多元函數(shù)的極值復(fù)習(xí)

1、§6.6 多元函數(shù)的極值求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)的極值的步驟如下:求出函數(shù)的所有駐點由解得的駐點； 根據(jù)極值的充分條件判定駐點是否為極值點對每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)在該點的值1°當(dāng)時，在點取得極值，時為極大值，時為極小值；2°當(dāng)時，在點不取極值； 3°當(dāng)時，不能確定，需另作討論。習(xí)題六（A）22求下列函數(shù)的極值，并判斷是極大值還是極小值：（1），；解：求駐點由解得所以, , , 為的駐點；求二階偏導(dǎo)數(shù)不取極值不取極值不取極值是極值，時為極大值，時為極小值（2）解：求駐點由解得，所以為的駐點；求二階偏導(dǎo)數(shù)為極小值24某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量各

2、為x、y，其成本函數(shù)為。由市場調(diào)查得知，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價與產(chǎn)量分別有如下關(guān)系：。試求甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時總利潤最大？并求出最大利潤。解：設(shè)L表示該工廠的利潤，則。解方程組，得唯一駐點（4,2）。根據(jù)問題的實際意義，L必可取得最大值， 因此這個最大值在（4,2）處取得。于是該工廠的最大利潤為(元)。25某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本是每件2元，另外每月再花廣告費A元，則每月的銷售量為，其中P為產(chǎn)品銷售價格。求最合理的P和A值，使得工廠的純利潤最大。解：設(shè)L表示該工廠的利潤，則L=x(P-2)-A。解方程組，得，得唯一駐點（12,1000 ln3）。根據(jù)問題的實際意義，L必可取得最大值， 因

3、此這個最大值在（12,1000 ln3）處取得。故當(dāng)P=12,A=1000 ln3時工廠的純利潤最大。求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，其中為某一常數(shù)；(2) 由方程組解出，其中駐點就是所求條件極值的可能的極值點。注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論。不過在實際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點。習(xí)題六（A）26某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品每件純利6元，B產(chǎn)品每件純利4元，制造x件產(chǎn)品與y件產(chǎn)品的成本函數(shù)為，而該廠每日的制造預(yù)算是20 000元。問應(yīng)如何分配A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使利潤最大？解一：設(shè)該廠每日生產(chǎn)x件A產(chǎn)品、y件B產(chǎn)品。設(shè)L表示該工廠的利潤，則。因此問題就是在條件，即下，求函數(shù)的最大值。作拉格朗日函數(shù)，求L的駐點，即解方程組，得唯一駐點（1500,8125）所以這個駐點就是所求的解。即該廠每日生產(chǎn)1500件A產(chǎn)品、8125件B產(chǎn)品時利潤最大。最大利潤為（元）。解二：設(shè)該廠每日生產(chǎn)x件A產(chǎn)品、y件B產(chǎn)品。設(shè)L表示該工廠的利潤，則。因此問題就是在條件，即下，求函數(shù)的最大值?；癁闊o條件極值求解。把代入得，即令，得唯一駐點。根據(jù)問題的實際意義，L必可取得最大值，