電磁場數(shù)學(xué)方法第一章

1、授課人： 劉芫健 授課單位：電子科學(xué)與工程學(xué)院電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用第一章微積分及其工程應(yīng)用微積分及其工程應(yīng)用C O N T E N T S目 錄2022-3-15第一章第一章2 2第五章數(shù)學(xué)物理定解問題及其工程應(yīng)用數(shù)學(xué)物理定解問題及其工程應(yīng)用第九章球函數(shù)及其工程應(yīng)用球函數(shù)及其工程應(yīng)用第八章柱函數(shù)及其工程應(yīng)用柱函數(shù)及其工程應(yīng)用第七章二階常微分方程級數(shù)解法及其工程應(yīng)用二階常微分方程級數(shù)解法及其工程應(yīng)用第六章分離變量法及其工程應(yīng)用分離變量法及其工程應(yīng)用第二章復(fù)變函數(shù)及其工程應(yīng)用復(fù)變函數(shù)及其工程應(yīng)用第三章概率論與隨機(jī)過程及其工程應(yīng)用概率論與隨機(jī)過程及其工程應(yīng)用第四章矢量

2、分析與場論及其工程應(yīng)用矢量分析與場論及其工程應(yīng)用第一章第一章 微積分及其工程應(yīng)用微積分及其工程應(yīng)用1.1 知識點(diǎn)1.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1.1.2 曲線積分與曲面積分1.1.3 無窮級數(shù)3 32022-3-15電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章4 4電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可定義函數(shù)

3、同理可定義函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對處對 的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為 記作記作 , , , , 或或 5 5電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)：如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) 處對處對 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 的函數(shù)，它的函數(shù)，它就稱為函數(shù)就稱為函數(shù) 對自變量對自變量 的偏導(dǎo)函數(shù)，記作的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 ， ， ，或，或 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：偏導(dǎo)函數(shù)的定義式： 類似地，可定義函數(shù)類

4、似地，可定義函數(shù) 對對 的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)6 6電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例例1-11 1-11 設(shè)設(shè) 求證：求證： 證證，7 7電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（2）高階偏導(dǎo)數(shù)）高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù)為),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yx

5、fyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)8 8電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用3. 3. 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用（1 1）全微分的定義）全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二

6、元函數(shù)二元函數(shù)對對x x和對和對y y的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 二元函數(shù)二元函數(shù)對對x x和對和對y y的的偏微分偏微分9 9電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用全增量的概念全增量的概念1010電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用全微分的定義全微分的定義1111電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工

7、程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用可微與連續(xù)：可微與連續(xù)：可微必連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)。可微必連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)。 可微條件：定理可微條件：定理1(1(必要條件必要條件) ) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn) 可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 、 必定存在，必定存在，且函數(shù)且函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的全微分為的全微分為 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 如果函數(shù)如果函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 、 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并

8、不能保證全微分存在：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在. .1212電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf1313電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法

9、及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 當(dāng)當(dāng) 時時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 1414電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)1515電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用

10、電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（2 2）全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用）全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 例例1-20 有一圓柱體，受壓后發(fā)生形變，它的半徑由有一圓柱體，受壓后發(fā)生形變，它的半徑由20cmcm增大增大到到20.05cmcm，高度由，高度由100cmcm減少到減少到99cmcm。求此圓柱體體積變化的近似。求此圓柱體體積變化的近似值。值。 解解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為 、 和和 ，則有，則有 已知已知 根據(jù)近似公式，有根據(jù)近似公式，有1616電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用

11、電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用即此圓柱體在受壓后體積約減少了即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 。1717電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用4. 4. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理1 1 如果函數(shù)如果函數(shù) 及及 都在點(diǎn)都在點(diǎn) 可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

12、復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且有可導(dǎo)，且有a.a.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形推廣推廣：設(shè)：設(shè) ， ， ， ，則則 對對 的導(dǎo)數(shù)為：的導(dǎo)數(shù)為： 上述上述 稱為全導(dǎo)數(shù)。稱為全導(dǎo)數(shù)。1818電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用b b 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理定理2 2 如果函數(shù)如果函數(shù) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) 具有具有對對 及及 的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)

13、 具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的兩個偏導(dǎo)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有數(shù)存在，且有, ,推廣：設(shè)推廣：設(shè) ， ， ， ，則，則, ,1919電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用討論：討論： ( (1) )設(shè)設(shè) ， ， 則則 ？ ？ ( (2) )設(shè)設(shè) ，且，且 ，則，則 ？ ？2020電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法

14、及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 定理定理3 3 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 具有對具有對 及對及對 的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn) 具有連具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的兩個偏導(dǎo)數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有存在，且有例例1-23 1-23 設(shè)設(shè) ，求，求 和和 。2121電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用解解2222電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程

15、學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用全微分形式不變性全微分形式不變性：設(shè)：設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果如果 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 由此可見，無論由此可見，無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。這個性質(zhì)叫做的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。這個性質(zhì)叫做全微分形式不全微分形式不變性變性。2323電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章

16、第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用5. 5. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）一個方程的情形）一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ，則方程，則方程 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條件它滿足條件 ，并有，并有隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2424電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022

17、-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用解解令令1),(22 yxyxF,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF則則2525電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時時1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx

18、 , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2626電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且 ， ，則方程則方程 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條，它滿足條件件 ，并有，并有2727電磁場數(shù)學(xué)方

19、法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例例1-30 設(shè)設(shè) ，求，求 。22240 xyzz22xz解解 設(shè)設(shè)F(x,y,z) x2 y2 z2 4z，則，則Fx 2x，F(xiàn)y 2z 4，zxzxFFxzzx24223222222)2()2()2()2()2()2()2(zxxzzxxxzxzxxxz2828電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法

20、及其應(yīng)用（2 2）方程組的情形）方程組的情形 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3 3 設(shè)設(shè) 、 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 ， ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式：函數(shù)行列式： 在點(diǎn)在點(diǎn) 不等于零，則方程組不等于零，則方程組 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)vGuGvFuFvuGFJ),(),(2929電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多

21、元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 在點(diǎn)在點(diǎn) 不等于零，則方程組不等于零，則方程組在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它們滿足條件它們滿足條件 ，并有，并有vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),(),(13030電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu

22、),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv),(),(13131電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例例1-31 1-31 設(shè)設(shè) ，求，求 ， ， 和和 。01xuyvyuxv,xuxvyuyv解解 兩個方程兩邊分別對兩個方程兩邊分別對x求偏導(dǎo)，得關(guān)于求偏導(dǎo)，得關(guān)于 和和 的方程組的方程組xuxv00 xvxvxuyxvyxuxu當(dāng)當(dāng)x2 y2 0時，解之得時，解之得 ，22yxyvxuxu22yxxvyuxv3232電磁場數(shù)學(xué)方法及其工

23、程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用兩個方程兩邊分別對兩個方程兩邊分別對x求偏導(dǎo)，得關(guān)于求偏導(dǎo)，得關(guān)于 和和 的方程組的方程組yuyv00yvxyuyuyvyvyux當(dāng)當(dāng)x2 y2 0時，解之得時，解之得 ，22yxyuxvyu22yxyvxuyv 另解另解 將兩個方程的兩邊微分得將兩個方程的兩邊微分得，即，即00 xdvvdxyduudyydvvdyxduudxvdxudyxdvyduudxvdyydvxdu3333電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子

24、科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用解之得解之得 dyyxyuxvdxyxyvxudu2222dyyxyvxudxyxxvyudv2222于是于是22yxyvxuxu22yxyuxvyu22yxxvyuxv22yxyvxuyv 3434電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： 設(shè)方程組設(shè)方程組 確定一對具有連確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元

25、函數(shù)二元函數(shù) 則則偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ， 由方程組由方程組 確定；確定；偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ， 由方程組由方程組 確定。確定。3535電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例例1-32 1-32 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 (1)(1)證明方程組證明方程組 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)唯一確定一的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù) 。(2)(2)求反函數(shù)求反函數(shù)

26、 對對 的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。3636電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用解解 ( (1) )將方程組改寫成下面的形式將方程組改寫成下面的形式 由隱函數(shù)存在定理由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結(jié)論。，即得所要證的結(jié)論。則按假設(shè)則按假設(shè) (2)(2)將方程組所確定的反函數(shù)將方程組所確定的反函數(shù) 代入，代入，即得即得3737電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函數(shù)

27、微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用將上述恒等式兩邊分別對將上述恒等式兩邊分別對 求偏導(dǎo)數(shù)，得求偏導(dǎo)數(shù)，得由于由于 ，故可解得，故可解得同理，可得同理，可得3838電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分1.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分1. . 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分（1）對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量：設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在曲線形構(gòu)件的質(zhì)量：設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段

28、面內(nèi)的一段曲線弧曲線弧L L上，已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)上，已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x y)處的線密度為處的線密度為 (x y)。求曲線形。求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。構(gòu)件的質(zhì)量。（如圖）（如圖）3939電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 定義定義 設(shè)設(shè)L為為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)f (x, y)在在L上有界。在上有界。在L上任意插入一點(diǎn)列上任意插入一點(diǎn)列 把把L分在分在n個小段。設(shè)第個小段。設(shè)第i個小段的長度個小段的長度為為 ，又，

29、又 為第為第i個小段上任意取定的一點(diǎn)，作積個小段上任意取定的一點(diǎn)，作積 ，（i=1，2，n），），并作和并作和 ，如果當(dāng)各小弧段的長度的最大，如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值值 ，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f (x, y)在曲線弧在曲線弧L上上對弧對弧長的曲線積分長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分，記作，記作 ，即，即 其中其中f (x,y)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。叫做積分弧段。4040電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2

30、 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 設(shè)設(shè)L L為為xOy面上一條光滑有向曲線，面上一條光滑有向曲線，cos sin 是與曲線方是與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)向一致的單位切向量，函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在在L上有定義。如果上有定義。如果下列二式右端的積分存在，我們就定義下列二式右端的積分存在，我們就定義 前者稱為函數(shù)前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲線在有向曲線L上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)x的曲線積分，的曲線積分，后者稱為函數(shù)后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線在有向曲線L上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)y的曲線積分，對坐的曲線積分，對坐標(biāo)的曲線積分也叫標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分第二類曲線積分。41

31、41電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分兩類曲線積分之間的關(guān)系：兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)設(shè)cos i,sin i為與為與 si同向的單位向量同向的單位向量, ,我們注意到我們注意到 xi, yisi，所以，所以 xi cos isi, yi sin isi，4242電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分即即或或43

32、43電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 其中其中A P, Q，t cos , sin 為有向曲線弧為有向曲線弧L上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y)處單位處單位切向量，切向量，dr tds dx, dy。類似地有類似地有dsRQPRdzQdyPdxcoscoscos或或dsAdsdttArA其中其中A P, Q, R，T cos , cos , cos 為有向曲線弧為有向曲線弧 上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量，處單們切向量，dr Tds dx, dy, dz，

33、A t為向量為向量A在向量在向量t上的投影。上的投影。4444電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分小結(jié)：用曲線積分解決問題的步驟：小結(jié)：用曲線積分解決問題的步驟：(4)計(jì)算定積分。計(jì)算定積分。 (3)將曲線積分化為定積分；將曲線積分化為定積分；(2)寫出曲線的參數(shù)方程（或直角坐標(biāo)方程），確定參數(shù)的變寫出曲線的參數(shù)方程（或直角坐標(biāo)方程），確定參數(shù)的變化范圍；化范圍； (1)建立曲線積分；建立曲線積分；4545電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程

34、應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（2 2）對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法）對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理：設(shè)定理：設(shè)P(x,y)、Q(x,y)是定義在光滑有向曲線是定義在光滑有向曲線 L： 上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)參數(shù)上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)參數(shù)t t單調(diào)地由單調(diào)地由a變到變到b時，點(diǎn)時，點(diǎn)M(x,y)從從L的起點(diǎn)的起點(diǎn)A沿沿L L運(yùn)動到終點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)B B，則，則 xtyt,dttttPdxyxPL)()(),(),(dttttQdyyxQL)()(),(),(4646電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)

35、用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分定理：若定理：若P(x, y)P(x, y)是定義在光滑有向曲線是定義在光滑有向曲線上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，L的方向與的方向與t的增加方向一致，則的增加方向一致，則L： ( ),( ) ()xtytatb dttttPdxyxPL)()(),(),(4747電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分Lxydx 解法一解法一 以以x

36、 x為參數(shù)。為參數(shù)。L分為分為AO和和OB兩部分：兩部分：AO的方程為的方程為 , ,x從從1變到變到0；OB的方程為的方程為 ，x從從0變到變到1。因此因此OBAOLxydxxydxxydx542)(10231001dxxdxxxdxxx4848電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分1122)(dyyyyxydxL542114dyy4949電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-

37、151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（3）兩類曲線積分之間的聯(lián)系）兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義，得由定義，得LLdsQPQdyPdx)sincos(LLddsQPrFsin,cos, 其中其中F=P, Q，T=cost, sint為有向曲線弧為有向曲線弧L上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y)處單位處單位切向量，切向量，dr=Tds=dx, dy。類似地有。類似地有dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(rF ddsRQPcos,cos,cos, 其中其中F P, Q, R，T cos , cos , cos 為有向曲線弧為有向曲線弧 上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量，

38、處單們切向量，dr Tds dx, dy, dz。5050電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用（1）格林公式）格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域：設(shè)單連通與復(fù)連通區(qū)域：設(shè)D為平面區(qū)域，如果為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于所圍的部分都屬于D，則稱，則稱D D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。區(qū)域。 對平面區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域D的邊界曲線的邊界曲線L，我們規(guī)定，我們規(guī)定L的

39、正向如下：當(dāng)觀察者的正向如下：當(dāng)觀察者沿沿L的這個方向行走時，的這個方向行走時，D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊。內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊。5151電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分區(qū)域區(qū)域D的邊界曲線的邊界曲線L的方向：的方向： 定理定理1 1 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)圍成，函數(shù)P(x, y)及及Q(x, y)在在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(

40、其中其中L是是D的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線。5252電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分例例1-40 橢圓橢圓x=a cosq ，y=b sinq 所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積A。解解 設(shè)設(shè)D是由橢圓是由橢圓x=acosq ，y=bsinq所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。令令 ， ，則，則yP21xQ2112121yPxQ于是由格林公式，于是由格林公式，LLDxdyydxxdyydxdxdyA2121212022)cossin(21dabab2

41、021dab ab5353電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（2）平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件）平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān)：設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)：設(shè)G是一個開區(qū)域，是一個開區(qū)域，P(x, y)、Q(x, y)在在區(qū)域區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果對于內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點(diǎn)內(nèi)任意指定的兩個點(diǎn)A、B以及以及G內(nèi)從點(diǎn)內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)B的任意兩條曲線的任意兩條曲線L1、L2，等式，等式21LLQdyPdx

42、QdyPdx恒成立，就說曲線積分恒成立，就說曲線積分 在在G內(nèi)與路徑無關(guān)，否則說與內(nèi)與路徑無關(guān)，否則說與路徑有關(guān)。路徑有關(guān)。LQdyPdx 特別：曲線積分特別：曲線積分 在在G G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G G內(nèi)任內(nèi)任意閉曲線意閉曲線C C的曲線積分的曲線積分 等于零。等于零。LQdyPdxLQdyPdx5454電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 定理定理2 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)是一個單連通域，函數(shù)P(x, y)及及Q

43、(x, y) )在在G內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分 在在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式LQdyPdxxQyP在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。 充分性易證：若充分性易證：若 ，則，則 ，由格林公式，對任，由格林公式，對任意閉曲線意閉曲線L，有，有xQyP0yPxQDLdxdyyPxQQdyPdx0則充分性得證。則充分性得證。5555電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21

44、.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 必要性：假設(shè)存在一點(diǎn)必要性：假設(shè)存在一點(diǎn) ，使，使 ，不妨設(shè)，不妨設(shè) 0，則由，則由 的連續(xù)性，存在的連續(xù)性，存在M0的一個的一個 鄰域鄰域U(M0, )，使在，使在此鄰域內(nèi)有此鄰域內(nèi)有 。于是沿鄰域。于是沿鄰域U(M0, )邊界邊界l的閉曲線積分的閉曲線積分M0 G0yPxQyPxQ02)(2),(0MUldxdyyPxQQdyPdx這與閉曲線積分為零相矛盾，因此在這與閉曲線積分為零相矛盾，因此在G內(nèi)內(nèi) 。0yPxQ5656電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151

45、.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分例例1-44 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中L為拋物線為拋物線 y x2上從上從O(0,0)到到B(1,1)的一段弧。的一段弧。Ldyxxydx22解解因?yàn)橐驗(yàn)?在整個在整個xOy面內(nèi)都成立，所以在整個面內(nèi)都成立，所以在整個xOy面內(nèi)，積分面內(nèi)，積分 與路徑無關(guān)。與路徑無關(guān)。xxQyP2Ldyxxydx22ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx2222225757電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲

46、面積分（3）二元函數(shù)的全微分求積）二元函數(shù)的全微分求積 定理定理3 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域是一個單連通域, ,函數(shù)函數(shù)P(x, y)及及Q(x, y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P(x, y)dx Q(x, y)dy在在G內(nèi)為某一函數(shù)內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式的全微分的充分必要條件是等式xQyP在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。5858電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分例例1-45 驗(yàn)證驗(yàn)證 在右

47、半平面在右半平面(x0)內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。并求出一個這樣的函數(shù)。22yxydxxdy解解這里這里22yxyP22yxxQ因?yàn)橐驗(yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有yPyxxyxQ22222)(所以在右半平面內(nèi)，所以在右半平面內(nèi)， 是某個函數(shù)的全微分。是某個函數(shù)的全微分。22yxydxxdy取積分路線為從取積分路線為從A(1 0)到到B(x 0)再到再到C(x y)的折線，則所求函數(shù)為的折線，則所求函數(shù)為),()0 , 1 (22),(yxyxydxxdyyxuyyxxdy0220 xyarctan問：為

48、什么問：為什么(x0, y0)不取不取(0,0)？5959電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分4. . 對面積的曲面積分對面積的曲面積分（1）對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)）對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 定義定義 設(shè)曲面設(shè)曲面S是光滑的，函數(shù)是光滑的，函數(shù)f(x,y,z)在在 上有界。把上有界。把 任意分成任意分成n小小塊：塊： S1, S2, , Sn( Si也代表曲面的面積也代表曲面的面積) ，在，在 Si上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)( i, i, i ) ，

49、如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 0時，極限時，極限 總總存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面在曲面 上對面積的曲面積分或第一類上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記作曲面積分，記作 ，即，即iiiiniSf),(lim10dSzyxf),(iiiiniSfdSzyxf),(lim),(10其中其中f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， 叫做積分曲面叫做積分曲面。6060電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲

50、線積分與曲面積分對面積的曲面積分的性質(zhì)：對面積的曲面積分的性質(zhì)：設(shè)設(shè)c 1、c 2為常數(shù)，則為常數(shù)，則dSzyxgcdSzyxfcdSzyxgczyxfc),(),(),(),(2121 若曲面若曲面 可分成兩可分成兩片光滑曲面片光滑曲面 1及及 2，則，則dSzyxfdSzyxfdSzyxf),(),(),(21 6161電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分設(shè)在曲面設(shè)在曲面 上上f(x y z) g(x y z)，則，則dSzyxgdSzyxf),()

51、,( ，其中其中A為曲面為曲面 的面積的面積AdS 6262電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（2）對面積的曲面積分的計(jì)算）對面積的曲面積分的計(jì)算面密度為面密度為f(x,y,z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為dSzyxfSfMiiiini),(),(lim10另一方面，如果另一方面，如果S由方程由方程z=z(x, y)給出，給出， 在在xOy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉镈，那么曲面的面積元素為，那么曲面的面積元素為 ，質(zhì)量元素為質(zhì)量元素為dx

52、dyyxzyxzdAyx),(),(122dxdyyxzyxzyxzyxfdAyxzyxfyx),(),(1),(,),(,226363電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分根據(jù)元素法，曲面的質(zhì)量為根據(jù)元素法，曲面的質(zhì)量為DyxdxdyyxzyxzyxzyxfM),(),(1),(,22因此因此DyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(226464電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電

53、子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分化曲面積分為二重積分：化曲面積分為二重積分：設(shè)曲面設(shè)曲面 由方程由方程z z(x,y)給出，給出， 在在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)镈xy，函數(shù)，函數(shù)z z(x,y)在在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z)在在 上連續(xù)，則上連續(xù)，則xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(226565電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.

54、1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分zxDxzdzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 如果積分曲面如果積分曲面 的方程為的方程為y y(z,x)，Dzx為為 在在zOx面上的投影區(qū)域，面上的投影區(qū)域，則函數(shù)則函數(shù)f(x,y,z)在在 上對面積的曲面積分為上對面積的曲面積分為 如果積分曲面如果積分曲面 的方程為的方程為x x(y,z)，Dyz為為 在在yOz面上的投影區(qū)域，面上的投影區(qū)域，則函數(shù)則函數(shù)f(x,y,z)在在 上對面積的曲面積分為上對面積的曲面積分為dydzzyxzyxzyzyxfdSzyxfzyDyz),(),(1,),(),

55、(22 6666電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 例例1-47 1-47 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 ，其中，其中 是球面是球面x2y2z2a2被平被平面面zh(0ha)截出的頂部截出的頂部。dSz1解解 的方程為的方程為 ，Dxy ：x2y2a2h2。222yxaz， 因?yàn)橐驗(yàn)?22yxaxzx222yxayzydxdyyxaadxdyzzdSyx2222216767電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工

56、程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分所以所以xyDdxdyyxaadSz22212002222harardrda22022)ln(212haraahaaln26868電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分5. 對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分（1）對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)）對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的。例如由方程有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的。例如

57、由方程z z(x,y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)。設(shè)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)。設(shè)n (cos ,cos ,cos )為曲面上的法向量，為曲面上的法向量，在曲面的上側(cè)在曲面的上側(cè)cos 0，在曲面的下側(cè)，在曲面的下側(cè)cos 0。閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之。閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分。分。 類似地，如果曲面的方程為類似地，如果曲面的方程為y y(z,x)，則曲面分為左側(cè)與右側(cè)，在，則曲面分為左側(cè)與右側(cè)，在曲面的右側(cè)曲面的右側(cè)cos 0，在曲面的左側(cè)，在曲面的左側(cè)cos 0。如果曲面的方程為。如果曲面的方程為x x(y,z)，則曲面分為前側(cè)與后側(cè)，在曲面的前側(cè)，則曲面分為前側(cè)與后側(cè)，在曲面的前側(cè)cos 0，在曲

58、面的，在曲面的后側(cè)后側(cè)cos 0。6969電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分流向曲面一側(cè)的流量：設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由流向曲面一側(cè)的流量：設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由, , ,()( ()()(),), , ,v x y zP x y z Q x y z R x y z 給出，給出， 是速度場中的一片有向曲面，函數(shù)是速度場中的一片有向曲面，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在都在 上連續(xù)，求在單位時間內(nèi)流向上連

59、續(xù)，求在單位時間內(nèi)流向 指定側(cè)的流體的質(zhì)指定側(cè)的流體的質(zhì)量，即流量量，即流量 。7070電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 定義定義 設(shè)設(shè)為光滑的有向曲面，函數(shù)為光滑的有向曲面，函數(shù)R(x,y,z)在在上有界。把上有界。把任任意分成意分成n塊小曲面塊小曲面Si（Si同時也代表第同時也代表第i小塊曲面的面積）。在小塊曲面的面積）。在xOy面上的投影為面上的投影為(Si)xy，(i,i,i )是是Si上任意取定的一點(diǎn)。如果上任意取定的一點(diǎn)。如果當(dāng)各小塊曲面

60、的直徑的最大值當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時，極限值時，極限值xyiiiiniSR)(,(lim10 總存在，則稱此極限為函數(shù)總存在，則稱此極限為函數(shù)R(x,y,z)在有向曲面在有向曲面上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)x、y的的曲面積分，記作曲面積分，記作dxdyzyxR),(7171電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用電磁場數(shù)學(xué)方法及其工程應(yīng)用 電子科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與工程學(xué)院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分即即xyiiiiniSRdxdyzyxR)(,(lim),(10類似地有類似地有yziiiiniSPdydzzyxP)(,(lim),(10zxiiii