微觀至介觀尺度的模擬方法概述

1、微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬主要研究?jī)?nèi)容： 微結(jié)構(gòu)演化 （動(dòng)力學(xué)控制） 微結(jié)構(gòu)與其性質(zhì)之間關(guān)系 結(jié)構(gòu)演化的方向熱力學(xué)控制 微結(jié)構(gòu)變化路徑動(dòng)力學(xué)控制 結(jié)構(gòu)演化的這種非平衡特性導(dǎo)致了各種各樣的晶格缺陷結(jié)構(gòu)及其相互作用機(jī)制。尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10 10-7點(diǎn)缺陷，原子團(tuán)簇，短程有序，在玻璃態(tài)和界面中的結(jié)構(gòu)單元，位錯(cuò)芯，裂紋尖端，原子核10-9 10-5失穩(wěn)分解，涂層，薄膜，表面腐蝕10-9 10-4二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大質(zhì)量的非熱變化，界面網(wǎng)格，位錯(cuò)源，堆積效應(yīng)10-9 10-3粒子、沉積物，枝晶，共晶，共析10-8

2、 10-5微裂紋，裂紋，粉末，磁疇，內(nèi)應(yīng)力10-8 10-4堆垛層錯(cuò)，微帶，微孿晶，位錯(cuò)通道10-8 10-3聚合物中的球晶，存在于金屬、陶瓷、玻璃及聚合物中的結(jié)構(gòu)疇或晶粒團(tuán)簇（對(duì)于多晶或非晶的情況）10-8 10-2聚合物中的構(gòu)象缺陷團(tuán)簇10-8 10-1位錯(cuò)，位錯(cuò)壁，旋錯(cuò)，磁壁，亞晶粒，大角晶界，界面10-7 10-1晶粒，剪切帶，復(fù)合材料的第二相10-7 100擴(kuò)散，對(duì)流，熱傳遞，電流傳輸10-7 100微結(jié)構(gòu)逾滲路徑(斷裂，再結(jié)晶，界面潤(rùn)濕，擴(kuò)散，腐蝕，電流，布洛赫壁)10-6 101表面，樣品斷面收縮，斷面微結(jié)構(gòu)的實(shí)物空間和時(shí)間尺度微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬l非平衡因素

3、 材料性質(zhì)的多樣性應(yīng)用性質(zhì)材料微結(jié)構(gòu)機(jī)制微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點(diǎn)： 處理的原子數(shù)目巨大(1023個(gè)/cm3)。 排除了（1）嚴(yán)格求解薛定諤方程（2）由唯象原子論方法(如與經(jīng)驗(yàn)勢(shì)相聯(lián)系的分子動(dòng)力學(xué))來(lái)完成。 必須建立能覆蓋較寬尺度范圍的恰當(dāng)?shù)慕橛^尺度模擬方法，以便給出遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)原子尺度的預(yù)測(cè)。微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬l連續(xù)體模型 原子運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格解或近似解 （薛定諤方程或分子動(dòng)力學(xué)） 替換為平均本征結(jié)構(gòu)關(guān)系式 介觀尺度機(jī)理和本構(gòu)定律的復(fù)雜性和多樣性，導(dǎo)致建立介觀尺度模型的方法的不唯一性。空間及時(shí)間離散化介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)(

4、晶體塑性，復(fù)原，織構(gòu)，斷裂)相場(chǎng)動(dòng)力學(xué)或廣義Ginzburg-Landau模型(超導(dǎo)電性，擴(kuò)散，相變，晶粒生長(zhǎng))確定性或概率性元胞自動(dòng)機(jī)(擴(kuò)散，熱傳遞，相變，再結(jié)晶，晶粒生長(zhǎng))多態(tài)動(dòng)力學(xué)波茨(Potts)模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長(zhǎng))幾何拓?fù)浜徒M分模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長(zhǎng))拓?fù)渚W(wǎng)格和頂點(diǎn)模型(晶界動(dòng)力學(xué)，網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)，成核，復(fù)原，晶粒生長(zhǎng))典型應(yīng)用領(lǐng)域中的主要介觀尺度模擬方法微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬l介觀模擬方法的共同特點(diǎn)：不明顯地包含原子尺度動(dòng)力學(xué)，而是理想化地把材料作為連續(xù)體。l由均勻性基體將晶格缺陷之間的相互作用耦合在一起。l控制方程中通常不顯含內(nèi)秉空間或時(shí)間標(biāo)度。l含

5、有單個(gè)晶格缺陷的連續(xù)體介觀尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征結(jié)構(gòu)方程組表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡羅方法可以對(duì)這些微分方程近行求解。微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬l時(shí)空標(biāo)度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其系數(shù)、變量所擁有的特點(diǎn)和性質(zhì)決定。l作為態(tài)變量(例如原子濃度，位鍺密度，結(jié)構(gòu)參數(shù)，位移或品格取向)，通常被并進(jìn)空間格柵坐標(biāo)；l控制微分方程被用于局域或整體情況，這取決于相互作用的性質(zhì)(短程或長(zhǎng)程)。l能夠利用連續(xù)體近似方法對(duì)介觀尺度的結(jié)構(gòu)演化進(jìn)行預(yù)測(cè)、意義重大，因?yàn)槲ㄏ髴B(tài)方程和結(jié)構(gòu)演化定律已在介觀尺度進(jìn)行很好地研究，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲得比在微觀尺度更容易，而且數(shù)據(jù)信息比

6、在宏觀尺度更詳細(xì)。第第6章章 元胞自動(dòng)機(jī)元胞自動(dòng)機(jī)l6.1基本原理l元胞自動(dòng)機(jī)是描述和處理復(fù)雜系統(tǒng)在離散空間-時(shí)間上演化規(guī)律的算法，通常采用對(duì)晶格格座的局域或整體的確定性和概率性變換規(guī)則進(jìn)行具體操作。l空間變量可以代表實(shí)空間、動(dòng)量空間或波矢空間。l其晶格定義為具有固定數(shù)目的點(diǎn)，一般是規(guī)則晶格，但其維數(shù)及大小可以是任意的。它表述了系統(tǒng)由基礎(chǔ)實(shí)體形成的構(gòu)象。l這些“基礎(chǔ)實(shí)體” 可以是任意大小的連續(xù)體型體積單元、原子顆粒、晶格缺陷或生物界中的動(dòng)物等等。元胞自動(dòng)機(jī)的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃 6.1 6.1 基本原理基本原理l基本實(shí)體，由廣義態(tài)變量(諸如無(wú)量綱數(shù)、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、顏色、血壓或

7、動(dòng)物種類(lèi)等)進(jìn)行量化表述。l在每一個(gè)獨(dú)立的格座，這些態(tài)變量的實(shí)際取值都是確定的。并且認(rèn)為，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)代表有限個(gè)可能的離散狀態(tài)中的一個(gè)態(tài)。l通過(guò)將某些變換規(guī)則應(yīng)用于每個(gè)結(jié)點(diǎn)狀態(tài)，就會(huì)發(fā)生自動(dòng)機(jī)的演化。這些規(guī)則決定著晶格格座的狀態(tài)；對(duì)于局域規(guī)則，格座狀態(tài)是其前一狀態(tài)及近鄰格點(diǎn)(座)狀態(tài)的函數(shù)，而在整體變換規(guī)則下，則為所有格座狀態(tài)的函數(shù)。傳統(tǒng)元胞自動(dòng)機(jī)大多采用局域變換規(guī)則。6.16.1基本原理基本原理l對(duì)于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。l對(duì)于非均勻介質(zhì)，在討論的晶格區(qū)域采用較小的晶格間距比較妥當(dāng)；而且，還必須考慮對(duì)變換速率進(jìn)行合理修正和重正化。l元胞自動(dòng)機(jī)以離散時(shí)間步發(fā)展演化。經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間間隔

8、，要對(duì)所有結(jié)點(diǎn)的態(tài)變量值同時(shí)更新。l廣義微結(jié)構(gòu)元胞自動(dòng)機(jī)可以采用元胞或格座的離散空間格柵，在空間上通常被認(rèn)為是均勻的，所有格座都是等價(jià)的，并被排布在規(guī)則晶格上，其中的變換規(guī)則在各處都是一樣的。假定它們是有限個(gè)可能狀態(tài)中的一個(gè)，并對(duì)所有元胞狀態(tài)同步更新。此外，它們與常規(guī)自動(dòng)機(jī)不同的是，格座變換既可以按照確定性定律，也可以按照概率性定律。6.16.1基本原理基本原理l元胞自動(dòng)機(jī)方法為模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的演化提供了一種直接的手段，這些動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)包含有大量基于短程相互作用或長(zhǎng)程相互作用的相似組元。 l 對(duì)于簡(jiǎn)單的物理系統(tǒng)，時(shí)間是其惟一個(gè)獨(dú)立變量(自變量)。這種直接方法，就相當(dāng)于利用有限差分近似法給出偏微分

9、方程組的離散解。l元胞自動(dòng)機(jī)方法對(duì)“基礎(chǔ)實(shí)體”類(lèi)型和選用的變換規(guī)則沒(méi)有任何限制。它們可以描述：簡(jiǎn)單有限差分模擬中態(tài)變量值的分布，混合算法的色問(wèn)題，“教室里的兒童健康情況”，在任何變換條件下的模糊集合元素，以及元胞的初級(jí)生長(zhǎng)與衰減過(guò)程等。6.16.1基本原理基本原理l例如，用于計(jì)算高次多項(xiàng)式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯卡三角形，可以作為一維元胞自動(dòng)機(jī)。其中規(guī)則三角晶格各個(gè)格座對(duì)應(yīng)的值，可通過(guò)在其上方的兩個(gè)數(shù)之和給出。在這種情況下、自動(dòng)機(jī)的“基礎(chǔ)實(shí)體”是一些無(wú)量綱的整數(shù)，其變換定律是求和法則。一維元胞自動(dòng)機(jī)模型帕斯卡三角形示意圖6.16.1基本原理基本原理l另一種自動(dòng)機(jī)是由立方晶格組成的，這時(shí)每個(gè)點(diǎn)具有

10、一種顏色，并能按照下述簡(jiǎn)單的變換規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)換：“如果某點(diǎn)有超過(guò)50的近鄰格點(diǎn)(座)是藍(lán)色，則該點(diǎn)就由原色變成紅色”；或者“當(dāng)有超過(guò)75的近鄰格點(diǎn)是紅色時(shí)，那么所考察格點(diǎn)的顏色也轉(zhuǎn)換為紅色”。若要描述學(xué)校里孩子們之間的相互傳染問(wèn)題，我們可以通過(guò)一個(gè)規(guī)則，亦即“如果一個(gè)教室里有50的孩子得病則該教室里其他所有孩子就被感染”，定義一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)。為了使上述簡(jiǎn)單唯象模型變得更加合理、真實(shí)、可信，應(yīng)該增加更多的變換規(guī)則。上面的例子可補(bǔ)充這樣的規(guī)則：“經(jīng)過(guò)一定數(shù)目的時(shí)間步之后，受感染的孩子已康復(fù)”或“每個(gè)孩子只能被感染一次等等。6.16.1基本原理基本原理l元胞自動(dòng)機(jī)并不簡(jiǎn)單地等同于普通模擬方法，例如各種

11、有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。l元胞自動(dòng)機(jī)具有廣泛的適用性和多功能的特點(diǎn)，是離散計(jì)算方法的普遍化推廣。l這種靈活適用性是基于這樣一個(gè)事實(shí)：除了采用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)表達(dá)式作為變量和變換規(guī)則之外，如果需要的話，自動(dòng)機(jī)能夠包括任何元素或規(guī)則。6.16.1基本原理基本原理l在材料科學(xué)中，有時(shí)對(duì)常規(guī)有限差分計(jì)算方法補(bǔ)充一些“如果就”規(guī)則可以為處理“數(shù)學(xué)上的奇點(diǎn)(即非光滑函數(shù)表述中的臨界或自發(fā)效應(yīng))問(wèn)題提供了一種簡(jiǎn)單有效的途徑。事實(shí)上，這些規(guī)則經(jīng)常出現(xiàn)在微結(jié)構(gòu)模擬中。例如， 在離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬中，“如果兩個(gè)反平行螺位錯(cuò)相互靠近到其間距小于5個(gè)伯格斯矢量時(shí)，它們就會(huì)自發(fā)湮

12、沒(méi)”；在斷裂力學(xué)或彈簧模型中，會(huì)經(jīng)常包含這樣的規(guī)則：“如果裂紋速度達(dá)到某一個(gè)值，試驗(yàn)樣品將自發(fā)損壞”；在重結(jié)晶模擬中，會(huì)經(jīng)常遇到這樣的規(guī)則：“如果晶體局城取向誤差達(dá)到某一個(gè)值，格座將滿足成核的動(dòng)力學(xué)非穩(wěn)定性臨界條件?！被颉熬钟騼?chǔ)存的彈性能達(dá)到某個(gè)臨界值，格座將滿足成核的熱力學(xué)非穩(wěn)定性條件”。6.16.1基本原理基本原理l如果對(duì)主微分方程補(bǔ)充上述所說(shuō)的“如果就”的變換規(guī)則，我們就可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行模擬。通常而言，所考察粒子之間的局域相互作用是這一問(wèn)題的根本基礎(chǔ)。l盡管元胞自動(dòng)機(jī)模擬一般是在基本尺度層次(例如原子、原子團(tuán)簇、位錯(cuò)段、亞晶粒)上完成的，但是作為對(duì)連續(xù)體空間進(jìn)行離散化和

13、映射處理的派生方法，本身不存在物理特征線度或時(shí)間刻度的內(nèi)秉標(biāo)定問(wèn)題。l對(duì)連續(xù)體系統(tǒng)的元胞自動(dòng)機(jī)模擬，需要定義相應(yīng)的基本單元和對(duì)應(yīng)的變換規(guī)則，以便恰當(dāng)?shù)卣宫F(xiàn)系統(tǒng)在給定層次上的行為特性。6.16.1基本原理基本原理l從物理角度看，分子動(dòng)力學(xué)表示的是真正的微觀模型，而在使用元胞自動(dòng)機(jī)方法時(shí)，并不局限任何特定體系，可適用于任何系統(tǒng)。與蒙特卡羅方法相比，由元胞自動(dòng)機(jī)方法得到的平衡系綜的熱力學(xué)量，在物理上更缺少依據(jù)和基礎(chǔ)。由于這個(gè)原因，在進(jìn)行元胞自動(dòng)機(jī)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)之前，一個(gè)重要工作就是，檢驗(yàn)基本模擬單元是否切實(shí)體現(xiàn)了“基礎(chǔ)物理實(shí)體”的特性。由于元胞自動(dòng)機(jī)的應(yīng)用并不局限于微觀體系，所以它為在微結(jié)構(gòu)模擬中實(shí)現(xiàn)不

14、同空間及時(shí)間尺度的方法之間的跨越，提供了一個(gè)非常方便的數(shù)值工具。6.2 CA在材料中的多面性在材料中的多面性l由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及變換規(guī)則時(shí)所展現(xiàn)的廣泛適用性和靈活性。元胞自動(dòng)機(jī)方法在對(duì)由再結(jié)晶、晶粒生長(zhǎng)及相變現(xiàn)象等形成的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬時(shí)，表現(xiàn)出特有的多面性。l例如，對(duì)于再結(jié)晶和晶粒生長(zhǎng)，元胞自動(dòng)機(jī)可以離散化方式同時(shí)描述局域結(jié)晶結(jié)構(gòu)及其形成過(guò)程。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)這些特性的描述，一般是將局域晶體取向g、儲(chǔ)存的彈性能(即某種近似可測(cè)量，諸如位錯(cuò)密度或局域泰勒因子M)以及溫度T作為態(tài)變量。這些變量都是因變量，也就是它們依賴(lài)于自變量，諸如空間坐標(biāo)(x1，x2，x3)和時(shí)間t等。6.2 CA在材料

15、中的多面性在材料中的多面性l就特定的研究對(duì)象，狀態(tài)參量應(yīng)包含在所使用的各種局域結(jié)構(gòu)演化定律之中。根據(jù)局域的信息、數(shù)據(jù)及變換規(guī)律，可以對(duì)諸如復(fù)原、成核及其生長(zhǎng)等現(xiàn)象的機(jī)理結(jié)出相應(yīng)合理的唯象解釋。l通過(guò)確定二維或三維空間格柵所對(duì)應(yīng)的態(tài)變量，元胞自動(dòng)機(jī)模擬可以應(yīng)用于對(duì)微結(jié)構(gòu)的非均勻性質(zhì)的研究，其中包括諸如第二相、微帶、剪切帶、過(guò)渡帶、異相界面、晶界和孿晶等。這些局域性缺陷結(jié)構(gòu)，可以借助其態(tài)變量的相應(yīng)值或梯度值進(jìn)行表述；用高位錯(cuò)密度和大的局域晶格曲率表征剪切帶的特性。對(duì)于一個(gè)給定雜質(zhì)含量的晶界遷移率m，可以采用相鄰晶粒之間的取向偏差g和晶界法線的空間取向n來(lái)表征。6.3 6.3 元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元

16、胞自動(dòng)機(jī)的一般表述l在元胞自動(dòng)機(jī)中，鄰接格座的局域相互作用，是通過(guò)一套確定性或概率件變換規(guī)則具體確定的。在時(shí)間(t+t)時(shí)，對(duì)應(yīng)于某特定格座的態(tài)變量值將由目前狀態(tài)(t0) (或最接近的幾個(gè)態(tài)t0，t0-t等)及其鄰近格點(diǎn)的狀態(tài)決定。若只考慮最鄰近的兩個(gè)時(shí)間步，則對(duì)于一維元胞自動(dòng)機(jī)的演化來(lái)說(shuō)，可以用公式寫(xiě)成下式形式：l 表示在時(shí)間t0時(shí)對(duì)應(yīng)于結(jié)點(diǎn)j的態(tài)變量值；j+1和j-1表示格點(diǎn)j的兩個(gè)最近鄰結(jié)點(diǎn)。f具體指定了描述變換規(guī)則的函數(shù)。00000001111,tjtjtjttjttjttjttjf(6.1)0tj6.3 6.3 元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述l幾種鄰接狀態(tài)l馮諾伊曼鄰接 結(jié)

17、點(diǎn)狀態(tài)僅取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)l摩爾鄰接 結(jié)點(diǎn)狀態(tài)取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)和次鄰近結(jié)點(diǎn)l擴(kuò)展摩爾鄰接 考慮兩層鄰近的元胞l馬哥勒斯鄰接 每次考慮一個(gè)22的元胞塊l鄰接類(lèi)型影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換速率和演化形態(tài)。 1,11,21,32,12,22,33,13,23,31,11,21,32,12,22,33,13,23,3圖6.1 馮諾依曼鄰接和摩爾鄰接6.3 6.3 元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述l對(duì)于擴(kuò)展配置，一維情況下，考慮兩個(gè)鄰近時(shí)間步時(shí)的轉(zhuǎn)換規(guī)則可以寫(xiě)為：l其中n表示單位晶格元胞變換規(guī)則的作用范圍。00000000000,111111tnjtnjtjtjtjttjttjttjttnjttnjttjf

18、(6.2)6.3 6.3 元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述l元胞自動(dòng)機(jī)存在眾多可行的變換規(guī)則。 l馮諾伊曼鄰接的一維二進(jìn)制元胞自動(dòng)機(jī)，每一個(gè)時(shí)間步，即j=0或 j=1，轉(zhuǎn)換規(guī)則采取 的形式，其轉(zhuǎn)換規(guī)則有28個(gè)。其中之一 000011,tjtjtjttjf0000000000000000000000001111111111111,1,101,1,011,0,101,0,010,1,110,1,0tttttjjjjtttttjjjjtttttjjjjtttttjjjjtttttjjjjttttjjjj00000000111100,0,110,0,00ttttttjjjjtttttjjjj該

19、轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞自動(dòng)機(jī)方法中，一般采用數(shù)字編碼方式簡(jiǎn)化表述相關(guān)變換規(guī)則。 6.3 6.3 元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述l變換規(guī)則的數(shù)目可以由k (kn)計(jì)算得到，其中k為元胞的狀態(tài)數(shù)，n為包含芯元胞在內(nèi)的鄰近元胞的數(shù)目。對(duì)于具有摩爾鄰接的二維元胞自動(dòng)機(jī)（n=9），假設(shè)每個(gè)元胞具有兩個(gè)可能的狀態(tài)，則該系統(tǒng)將具有229=262144個(gè)不同的轉(zhuǎn)變規(guī)則。6.4 6.4 元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)l沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動(dòng)力學(xué)行為的差異將元胞自動(dòng)機(jī)分為四類(lèi)。l(1)平穩(wěn)型： 自任何初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞空間趨于一個(gè)空間

20、平穩(wěn)的獨(dú)一無(wú)二的構(gòu)形，這里空間平穩(wěn)即指每一個(gè)元胞處于固定狀態(tài)，不隨時(shí)間變化而變化。l(2)周期型： 產(chǎn)生周期性重復(fù)的短周期結(jié)構(gòu)，或者產(chǎn)生穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在這種元胞自動(dòng)機(jī)中同時(shí)呈現(xiàn)出局部和整體的排列次序。這種自動(dòng)機(jī)可以看作是一個(gè)濾波器（Filter），這來(lái)自于給定轉(zhuǎn)換規(guī)則的離散數(shù)據(jù)的本質(zhì)。在向空間中這種系統(tǒng)形成閉環(huán)。6.4 6.4 元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)l(3)混沌型： 自任何初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞自動(dòng)機(jī)形成非周期的混沌結(jié)構(gòu)。至少在經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，這種結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征與初始結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征大致相同。由第三種元胞自動(dòng)機(jī)生成的結(jié)構(gòu)通常為自相似的分形排列。對(duì)于任意的初始配置，經(jīng)過(guò)大量

21、的時(shí)間步后，這些結(jié)構(gòu)具有相同的統(tǒng)計(jì)特征。人們對(duì)這類(lèi)自動(dòng)機(jī)在幾何方面的應(yīng)用具有很大的興趣。這種自動(dòng)機(jī)是最常用的一種元胞自動(dòng)機(jī)。6.4 6.4 元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)的分類(lèi)l(4)復(fù)雜型： 第四類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生穩(wěn)定的，周期性的，可以維持任意長(zhǎng)時(shí)間的傳播結(jié)構(gòu)。一些元胞自動(dòng)機(jī)在經(jīng)歷一定時(shí)間步以后衰退，即所有元胞的狀態(tài)變?yōu)榱?。一些第四?lèi)元胞自動(dòng)機(jī)可以形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)這些恰當(dāng)?shù)膫鞑ソY(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)置，可以得到具有任意循環(huán)長(zhǎng)度的最終狀態(tài)。在演化過(guò)程中，第四類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)表現(xiàn)出高度的不可逆性。這種元胞自動(dòng)機(jī)可以呈現(xiàn)出重要的局域排列。6.5 6.5 概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法 l將確定性元

22、胞自動(dòng)機(jī)變?yōu)榉谴_定性的基本方法有兩種:l第一種方法就是隨機(jī)地選擇所研究的晶格格點(diǎn)，而不是系統(tǒng)化地按順序選擇，但是要使用確定性變換規(guī)則；l第二種方法就是用概率性變換代替確定性變換，但要系統(tǒng)地研究所有格點(diǎn)。l主要討論第二種方法，并將之歸為概率性或隨機(jī)性元胞自動(dòng)機(jī)。 6.5 6.5 概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法l概率性元胞自動(dòng)機(jī)，就其基本過(guò)程和要素方面而言，非常相似于普通的元胞自動(dòng)機(jī)，只不過(guò)轉(zhuǎn)變規(guī)則由確定性的換成了隨機(jī)性的。l設(shè)有N個(gè)格點(diǎn)組成一個(gè)一維鏈，其中每個(gè)格點(diǎn)有k個(gè)可能的狀態(tài)Sv=0, 1, 2, ., k-1。從而整個(gè)鏈共有kN個(gè)不同的排列方式。由（S1, S2, , SN）描述

23、的某給定晶格狀態(tài)用下式整數(shù)標(biāo)記：(6.3)NvvvkSi116.5 6.5 概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法l假設(shè)每個(gè)狀態(tài)i的存在概率為Pi。作為時(shí)間的函數(shù)的Pi(t)，按照其轉(zhuǎn)變概率以離散時(shí)間步t=0, 1, 2, 的方式變換發(fā)展。如果只考慮鄰近的時(shí)間步(t-1)，這一規(guī)則可用下式給出：l轉(zhuǎn)移概率Tij就表示由前一時(shí)刻的j狀態(tài)轉(zhuǎn)變到i狀態(tài)的概率。l對(duì)于離散型元胞自動(dòng)機(jī)方法，轉(zhuǎn)移矩陣Tij 是由局部規(guī)則決定：(6.4)10) 1()(NkjjijitPTtPNvjvjvjvivijSSSSpT111),|(6.5)6.5 6.5 概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法l 和 分別表示

24、狀態(tài)j和i的格點(diǎn)變量；因而，變量的轉(zhuǎn)換只有其最近鄰及其自己的狀態(tài)有關(guān)。 l雖然概率性元胞自動(dòng)機(jī)與Metropolis蒙特卡洛算法之間具有一定的相似性，但二者之間還是有差別的。這種差別主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：l第一，蒙特卡洛方法每個(gè)時(shí)間步只更新一個(gè)格點(diǎn)，而概率元胞自動(dòng)機(jī)像大多數(shù)自動(dòng)機(jī)一樣，每次要全部一起更新；l第二，元胞自動(dòng)機(jī)沒(méi)有本征的長(zhǎng)度或時(shí)間標(biāo)度。l元胞自動(dòng)機(jī)的標(biāo)定參數(shù)主要是由構(gòu)成物理模型的基礎(chǔ)來(lái)決定，而不是由所采用的元胞自動(dòng)機(jī)算法來(lái)決定。jvSivS6.5 6.5 概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法l元胞自動(dòng)機(jī)與波茨蒙特卡羅自旋模型的區(qū)別：l(1)元胞自動(dòng)機(jī)對(duì)微觀體系不存在內(nèi)稟標(biāo)度，如果

25、選擇合適的基礎(chǔ)單元，并且建立與場(chǎng)變量相匹配的代數(shù)、微分或積分方程，那么元胞自動(dòng)機(jī)可以用于任意空間和時(shí)間尺度上的問(wèn)題處理。蒙特卡羅方法對(duì)于微觀體系是有內(nèi)稟標(biāo)度的。l(2)在蒙特卡羅方法中，廣義自旋格座是隨機(jī)抽樣順序考察的，而元胞自動(dòng)機(jī)則是同步一起更新。l(3)元胞自動(dòng)機(jī)比多態(tài)波茨模型使用了更多的確定性或概率性變換規(guī)則。6.6 6.6 非平衡現(xiàn)象的模擬非平衡現(xiàn)象的模擬l6.6.1熱力學(xué)模擬 l在金屬的熱變形過(guò)程中，會(huì)發(fā)生諸如再結(jié)晶、連續(xù)與非連續(xù)型晶粒生長(zhǎng)和不連續(xù)沉淀等非平衡轉(zhuǎn)變現(xiàn)象和微結(jié)構(gòu)瞬態(tài)問(wèn)題。按照微結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，這些轉(zhuǎn)變現(xiàn)象都是由于高角晶界的運(yùn)動(dòng)引起的。由于吉布斯自由焓存在梯度，原子或原子團(tuán)將

26、從一個(gè)晶粒越遷轉(zhuǎn)移到其鄰近晶粒。對(duì)同相界面，其凈驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)(6.6)dVdGp 6.6.16.6.1熱力學(xué)模擬熱力學(xué)模擬l在實(shí)際材料中，各種貢獻(xiàn)都將影響到局域自由焓的值。l(1)在冷加工金屬中，位錯(cuò)密度的增加對(duì)所儲(chǔ)存的彈性能的貢獻(xiàn)，在對(duì)驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)中占最大的份額。l是界面兩邊的位錯(cuò)密度差；為各向同性極限下的體剪切模量；b表示伯格矢量的大小。l如果將存在于元胞壁的位錯(cuò)(w)和元胞內(nèi)的位錯(cuò)(i)的貢獻(xiàn)分別表述。(6.7) 221bp(6.8)Dbpsubiwi221,lw只能用亞晶粒尺寸D和亞晶粒壁的界面能sub表述6.6.16.6.1熱力學(xué)模擬熱力學(xué)模擬l(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強(qiáng)或毛細(xì)壓強(qiáng)的

27、貢獻(xiàn)。l對(duì)于常見(jiàn)的晶粒粒度分布和球形晶粒l為23的常數(shù)；為界面能；1/R為曲率。l對(duì)于薄膜，還有來(lái)自表面能梯度的貢獻(xiàn)：l式中，B表示薄膜寬度；h為膜厚；代表表面能變化量。(6.9) Rp(6.10) hBhBdxBdxps22216.6.16.6.1熱力學(xué)模擬熱力學(xué)模擬l(3)在過(guò)飽和態(tài)，對(duì)驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)還有一項(xiàng)化學(xué)貢獻(xiàn)。其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)變稱(chēng)為非連續(xù)沉淀。lkB為波耳茲曼常數(shù)；l為原子體積；lT1為（數(shù)值）實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際溫度；lT0為相應(yīng)于T1時(shí)過(guò)飽和濃度的平衡溫度；c0為濃度。 (6.11) 0010lnccTTkcpB6.6.16.6.1熱力學(xué)模擬熱力學(xué)模擬l(4)其他因素對(duì)總壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)l在總的驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)

28、中，還要考慮冷加工或硬化金屬間化合物中由于損失長(zhǎng)程有序而產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。更進(jìn)一步還應(yīng)當(dāng)考慮來(lái)自于磁性、彈性及溫度場(chǎng)等梯度的貢獻(xiàn)，但是這類(lèi)貢獻(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中意義不大。l(5)可能的反驅(qū)動(dòng)力l雜質(zhì)阻力以及在有序化合金中高角晶界運(yùn)動(dòng)在遠(yuǎn)處產(chǎn)生疇的結(jié)構(gòu)。6.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬l為使原級(jí)再結(jié)晶能夠啟動(dòng)，要在熱力學(xué)、力學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面有一定的不穩(wěn)性。l第一類(lèi)不穩(wěn)定性就是成核，l第二類(lèi)就是有凈驅(qū)力，l第三類(lèi)就是高角晶界的運(yùn)動(dòng)。l在再結(jié)晶過(guò)程中，主要是非均勻成核。l可能成核的格點(diǎn)所處的區(qū)域應(yīng)該具有非常高的位錯(cuò)密度和較小的子晶粒尺寸，以及具有較大的局域晶格取向偏差。l例如：剪切帶、微帶、遷移帶、存

29、在高角晶界、在沉淀周?chē)男巫儏^(qū)等。 6.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬l采用垂直通過(guò)均勻晶界的各向同性單原子擴(kuò)散過(guò)程，則用于描述界面運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)速率方程可以寫(xiě)為：l 表示界面速度；vD是德拜頻率；gb表示通過(guò)界面時(shí)的跳變寬度；c表示平面內(nèi)自擴(kuò)散截體缺陷的固有濃度（如晶界空位或源的重組）；n表示晶界片的法向矢量；Gt是與轉(zhuǎn)變有關(guān)的吉布斯焓; kB為波耳茲曼常數(shù);T為絕對(duì)溫度。TkGGTkGGncvxBtBtgbD2exp2exp(6.12)x6.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬l將焓、熵及驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)帶入式（6.12），則有：lp為驅(qū)動(dòng)力（如儲(chǔ)存的彈性能或界面曲率）；為原子體積；Sf

30、表示形成熵；Hf表示形成焓；Sm表示運(yùn)動(dòng)熵；Hm表示運(yùn)動(dòng)焓。 (6.13)TkpSTHTkpSTHTkHkSnvxBmmBmmBfBfgbD2exp2expexpexp6.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬lSf主要是振動(dòng)熵，而Sm包含有組態(tài)和振動(dòng)兩者的貢獻(xiàn)，則式（6.13）變?yōu)?l考慮到雙曲函數(shù)中的 是個(gè)小量(6.14)TkHHTkpkSSbnvxBmfBBmfDexpsinhexpTkpB(6.15)TkHHTkpkSSbnvxBmfBBmfDexpexp6.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬l晶界遷移率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯象表達(dá)式：l式中，m表示遷移率，Qgb表示晶界

31、運(yùn)動(dòng)的激活能。比較式（6.15）和式（6.16）兩式中的系數(shù)，則有：l晶界運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)圖像。 pTkQnmpmnxBgbexp0(6.16)(6.17)mfgbBmfBHHQkSSTkbvmexp006.6.2 6.6.2 動(dòng)力學(xué)模擬動(dòng)力學(xué)模擬l在原級(jí)再結(jié)晶的初級(jí)階段，局域復(fù)原過(guò)程促進(jìn)了晶核的形成。在其最后階段，位錯(cuò)湮滅及重新排列將引起所儲(chǔ)存能量的不斷降低，從而使局域驅(qū)動(dòng)力明顯減小，最終導(dǎo)致再結(jié)晶速度減慢。l(t)是作為時(shí)間t的函數(shù)的位錯(cuò)密度，0表示形變后的位錯(cuò)密度，為弛豫時(shí)間。 (6.18) ttexp06.6.3 6.6.3 確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法l冷加工金屬中原級(jí)再

32、結(jié)晶模擬的確定性元胞自動(dòng)機(jī)方法。l假定成核和新結(jié)晶晶粒長(zhǎng)大所需驅(qū)動(dòng)力均來(lái)源于局域位錯(cuò)密度的梯度；并且當(dāng)有碰撞時(shí)生長(zhǎng)終止。起始數(shù)據(jù)應(yīng)包括格柵幾何參數(shù)和態(tài)變量取值等信息，例如，溫度、成核概率、晶界遷移率、位錯(cuò)密度和晶體取向。這些數(shù)據(jù)必須能夠描述作為空間函數(shù)的初始微結(jié)構(gòu)的主要特征。 l原級(jí)再結(jié)晶的物理過(guò)程：復(fù)原、成核和晶核生長(zhǎng)。6.6.3 6.6.3 確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法l(1)復(fù)原階段l位錯(cuò)密度與驅(qū)動(dòng)力相聯(lián)系并對(duì)成核速度有潛在的影響。l在簡(jiǎn)單的有限差分公式中，因子f與弛豫時(shí)間、溫度T和時(shí)間ti有關(guān)。 l(2)在成核階段l各元胞或元胞團(tuán)簇由變形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樵俳Y(jié)晶狀態(tài)。(6.19) 2

33、1032121321,TtxxxtTfTtxxxii6.6.3 6.6.3 確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法l根據(jù)所構(gòu)造模型的物理基礎(chǔ)，相對(duì)周?chē)男巫兓w，其晶核取向可有三種情況：l即相同取向l相似取向（g15o）l不同取向（g15o）l相同或相似取向的晶核只能存在于高角晶界，而當(dāng)取向偏差明顯不同時(shí)晶粒會(huì)生長(zhǎng)進(jìn)入近鄰晶粒。 l把這些反映晶粒取向特性的臨界條件，以及產(chǎn)生的晶核應(yīng)與基體有相似取向的規(guī)則結(jié)合起來(lái)，就相當(dāng)于給出一個(gè)取向成核的假說(shuō)。 6.6.3 6.6.3 確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法l(3)生長(zhǎng)階段l在生長(zhǎng)階段，對(duì)于每個(gè)晶粒可執(zhí)行一個(gè)循環(huán)，這個(gè)循環(huán)遍及所有屬于目標(biāo)晶

34、粒表面的元胞，可以確定表面元胞與其非再結(jié)晶近鄰元胞兩者結(jié)晶取向偏差g和溫度T的函數(shù)。l在原級(jí)晶界的情況下，局域驅(qū)動(dòng)力取決于非再結(jié)晶元胞的實(shí)際位錯(cuò)密度。驅(qū)動(dòng)力和遷移率決定著晶界運(yùn)動(dòng)的速度；晶界速度即是指在單個(gè)時(shí)間增量?jī)?nèi)的生長(zhǎng)量。6.6.4 6.6.4 概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法l在概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法中，通過(guò)采用權(quán)重隨機(jī)抽樣方案把確定性積分用統(tǒng)計(jì)積分代替，為此，必須把式（6.15）或式（6.16）分解成確定性部分和概率性部分w，即有：l其中 為晶界速度，并且;(6.20)TkQTkpTmknwxxBgbBBexp00(6.21)x00TmknxBTkQTkpwBgbBexp6.6.

35、4 6.6.4 概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法l模擬應(yīng)是在空間網(wǎng)格上進(jìn)行，其給定標(biāo)度m大于原子尺度。如果有轉(zhuǎn)變現(xiàn)象發(fā)生，則晶粒將按生長(zhǎng)（或收縮），而不是b3，為了校正標(biāo)定尺度l根據(jù)m及時(shí)間標(biāo)度（1/v）可知，對(duì)統(tǒng)計(jì)積分施加這樣一個(gè)頻率是不合適的。利用沖擊頻率v0把上述方程歸一化(6.22)mBmTmkvwvnwxx0wxwvvxwvvvnwxxm000000(6.23)6.6.4 6.6.4 概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法l其中l(wèi) 由網(wǎng)格大小及選取的沖擊頻率決定； 由溫度及實(shí)驗(yàn)輸入數(shù)據(jù)決定。例如，晶界特征性質(zhì)依賴(lài)于取向偏差和平面傾角，驅(qū)動(dòng)力取決于所存儲(chǔ)的彈性能和局域曲率。 00vnxmTkQvpmTkQTkpvvwBgbmBgbBexpexp000(6.24)0 xw6.7 CA6.7 CA方法在材料科學(xué)中的應(yīng)用方法在材料科學(xué)中的應(yīng)用l6.7.1再結(jié)晶的模擬l(1)動(dòng)態(tài)再結(jié)晶過(guò)程HY-100鋼的顯微