大學解析幾何第二章

1、 一、曲線的方程一、曲線的方程 二、曲線的參數(shù)方程二、曲線的參數(shù)方程 三、常見曲線的參數(shù)方程三、常見曲線的參數(shù)方程第二章第二章 軌跡與方程軌跡與方程一、曲線的方程一、曲線的方程定義定義1 1 當平面上取定了坐標系之后，如果一個方程與一條曲線之當平面上取定了坐標系之后，如果一個方程與一條曲線之間有著關系：間有著關系： 滿足方程的滿足方程的 必是曲線上某一點的坐標；必是曲線上某一點的坐標； 曲線上任何一點的坐標曲線上任何一點的坐標 滿足這個方程，滿足這個方程， 那么這個方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個那么這個方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個方程的圖形方程的圖形。, x y, x

2、 y概括而言，曲線上的點與方程之間有著一一對應的關系概括而言，曲線上的點與方程之間有著一一對應的關系 例例1 求圓心在原點，半徑為求圓心在原點，半徑為R 的圓的方程的圓的方程2, 2A 2,2B4MAMB222xyR2 2xyxy2,2B2, 2A M。定義定義2 若取若取 的一切可能取值的一切可能取值由由 表示的向徑表示的向徑 的終點總在一的終點總在一條曲線上條曲線上在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的向徑，而這向徑在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的向徑，而這向徑可由可由 的某一值的某一值 通過通過 完全決定，完全決定， 那么就把那么就把 叫做曲線的叫做曲線的向量式參數(shù)方程，其

3、中向量式參數(shù)方程，其中 為參數(shù)。為參數(shù)。二、曲線參數(shù)的方程二、曲線參數(shù)的方程 ,xx tatbyy t t atb 12r tx t ey t e a t b r tt 12r tx t ey t eatb 12r tx t ey t eatb 00tatbt r tPBA r b r a例例3 一個圓在一直線上無滑動地滾動，求圓周上一定點的軌跡一個圓在一直線上無滑動地滾動，求圓周上一定點的軌跡圓的內擺線圓的內擺線圓的內擺線圓的內擺線（a4b）四尖點星形線（四尖點星形線（astroid）其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為coscos,sinsinRrxRrrrRryRrrr 2 cos (1 cos )

4、2 sin (1 cos )xRyRcossinsincosxRyR其坐標式參數(shù)方程為其坐標式參數(shù)方程為22221xyabcos,sinxaybt2222222222,2a ba txba ttab tyba t 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S

5、上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 設設),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解上一頁下一頁返回0 0 xyandxy0 x yk解解設設),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，|CMr根據(jù)題意有根據(jù)題意有222xaybzcr2222xaybzcr所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 上一頁下一頁返回當當 A2+B2+C2

6、-4D 0 時時, 是球面方程是球面方程.由上述方程可得球面的一般式方程為：由上述方程可得球面的一般式方程為：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），經(jīng)過配方又可得到：），經(jīng)過配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4返回當當 A2+B2+C2-4D =0 時時, 是是點點球面方程球面方程.當當 A2+B2+C2-4D 0 時時, 是是虛虛球面方程球面方程.MM解解: 取定直角坐標系取定直角坐標系, 球心為原點球心為原點(如圖如圖)設球面上任意一點設球面上

7、任意一點M(x, y, z), 過過M作作xy平面的垂線交于點平面的垂線交于點P. 設設是是由由 x 軸轉軸轉到到 的有向角的有向角, 而而 是由是由 轉到轉到 有向角有向角(向上為正向上為正). OP OM OP 這時這時, |OP| =r cos , 點點M的橫坐標的橫坐標x = |OP|cos, 所以所以x = r cos cos , 類類似地可求得點似地可求得點M的其它坐標的其它坐標.這就是球面的參數(shù)方這就是球面的參數(shù)方程程, 當當,變動時就得變動時就得出整個球面出整個球面.OP OP xyzo),(zyxM),(rPrPxyzo),(zyxM zyxA設設 M M( (x x, ,y

8、 y, ,z z) )為為空空間間內內一一點點，則則點點M M 可可用用三三個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)， ，來來確確定定，其其中中為為原原點點 O O 與與點點 M M 間間的的距距離離，為為有有向向線線段段 O OM M與與z z軸軸正正向向所所夾夾的的角角，為為從從正正 z z 軸軸來來看看自自x x 軸軸按按逆逆時時針針方方向向轉轉到到有有向向線線段段 O OP P的的角角，這這里里 P P 為為點點 M M在在 x xo oy y 面面上上的的投投影影，這這樣樣的的三三個個數(shù)數(shù) ，就就叫叫做做點點 M M的的球球面面坐坐標標0, 02 .,0 規(guī)定：規(guī)定：如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標

9、面分別為為為 常常 數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設點設點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 設設M(x, y, z)M(x, y, z)為為空空間間內內一一點點，并并設設點點 M M在在xoyxoy面面上上的的投投影影P P的的極極坐坐標標為為 , , ，則則這這樣樣的的三三個個數(shù)數(shù) , , z, , z就就叫叫點點M M的的柱柱面面

10、坐坐標標0, 02,.z規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM( , )P 注意：柱面坐標系就是注意：柱面坐標系就是平面極坐標系加上平面極坐標系加上z軸軸.cos ,sin ,. xyzz柱面坐標與直角坐標的關柱面坐標與直角坐標的關系為系為柱面坐標系的三坐標面是柱面坐標系的三坐標面是為為常常數(shù)數(shù)圓柱面圓柱面；為為常常數(shù)數(shù)半平面半平面；為為常常數(shù)數(shù)z z平平 面面),(zyxM( , )P zxyzo22tanxyyxzz或 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程能同時滿足兩

11、個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：下一頁返回00.xy22220 xyzRz2220 xyRorz22210 xyzz組樣線？方方程程表表示示怎怎的的曲曲01222zzyx1222zyxO r tPBA r b r a 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 例例 3 3 如如果果空空間間一一點點M在在圓圓柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 繞繞 z軸軸旋旋轉轉，同同時時又又以以線線速速度度 v沿沿平平行行于于 z軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點點 M構構成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz