求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧

1、求 雙 曲 線 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 技 巧在求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如果能根據(jù)已知條件設(shè)出方程的合理形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程。下面結(jié)合例題介紹求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。一雙曲線的一般方程例1求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 3,2,7,Q 6,2,7 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2 2分析 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：X2爲(wèi)=1(a0,b0)或爲(wèi)a ba2X2=1(a0,b0),可以討論解決。也可以應(yīng)用下面的方法解決。 b解 設(shè)雙曲線方程為 Ax2+By2=1(ABV0)。因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P32、7,Q 6.2,7，所以9A 28BX 解得A=丄，B=丄。故所求雙曲線方72A 49B 1.75252程為25說(shuō)明

2、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí),為了避免討論焦點(diǎn)的位置，一般設(shè)雙曲線方程為Ax2+ By2=1以簡(jiǎn)化運(yùn)算。二等軸雙曲線 例2等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，與直線x275(ABV0),這樣可x 2y =0交于兩點(diǎn)A、B，且AB=2,15。求此等軸雙曲線的方程。分析 根據(jù)等軸雙曲線的特點(diǎn)，可以設(shè)含有一個(gè)參數(shù)的方程x2 y2= a2( a 0),求出 a 即可。2解 設(shè)等軸雙曲線方程為 x2 y2= a2( a0)。由xx2y2y2a解得交點(diǎn)A、0.2四共漸近線雙曲線2 2B的坐標(biāo)分別為23，a32a a,3 、3因?yàn)锳B4a32a22 .15 a =332

3、.15，所以 ax2 y2=9。說(shuō)明等軸雙曲線是一類特殊的雙曲線，它有一些特殊的性質(zhì),比如：離心率e =邁，漸近線方程為y=x且互相垂直等等。三共焦點(diǎn)雙曲線2已知過(guò)點(diǎn)32，且與雙曲線盒-2乂 =1有共同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)4方程。分析2根據(jù)雙曲2丄=14 k(4vkv 16),求出k即可。2 2解設(shè)雙曲線方程為化-九=1 (-4vkv16)，將3 門,2代入，得k=2 24。故所求雙曲線方程為 仏=1。12 82 2說(shuō)明與雙曲線 M - =】共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為x2a2k(b2vkva2)2 2根據(jù)橢圓與雙曲線的關(guān)系，與橢圓豐+古=1共焦點(diǎn)的雙曲線2方程可設(shè)為*2y =b2k1( b2vkv

4、a2)，請(qǐng)注意它們的區(qū)別。例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,2、3，且與雙曲線亍吒有共同漸近線的雙曲線方程。916916分析 因?yàn)殡p曲線x- =1的兩條漸近線方程為雙曲線 -=0，因X22222x_ _乂 =1，即竺91649說(shuō)明求共漸近線的雙曲線方程也可以討論焦點(diǎn)分別在兩條坐標(biāo)軸上的情況,以上解法避免了討論過(guò)程，使解題更合理。另外，以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸、虛因此求共軛雙曲線方程時(shí)可以采用這個(gè)方法。五同離心率的雙曲線么它的焦點(diǎn)可能在 x 軸上，也可能在y軸上。若焦點(diǎn)在 x 軸上，它的方程可設(shè)為此與它共漸近線的雙曲線方程可表示為雙曲線2 21 _乂=(工0)916解設(shè)雙曲線方程為2 2x _ y_916工0),

5、因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,2.3，所2_工=10944故所求雙曲線方程為軸為實(shí)軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線顯然共軛雙曲線有相同的漸近線,2例5求經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0,且與雙曲線-642乙=1的離心率相同的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方16程。2分析因?yàn)橐粭l雙曲線和雙曲線 2 b2y?=1(a 0,b0)離心率相同，那0,(a0,b0,0);若焦點(diǎn)在y軸上，它的方程可設(shè)為b0,0)02y2a2xb22y160),弄清題意，根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)摹胺匠绦问健?解決問題。將2,0代入，得 =一V0（舍去）。42故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=1。4說(shuō)明 已知同離心率與相同漸近線求雙曲線方程的方法類似，請(qǐng)你比較它們的區(qū)別。六已知雙曲線漸近線的雙曲線3x+ 4y =0,一個(gè)焦點(diǎn)是4,0的雙曲線方程。X+1_0,因此借助與共漸近線方程問題的方法,4322方程為-J _256空2525說(shuō)明漸近線方程為-y_0或y_a b（工0），然后確定的值。2 2 2 22解(1)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，它的方程可設(shè)為 640),將2,0代入，得=卡。此時(shí)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 _y2=102 2(2)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，它的方程可設(shè)為話=(設(shè)所求雙曲線方程為22x 一 y_169（工0），求出即可。解根據(jù)題意,2 2可設(shè)所求雙曲線方程為-乞_169工0)又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x 軸上，所以0因?yàn)?c_4,所以16+