第9講差分模型的求解

1、第九講第九講 差分模型的求解差分模型的求解基礎(chǔ)教研部：夏冰基礎(chǔ)教研部：夏冰用用MatlabMatlab求解差分方程問題求解差分方程問題一階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程組解：Xk+1=(1+r)Xk , k = 0 , 1 , 2 以k=0時X0=M代入，遞推n次可得n年后本息為1nnxrM例例1、 某種貨幣某種貨幣1年期存款的年利率是年期存款的年利率是r ，現(xiàn)存入，現(xiàn)存入M元，問年后的本金與利息之和是多少？元，問年后的本金與利息之和是多少？解：記第k天的污水濃度為Ck,則第k+1天的污水濃度為 ck+1=(1q)ck,k=0,1,2, 從k=0開始遞推n次得0(1

2、)nncqc例例2、污水處理廠每天可將處理池的污水濃度降低、污水處理廠每天可將處理池的污水濃度降低一個固定比例一個固定比例q，問多長時間才能將污水濃度降低，問多長時間才能將污水濃度降低一半？一半？以以Cn=C0/2代入即求解。代入即求解。 一階線性常系數(shù)差分方程 Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長率分別為 3.24% 和3.82%，如果在某自然保護區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計算。瀕危物種的自然演變和人工孵化問題模型建立 記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk,年均增長率為r，則第k+1年鶴的數(shù)量為X

3、k+1=(1+r)Xk k=0,1,2 已知X0=100, 在較好，中等和較差的自然環(huán)境下 r=0.0194, 0.0324,和0.0382,利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況.首先建立一個關(guān)于變量n ，r的函數(shù)function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:nX(k+1)=a*X(k);end模型求解 k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3)在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù) plot(k,y1,k,y2,

4、k,y3) 在同一坐標系下畫圖 plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在圖上做標記。 高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程 如果第k+1時段變量Xk+1不僅取決于第k時段變量Xk，而且與以前時段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來描述.一年生植物的繁殖 一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為

5、掠取的那些種子可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認為，種子最多可以活過兩個冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。模型建立記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過一個冬天的(1歲種子)比例為b,活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天的（2歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2；設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件；記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有

6、關(guān)， 由Xk-1決定的部分是 a1bcXk-1, 由Xk-2決定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);end假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20K=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.

7、18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20) 線性常系數(shù)差分方程組 一家汽車租賃公司在3個相鄰的城市運營，為方便顧客起見公司承諾，在一個城市租賃的汽車可以在任意一個城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗估計和市場調(diào)查，一個租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車在A,B,C市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)

8、時將600輛汽車平均分配到3個城市，建立運營過程中汽車數(shù)量在3個城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時間充分長以后的變化趨勢。汽車租賃公司的運營0.60.3A B CA B CA B C假設(shè)在每個租賃期開始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還0.10.70.20.10.60.30.1模型建立 記第k個租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量分別為x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1個租賃期開始各個城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫出第k+1個租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量為(k=0,1,2,3)112321233123(1)0.6 ( )0.2( )0.1 ( )(1)0.3 ( )0.7( )0.3

9、( )(1)0.1 ( )0.1( )0.6( )x kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx k用矩陣表示112233(1)0.60.20.1( )(1)0.30.70.3( )(1)0.10.10.6( )x kx kx kx kx kx k112233(1)0.60.20.1( )(1)0.30.70.3( )(1)0.10.10.6( )xkxkxkxkxkxkA=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; n=10; for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x)模型求解作圖觀察數(shù)量變化趨勢012345678910120140160180200220240260280300 x1(k)x2(k)x3(k) k=0:10; plot(k,x) ，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)可見充分長時間后3個城市汽車數(shù)量趨于180，300，120思