shù)列的極限科以轉(zhuǎn)化為計算定積分，這是計算這類數(shù)列極限的一個簡便、有效的方法。例如：求的值。解 =（1） 式

2、是函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間a,b上的一個積分和，它是把0,1分成n等份。i取的左端點（即i=）構(gòu)成的積分和，由定積分定義可得= 許多教師在講此內(nèi)容時將例題一帶而過，導(dǎo)致大部分學(xué)生做習(xí)題不知從何下手，基礎(chǔ)較好的學(xué)生也只是模仿例題，但對該方法理解不深。一 定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1利用定積分求平面圖形的面積。一般地，有上、下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b（a<b）所圍的平面圖形如圖（1）所示，它的面積計算公式為xyY=f2(x)Y=f1(x)abo A=。 （1） (1)設(shè)曲線C有參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t (2)給出，在上y(t)連續(xù)可微且

3、(t)0（對于y(t)連續(xù)可微且0的情形可類似討論）。記a=x(a<b或b<a),則由曲線C及直線x=a,x=b和x軸所圍的圖形，其面積計算公式為A=.如果由參數(shù)方程（2）所表示的曲線自身所圍圖形是封閉的，既有且在（）內(nèi)自身不再相交，那么由曲線自身所圍圖形的面積為A=（或）。例1 求由拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍平面圖形的面積A.解 該平面圖形如圖（2）所示。先求出拋物線與直線的交點P（1，-1）與Q(9,3).用直線x=1把圖形分為左、右兩部分，分別求得它們的面積為A1=，所以.也可把拋物線方程和直線方程改寫成.并改寫積分變量為y，于是得 (2)例2求橢圓所圍的面積。

4、解 化橢圓為參數(shù)方程橢圓面積為。顯然當a=b=r時這就等于圓面積2求立體圖形的體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積,常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,例如求一個鐵塊的體積,可以將此鐵塊劃分成許多基本的小鐵塊,每一塊的厚度為(x),假設(shè)每一個基本的小鐵塊的橫切面積為A(x),則此小鐵塊的體積大約是A(x)(x),將所有的小鐵塊加起來,令n=(x)0,我們就可以得到其體積vv=其中b和c分別為計算體積是的起始值和終了值，例3橢圓面所為立體的體積解:以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影所以截面面積函數(shù)為于是求得橢球體積顯然當=r 時,就

5、等于球的體積例4:由直線y=a和直線x=3a及弧y2=ax,(a>0，ax3a)所圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？如圖2，斜線區(qū)域即為題意所指的區(qū)域, 根據(jù)旋轉(zhuǎn)體體積的求法，可將區(qū)域OPQB的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求 解：我們首先來求區(qū)域APQB的旋轉(zhuǎn)體積：=|=4a而區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積為一個圓柱的體積，其半徑為a，高為2a，故應(yīng)為：所以區(qū)域PCQ的旋轉(zhuǎn)體積為（3）二 定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)中應(yīng)用,可以說是定積分最重要的應(yīng)用之一,正是由于微積分的發(fā)展,使得物理學(xué)中精確測量,計算成為可能,從而使物理學(xué)得到長足的發(fā)展,定積分的應(yīng)用主要是在

6、力學(xué)中例如:有一個方向恒定的變力F對一個物體做功,若這個變力對物體的作用距離為S ， F為S的函數(shù)F=f(s),則有變力F所做的功為 (其中a,b為變力F的起始與末尾值)例5質(zhì)量為m的擺錘系于繩的下端,繩長為,上端固定如圖(4)所示,一水平變力F從零逐漸增大緩慢的作用在（4）擺錘上,使擺錘雖力F在移動,但在所有時間內(nèi)均無限地接近力平衡,一直到繩子與豎直直線成角的位置，試計算變力F所做的功。解；由題意得，在任意位置上（由角位置表示），擺錘無限的接近于力平衡，所以可由擺錘所受合力極近于零作計算。在水平方向與豎直方向分別有：式中T是擺錘所受繩的拉力，于是有當擺錘在位置上沿圓弧作微小位移時，力所做的微功為 將代入，得：所以在擺錘從初始位置（=0）到位置（=0）的過程中，F(xiàn)力對擺錘所作的總功是：作變速直線運動的物體在時間區(qū)間上所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的積分，即。例1已知一輛汽車的速度時間的函數(shù)關(guān)系為：（單位：）求（1）汽車行駛的路程；（2）汽車行駛的路程；（3）汽車行駛的路程.解 （1）S1=；（