信息論與編碼試卷與答案

1、一、（11）填空題（1） 1948年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 香農(nóng) 發(fā)表了題為“通信的數(shù)學(xué)理論”的長(zhǎng)篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。（2） 必然事件的自信息是 0 。 （3） 離散平穩(wěn)無(wú)記憶信源X的N次擴(kuò)展信源的熵等于離散信源X的熵的 N倍 。 （4） 對(duì)于離散無(wú)記憶信源，當(dāng)信源熵有最大值時(shí)，滿足條件為_信源符號(hào)等概分布_。（5） 若一離散無(wú)記憶信源的信源熵H（X）等于2.5，對(duì)信源進(jìn)行等長(zhǎng)的無(wú)失真二進(jìn)制編碼，則編碼長(zhǎng)度至少為 3 。（6） 對(duì)于香農(nóng)編碼、費(fèi)諾編碼和霍夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。（7） 已知某線性分組碼的最小漢明距離為3，那么這組碼最多能檢測(cè)出_2_個(gè)碼元錯(cuò)誤，最多能糾正_1_個(gè)碼元

2、錯(cuò)誤。（8） 設(shè)有一離散無(wú)記憶平穩(wěn)信道，其信道容量為C，只要待傳送的信息傳輸率R_小于_C（大于、小于或者等于）， 則存在一種編碼，當(dāng)輸入序列長(zhǎng)度n足夠大，使譯碼錯(cuò)誤概率任意小。（9） 平均錯(cuò)誤概率不僅與信道本身的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)，還與_譯碼規(guī)則_和_編碼方法_有關(guān)二、（9）判斷題 （1） 信息就是一種消息。 （ ）（2） 信息論研究的主要問題是在通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)中如何實(shí)現(xiàn)信息傳輸、存儲(chǔ)和處理的有效性和可靠性。 （ ）（3） 概率大的事件自信息量大。 （ ）（4） 互信息量可正、可負(fù)亦可為零。 （ ）（5） 信源剩余度用來(lái)衡量信源的相關(guān)性程度，信源剩余度大說明信源符號(hào)間的依賴關(guān)系較小。 （ ） （6）

3、 對(duì)于固定的信源分布，平均互信息量是信道傳遞概率的下凸函數(shù)。 （ ） （7） 非奇異碼一定是唯一可譯碼，唯一可譯碼不一定是非奇異碼。 （ ）（8） 信源變長(zhǎng)編碼的核心問題是尋找緊致碼（或最佳碼），霍夫曼編碼方法構(gòu)造的是最佳碼。 （ ）（9）信息率失真函數(shù)R(D)是關(guān)于平均失真度D的上凸函數(shù). ( )3、 （5）居住在某地區(qū)的女孩中有25%是大學(xué)生，在女大學(xué)生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占總數(shù)的一半。 假如我們得知“身高1.6米以上的某女孩是大學(xué)生”的消息，問獲得多少信息量？ 解：設(shè)A表示“大學(xué)生”這一事件，B表示“身高1.60以上”這一事件，則 P(A)=0.25

4、 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）四、（5）證明：平均互信息量同信息熵之間滿足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)證明： （2分）同理 （1分）則 因?yàn)?（1分）故即 （1分）五、（18）.黑白氣象傳真圖的消息只有黑色和白色兩種，求：1） 黑色出現(xiàn)的概率為0.3，白色出現(xiàn)的概率為0.7。給出這個(gè)只有兩個(gè)符號(hào)的信源X的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)圖上黑白消息出現(xiàn)前后沒有關(guān)聯(lián)，求熵；2） 假設(shè)黑白消息出現(xiàn)前后

5、有關(guān)聯(lián)，其依賴關(guān)系為 ，求其熵。3）分別求上述兩種信源的冗余度，比較它們的大小并說明其物理意義。解：1）信源模型為 （1分） （2分） 2）由題意可知該信源為一階馬爾科夫信源。 （2分）由 （4分）得極限狀態(tài)概率 （2分） （3分）3） （1分） （1分）。說明：當(dāng)信源的符號(hào)之間有依賴時(shí)，信源輸出消息的不確定性減弱。而信源冗余度正是反映信源符號(hào)依賴關(guān)系的強(qiáng)弱，冗余度越大，依賴關(guān)系就越大。（2分）六、（18）.信源空間為，試分別構(gòu)造二元香農(nóng)碼和二元霍夫曼碼，計(jì)算其平均碼長(zhǎng)和編碼效率（要求有編碼過程）。七（6）.設(shè)有一離散信道，其信道傳遞矩陣為，并設(shè)，試分別按最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則與最大似然譯碼準(zhǔn)則確定

6、譯碼規(guī)則， 并計(jì)算相應(yīng)的平均錯(cuò)誤概率。 1）（3分）最小似然譯碼準(zhǔn)則下，有， 2）（3分）最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則下，有，八（10）.二元對(duì)稱信道如圖。1）若，求、和； 2）求該信道的信道容量。 解：1）共6分 2）， （3分）此時(shí)輸入概率分布為等概率分布。（1分）九、（18）設(shè)一線性分組碼具有一致監(jiān)督矩陣1）求此分組碼n=?,k=?共有多少碼字？2）求此分組碼的生成矩陣G。3）寫出此分組碼的所有碼字。4）若接收到碼字（101001），求出伴隨式并給出翻譯結(jié)果。解：1）n=6,k=3,共有8個(gè)碼字。（3分）2）設(shè)碼字由得 （3分） 令監(jiān)督位為，則有 （3分）生成矩陣為 （2分）3）所有碼字為000000，001101，010011，01