追求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解 (2)

1、追求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)案例與反思 【背景分析】圓的認(rèn)識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中非常傳統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)容，許多名家將它作為典型研究課例，以不同視角作過精彩演繹。朱樂平老師巧用“臉部整圓術(shù)”教學(xué)圓的知識(shí)，利用兩課時(shí)的時(shí)間讓學(xué)生逐步感知圓的特征；潘小明老師創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)中投圈是否公平這一問題情境，展開對(duì)圓的探索；張齊華老師運(yùn)用數(shù)學(xué)文化的視角為圓的認(rèn)識(shí)打開另一片天空。其實(shí)對(duì)于圓的認(rèn)識(shí)這樣一節(jié)研究課，已經(jīng)被上課者挖掘得非常徹底了，甚至于老師們欣賞圓的認(rèn)識(shí)這節(jié)課也已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的水準(zhǔn)了。我們知道，圓的科學(xué)定義是：在平面內(nèi)，到達(dá)一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓。但是很少人嘗試著從圓的本質(zhì)屬性出發(fā)，教學(xué)圓的認(rèn)

2、識(shí)。所以我嘗試著從圓的本質(zhì)屬性出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生用“點(diǎn)的軌跡”的思想去感悟、體驗(yàn)和理解圓的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)深入淺出的教學(xué)圓的認(rèn)識(shí)。所以我提出了對(duì)圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)的幾點(diǎn)思考：1、教學(xué)圓的特征時(shí)，能否在小學(xué)階段就讓學(xué)生領(lǐng)悟 “圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”這一本質(zhì)特征，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和今后有效發(fā)展鋪設(shè)奠基石？、探究圓的特征時(shí)，除了借助探究材料和有效的實(shí)踐操作，是否可以利用想象、推理有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考方式來學(xué)習(xí)圓的特征？、圓具有深厚的文化內(nèi)涵，是否可以將圓的文化融合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化水乳相溶，使數(shù)學(xué)課堂顯得豐滿而圓潤(rùn)？【過程描述】一、課前游戲：師：在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)看誰畫的點(diǎn)多。規(guī)則：

3、先在白紙上畫一個(gè)點(diǎn)，然后再畫一些點(diǎn)，要求到第一個(gè)點(diǎn)的距離都是3厘米。師：如果有時(shí)間給你畫，你能畫多少個(gè)點(diǎn)？生：可以畫無數(shù)個(gè)點(diǎn)。師：這些點(diǎn)將會(huì)成為什么圖形？生：圓形。師：我能在很短的時(shí)間內(nèi)畫無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)。你信嗎？ （老師用圓規(guī)將圖畫成圓形，板書課題：圓的認(rèn)識(shí)）二、教學(xué)新課師：你能把剛才自己畫的那幅圖補(bǔ)充成圓形嗎？師：這是我們第一次用圓規(guī)畫圓，你覺得哪兒最容易出問題？生：圓畫到最后可能會(huì)合不攏。師：為什么會(huì)合不攏？是什么原因呢？生：圓規(guī)兩只腳忽大忽小就會(huì)這樣。師：就是說圓規(guī)兩只腳距離不能改變。還有其他情況嗎？生：也有可能針尖動(dòng)了，也會(huì)畫不圓。師：針尖也不能動(dòng)，看來我們要把重心放在針尖這一邊，固定

4、好兩腳尖的距離，旋轉(zhuǎn)一周后就可以得到圓形，這些都是畫圓的技巧。師：同學(xué)們，看到這個(gè)圓，讓你聯(lián)想到生活中的哪些物體？生：硬幣、月餅、鐘面生：籃球師：真是很厲害，能把平面圖型想象成立體圖形，不過老師要告訴你，球形與圓形還是有很大區(qū)別的。能說完嗎？老師也帶來了一些。瞧?。利惖膱A形圖片）就連大自然對(duì)圓也是情有獨(dú)鐘！（欣賞美麗的光環(huán)、綻放的向日葵等）師：圓美嗎？生：美！師：難怪古希臘有位數(shù)學(xué)家說：“在一切平面圖形中，圓是最美的?！睅煟簣A看似簡(jiǎn)單其實(shí)一點(diǎn)也又不簡(jiǎn)單！在圓里，還隱藏著許多數(shù)學(xué)知識(shí)！三、圓的各部分名稱與圓的特征師：在這個(gè)圓里，中間的這個(gè)點(diǎn)叫圓心，用字母O表示，你還知道哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？生：半徑。

5、師：能上來畫一條半徑嗎？（生上來畫半徑）還有哪些知識(shí)？生：直徑。師：請(qǐng)你也上來畫一條，好嗎？（生上來畫直徑）師：用自己的話說一說什么是半徑？生：圓心到圓邊的線段。師：圓邊在數(shù)學(xué)上叫做圓上。那什么叫做直徑呢？生：路過圓心，兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段叫直徑。師：這只是我們感性的認(rèn)識(shí)，要想得到更科學(xué)的概念，我們還得請(qǐng)教書本。（自學(xué)書本第135頁找到半徑與直徑的概念，并讀一讀。）師：半徑是連接圓心到原上任意一點(diǎn)的線段，這“任意一點(diǎn)”你是怎么理解的？生：就是隨便哪一點(diǎn)都可以，圓上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，取一個(gè)點(diǎn)就可以。師：現(xiàn)在請(qǐng)你在自己的圓內(nèi)標(biāo)出圓心，并畫一條半徑。師：你還能畫多少條半徑（繼續(xù)畫）？畫的完嗎？生：畫不完，

6、有無數(shù)條？師：你是怎么想的？生：因?yàn)閳A上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數(shù)條半徑。師：量一量這些半徑的長(zhǎng)度，相等嗎？生：半徑長(zhǎng)度都相等，都是厘米師：你量了幾條半徑？生：我量了條。師：憑什么說半徑長(zhǎng)度都相等。生：我們可以通過測(cè)量半徑是厘米，而剛才的游戲規(guī)則就是要求每個(gè)點(diǎn)到到圓心的距離是厘米。生：我還可以用圓規(guī)來量（用圓規(guī)在圓上走一圈），兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等。師：掌聲還在等什么？（眾生鼓掌）師：現(xiàn)在我們已經(jīng)研究了半徑的特征，現(xiàn)在可否想象一下直徑有多少條，長(zhǎng)度都相等嗎？生：直徑也有無數(shù)條，長(zhǎng)度都相等。師：直徑有無數(shù)條，我們可以借助半徑有無數(shù)條類比推理。那么直徑長(zhǎng)度都相等，你

7、是怎么知道的呢？生：可以借助測(cè)量半徑的經(jīng)驗(yàn)，測(cè)的所有直徑的長(zhǎng)度都是厘米。生：還可以看出直徑是半徑的兩倍，半徑都相等，直徑肯定都相等。師：直徑是半徑的倍，你是怎么知道的？生：直徑可以分成條半徑呀？師：真不錯(cuò)，半徑和直徑的關(guān)系的秘密竟一眼被你看出來了。不過呆會(huì)兒我們還要用多種方法來證明。（半徑與直徑的辨析練習(xí)。教師適時(shí)點(diǎn)出圓內(nèi)、圓外、圓上等名詞）師：拿出圓形紙片，怎樣可以找到圓心的位置？（學(xué)生操作，指導(dǎo)）師：這個(gè)同學(xué)用眼自信的找到了圓心，你們覺得對(duì)嗎？生：一看就知道圓心位置找偏了。師：那該用什么方法來確定圓心的位置？生：對(duì)折再對(duì)折的方法可以找到圓心。師：所以我們還需要用更方便、更科學(xué)的方法尋找圓心

8、。師：同桌合作，通過折一折、量一量、比一比的方法研究圓的半徑與直徑的關(guān)系？并說明你是用什么方法來證明？生：我是量一量的方法，半徑是厘米，直徑厘米，所以直徑是半徑的倍。師：用測(cè)量法證明，直徑是半徑的倍，還可以說半徑是直徑的二分之一。生：比一比的方法，一條直徑可以看成條半徑，所以直徑是半徑的倍。師：用觀察法證明，很不錯(cuò)。還有其他方法嗎？生：我是用折一折的方法，對(duì)折以后有一條直徑，再對(duì)折變成了條半徑，所以直徑是半徑的倍。師：太了不起了，如此抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，在你們的手里竟如此簡(jiǎn)單地迎刃而解了。師：難道圓規(guī)僅僅只能畫半徑是厘米的圓嗎？我想畫的更大些，怎么辦？生：圓規(guī)的兩角距離拉大。拉到厘米。（師畫了一個(gè)

9、同心圓）師：還能再大嗎？（能）能比厘米小一些嗎？（能）師：什么決定了圓的大??？（半徑）師：這兩個(gè)圓雖然大小不同，什么是相同的？（指出數(shù)學(xué)上稱為同心圓）師：剛才得出結(jié)論半徑都相等，這兩條半徑相等嗎？（不相等）看來剛才的結(jié)論還需要增加一個(gè)條件。（同圓、等圓內(nèi)）。師：我想到其他的位置畫圓，該怎么辦？是什么決定圓的位置？（圓心）四、鞏固拓展師：周髀算經(jīng)里有這么一句話“圓出于方，方出于矩”，所謂“圓出于方”就是說最初的圓并不是由圓規(guī)畫成的，而是由正方形不斷的切割而成的。如果告訴你正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，你能知道圓的半徑與直徑嗎？生：半徑是厘米，直徑厘米。師：到現(xiàn)在美術(shù)老師還會(huì)用這種方法教我們畫圓。其實(shí)關(guān)

10、于對(duì)圓的研究，何止只有一部周髀算經(jīng)呢？二千多年前，我國(guó)古代思想家墨子就提出：圓，一中同長(zhǎng)也。你知道一中什么意思？（一個(gè)圓心）同長(zhǎng)呢？（半徑同樣長(zhǎng)，直徑同樣長(zhǎng)）這個(gè)發(fā)現(xiàn)比西方整整早了1000多年。你們感到自豪嗎？師：體育老師想在操場(chǎng)上畫一個(gè)比較大的圓，難道還用圓規(guī)？生：畫個(gè)正方形，再切割成圓。師：活學(xué)活用呀，不過太麻煩了。生：用繩子固定在圓心。另一邊旋轉(zhuǎn)就可以畫圓了師：老師就準(zhǔn)備了這樣的釘繩工具，你們倆上來畫一個(gè)圓，好嗎？（生畫圓）師：這些方法與圓規(guī)畫圓的方法有什么共同的地方？生：圓心固定不動(dòng)。有一個(gè)固定長(zhǎng)度，不能發(fā)生改變。師：真是了不起，“沒有圓規(guī)，也成方圓?！睅煟鹤孕熊囕喿訛槭裁催x用圓形，而

11、不選用三角形與正方形？生：用圓形沒有阻力，三角形與正方形有棱有角的，不好滾。師：難道用圓形做輪子就可以嗎？（課件演示車軸在圓心和不在圓心的兩種情況）生：車軸應(yīng)該安在圓心，這樣所有的半徑都相等，車子就會(huì)平穩(wěn)。師：原來車輪里也蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)知識(shí)。巧妙地利用了同一個(gè)圓里所有半徑都相等這一特征，所以車子跑起來又快又穩(wěn)。五、課堂總結(jié)（略）【自我反思】 整堂課以圍繞感知、體驗(yàn)和深化圓的本質(zhì)屬性的學(xué)習(xí)框架而展開。游戲環(huán)節(jié)以初步感知圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；畫圓環(huán)節(jié)以體驗(yàn)圓是確定固定長(zhǎng)度（半徑）圍繞固定點(diǎn)（圓心）旋轉(zhuǎn)一周形成的封閉圖形；練習(xí)環(huán)節(jié)在多樣的畫圓方法中，提煉出畫圓的共同點(diǎn)，深刻理解圓的本質(zhì)屬性。

12、我引領(lǐng)學(xué)生用“點(diǎn)的軌跡”思想學(xué)習(xí)圓的本質(zhì)屬性，得到了成功的嘗試，總結(jié)起來有以下幾點(diǎn)體會(huì)：一、返樸歸真用數(shù)學(xué)的本質(zhì)魅力來吸引學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與欲望，但最終能夠真正持久地吸引學(xué)生的是數(shù)學(xué)的本質(zhì)魅力，它才是維系學(xué)生不懈學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源泉。課堂上我沒有創(chuàng)設(shè)情境，但學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中投入了極大的熱情，這股熱情源于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身魅力的吸引，源于對(duì)數(shù)學(xué)思考的挑戰(zhàn)，源于對(duì)數(shù)學(xué)真理的追求。為什么“在白紙畫一個(gè)點(diǎn)，然后再畫一些點(diǎn)，要求到第一個(gè)點(diǎn)的距離都是3厘米?！毙纬傻膱D形會(huì)接近于圓形？而當(dāng)有無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)就會(huì)形成一個(gè)圓形，究竟里面隱藏著怎樣的奧秘？是數(shù)學(xué)的本身魅力吸引著學(xué)生。更重要的是，利用這樣一

13、個(gè)畫點(diǎn)平臺(tái)，用圓規(guī)將它補(bǔ)充成一個(gè)圓的時(shí)候，半徑與直徑的特征就在潛移默化中悄悄解決了?！盀槭裁磮A有無數(shù)條半徑？” “因?yàn)閳A上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數(shù)條半徑?！薄盀槭裁此械陌霃降拈L(zhǎng)度都相等？”“我們剛才的游戲就是要求每個(gè)點(diǎn)到到圓心的距離是厘米。” “我還可以用圓規(guī)在圓上走一圈，兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等?！笨此品浅：?jiǎn)單的畫點(diǎn)游戲，卻蘊(yùn)含了深刻的哲理圓的本質(zhì)屬性：圓就是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。二、數(shù)學(xué)思考有效操作最終為思維的深刻性服務(wù)數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)操作有利于學(xué)生數(shù)學(xué)的思考，但是操作僅僅是作為學(xué)習(xí)的手段，把它作為“拐杖”，最終實(shí)現(xiàn)操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化。按照皮亞杰的觀

14、點(diǎn)，在操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化的過程要讓學(xué)生積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，再在這個(gè)基礎(chǔ)上作反省抽象，從而認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)內(nèi)涵。所以教師要引導(dǎo)邊操作、邊思考，逐漸在頭腦中建立一定的數(shù)學(xué)模型，最終使他們能夠脫離操作進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)。圓的半徑有無數(shù)條這一特征，假如想利用操作理解這一特征實(shí)在很抽象，但是借助畫點(diǎn)這一有效操作手段建立一個(gè)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，再通過有效操作后的合理想象，比較容易得出圓有無數(shù)條半徑，以此類推出圓的直徑有無數(shù)條也是水到渠成。同時(shí)在解決半徑與直徑之間的關(guān)系時(shí)，通過測(cè)量法、觀察法、折疊法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，我們?cè)诓僮鲿r(shí)只研究了一條直徑與對(duì)應(yīng)的兩條半徑存在的倍數(shù)關(guān)系，但是借助不斷的想象與推理，以此類推：任何

15、一條直徑都有與之相對(duì)應(yīng)的兩條半徑，最終得出一條直徑等于兩條半徑。可以說，此時(shí)的操作并不是主要學(xué)習(xí)的手段，反而數(shù)學(xué)的思考想象、推理成為學(xué)習(xí)圓的特征主要學(xué)習(xí)方式。這些有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，越來越顯現(xiàn)出其重要的地位與作用。三、文化底蘊(yùn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化有機(jī)融合數(shù)學(xué)史料是不僅僅只作為課堂教學(xué)的一種點(diǎn)綴，更重要的是通過學(xué)習(xí)內(nèi)容的融合中品味其中的含義，用于鞏固、深化和拓展對(duì)圓的知識(shí)。課始，在簡(jiǎn)單而抽象的圓中展開想象：圓讓你聯(lián)想到生活中的什么物體，老師適時(shí)地呈現(xiàn)收集到的精美圖片，然后引用古希臘數(shù)學(xué)家的一句話：“在一切平面圖形中，圓是最美的?！庇辛诉@樣的一種親身體驗(yàn)美的過程，對(duì)圓的思考與研究就添加了有效的催化劑。周髀算經(jīng)關(guān)于圓的記載：圓出于方，方出于矩。最初畫圓并不是由用圓規(guī)畫的，而是由正方形不斷的切割而成的。事實(shí)上，這種方法至今仍在沿用，美術(shù)老師還會(huì)用這種方法教我們畫圓，進(jìn)一步思考，如果正方形的邊長(zhǎng)是厘米，你能想到圓的直徑與半徑的長(zhǎng)度嗎？在默默學(xué)習(xí)古人畫圓方法的過程中，體會(huì)到原來自己美術(shù)課上畫圓的方法也有這樣一段美麗