(完整版)8-4-1_統(tǒng)籌規(guī)劃.題庫教師版.doc

1、8-4統(tǒng)籌規(guī)劃8-4.統(tǒng)籌規(guī)劃.題庫教師版page 14 of 19削M蚱 教學目標1 .掌握合理安排時間、地點問題2 .掌握合理布線和調(diào)運問題.mEM1咚知識點撥知識點說明：統(tǒng)籌學是一門數(shù)學學科，但它在許多的領域都在使用，在生活中有很多事情要去做時，科學的安排好 先后順序，能夠提高我們的工作效率.我國著名數(shù)學家華羅庚教授生前十分重視數(shù)學的應用，并親自帶領 小分隊推廣優(yōu)選法、統(tǒng)籌法，使數(shù)學直接為國民經(jīng)濟發(fā)展服務，他在中學語文課本中，曾有一篇名為統(tǒng) 籌原理的文章詳，細介紹了統(tǒng)籌方法和指導意義.運籌學是利用數(shù)學來研究人力、物力的運用和籌劃， 使它們能發(fā)揮最大效率的科學。它包含的內(nèi)容非常廣泛，例如物

2、資調(diào)運、場地設置、工作分配、排隊、對 策、實驗最優(yōu)等等，每類問題都有特定的解法。運籌學作為一門科學，要運用各種初等的和高等的數(shù)學知 識及方法，但是其中分析問題的某些樸素的思想方法，如高效率優(yōu)先的原則、調(diào)整比較的思想、嘗試探索 的方法等，都是我們小學生能夠掌握的。這些來源于生活實際的問題，正是啟發(fā)同學們學數(shù)學、用數(shù)學最 好的思維鍛煉題目。本講主要講統(tǒng)籌安排問題、排隊問題、最短路線問題、場地設置問題等。這些都是人們?nèi)粘Ｉ?、?作中經(jīng)常碰到的問題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是這講涉及的問題?！肮?jié)省跑空車的距離”是物資調(diào)運問題的一個原則?！鞍l(fā)生對流的調(diào)運方案”不可能是最優(yōu)方案?！?/p>

3、小往大靠，支往干靠”且M住 例題精講板塊一、合理安排時間【例1】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘（正面、反面各1分鐘）.問：煎3張餅需幾分鐘？怎樣煎？【解析】因為這只平底鍋上可煎兩只餅，如果只煎1個餅，顯然需要2分鐘；如果煎2個餅，仍然需要2分鐘；如果煎3個餅，所以容易想到：先把兩餅一起煎，需 2分鐘；再煎第3只，仍需2分鐘， 共需4分鐘，但這不是最省時間的辦法.最優(yōu)方法應該是：首先煎第1號、第2號餅的正面用1分鐘；其次煎第1號餅的反面及第3號餅的正面又用1分鐘；最后煎第2號、第3號餅的反面 再用1分鐘；這樣總共只用 3分鐘就煎好了 3個餅.（因為每只餅都有正反兩面，3只

4、餅共6面，1分鐘可煎2面，煎6面只需3鐘.）【鞏固】（2000年小學生數(shù)學報數(shù)學邀請賽 ）烙餅需要烙它的正、反面，如果烙熟一塊餅的正、反面， 各用去3分鐘，那么用一次可容下 2塊餅的奉來烙21塊餅，至少需要多少分鐘？【解析】先將兩塊餅同時放人鍋內(nèi)一起烙，3分鐘后兩塊餅都熟了一面，這時取出一塊，第二塊翻個身，再放人第三塊，又烙了 3分鐘，第二塊已烙熟取出，第三塊翻個身，再將第一塊放入烙另一面，再烙3分鐘，鍋內(nèi)的兩塊餅均已烙熟.這樣烙 3塊餅，用去9分鐘，所以烙21塊餅，至少用 21 3 9 63（分鐘）.【鞏固】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘（正面、反面各1分鐘）.問：煎

5、2009張餅需幾分鐘？【解析】我們歸納出煎1、2、3個餅分別需要2、2、3分鐘，我們可以繼續(xù)往下分析，煎4個餅最少需要4分鐘，煎5個餅需要3 2 5分鐘，煎6個餅需要6 2 2 6分鐘，煎7個餅需要3 4 2 2 7 分鐘，那么煎2009個餅至少需要2009分鐘.【例2】 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要 15分鐘，洗臟衣服的領子、袖口要10分鐘，打開全自動洗衣機洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這些事情最少用多長時間？【解析】如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要 95分鐘。要想節(jié)約時間，就要想想在哪段時間 里閑著，能否利用閑著的時間做其它事。最合理的安

6、排是：先洗臟衣服的領子和袖口，接著打開全自動洗衣機洗衣服， 在洗衣服的40分鐘內(nèi)擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需60分鐘（見 卜圖）。洗領、袖.洗表機洗衣服聰衣服-IQ '如一產(chǎn)擦玻璃【鞏固】 小明在家的一面墻上貼獎狀，一共有 32張，給一張獎狀涂滿膠水需要2分鐘，涂完膠水后要過2分鐘才能往墻上貼，貼的過程需要1分鐘，但是如果等待超過6分鐘的話膠水就會干掉不能再 貼，問：小明最快用多長時間能貼完所有的獎狀？【解析】用最短時間貼完所有的獎狀就相當于問如何最節(jié)省時間，這道題目應該從反面來考慮：時間如果 浪費了，會浪費在等待上，也就是說如果不想浪費時間，我們最需要做的就是不能等待.那么可

7、以試驗一下，當?shù)谝粡埅劆钔客甑臅r候，這時候不能貼也不能等那么就只能繼續(xù)涂下一張，等第 二張涂完了就可以繼續(xù)貼，但是這樣下去到了最后一張的時候還是需要等待膠水可以粘貼的一段時間.那么繼續(xù)試驗先涂第一張 A然后涂B,然后涂C,這時候A等待了 4分鐘馬上貼上，再涂一張D 馬上貼上已經(jīng)等待了 5分鐘的B,再涂一張E貼上已經(jīng)等待 6分鐘的C （題目中說等待超過 6分 鐘就不可以，那么等于六分鐘應是可以的）這樣一直下去，會使每一張獎狀花費的時間就只有涂的 2分鐘和貼的1分鐘， 那么總時間是96分鐘.【例3】 小明騎在牛背上趕牛過河.共有甲、乙、丙、丁 4頭牛.甲牛過河需要 1分鐘，乙牛過河需要 2分鐘，丙

8、牛過河需要 5分鐘，丁牛過河需要 6分鐘.每次只能趕兩頭牛過河，那么小明要把 這4頭牛都趕到對岸，最小要用多少分鐘？【解析】要想用最少的時間，4頭牛都能過河，保證時間最短：第一步：甲與乙一起過河，并由小明騎甲牛返回，共用：2 1 3（分鐘）；第二步：返回原地的小明再騎丙與丁過河后再騎乙牛返回，共用了6 2 8（分鐘）；第三步：最后小明騎甲與乙一起過河用了2分鐘；所以，小明要把這 4頭牛都趕到對岸，最小要用 3 8 2 13（分鐘）.【例4】 有四個人在晚上準備通過一座搖搖欲墜的小橋.此橋每次只能讓2個人同時通過，否則橋會倒塌.過橋的人必須要用到手電筒，不然會一腳踏空.只有一個手電筒.4個人的行

9、走速度不同：小強用1分種就可以過橋，中強要 2分中，大強要5分中，最慢的太強需要 10分中.17分鐘 后橋就要倒塌了.請問：4個人要用什么方法才能全部安全過橋？【解析】 小強和中強先過橋，用2分鐘；再用小強把電筒送過去， 用1分鐘，現(xiàn)在由大強跟太強一起過橋，用10分鐘，過去以后叫中強把電筒送給小強用2分鐘，最后小強與中強一起過河再用2分鐘，他們一起用時間：2 1 10 2 2 17（分鐘），正好在橋倒塌的時候全部過河.（時間最短過河的原則是：時間長的一起過，時間短的來回過.這樣保證總的時間是最短的）.【例5】 有一家五口人要在夜晚過一座獨木橋.他們家里的老爺爺行動非常不便，過橋需要12分鐘；孩

10、子們的父親貪吃且不愛運動，體重嚴重超標，過河需要時間也較長，8分鐘；母親則一直堅持勞作，動作還算敏捷，過橋要 6分鐘；兩個孩子中姐姐需要 3分鐘，弟弟只要1分鐘.當時正 是初一夜晚又是陰天，不要說月亮，連一點星光都沒有，真所謂伸手不見五指.所幸的是他們 有一盞油燈，同時可以有兩個人借助燈光過橋.但要命的燈油將盡，這盞燈只能再維持 30分鐘了！他們焦急萬分，該怎樣過橋呢？【解析】 首先姐姐跟弟弟一起過， 用時3分鐘，姐姐再回去送油燈， 用時3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過河，用時12分鐘，弟弟將燈送回去，用時 1分鐘，弟弟和母親一起過，用時 6分鐘，弟弟送燈過河，用時1分鐘，最后與姐姐一起過河， 用時

11、3分鐘.一共用時：3 3 12 1 6 1 3 29（分鐘）.最 后能夠安全全部過河.【鞏固】（迎春杯試題）小強、小明、小紅和小蓉4個小朋友效游回家時天色已晚，他們來到一條河的東岸，要通過一座小木橋到西岸，但是他們4個人只有一個手電筒，由于橋的承重量小，每次只能過2人，因此必須先由 2個人拿著手電筒過橋，并由 1個人再將手電筒送回，再由 2個人拿 著手電筒過橋直到 4人都通過小木橋.已知，小強單獨過橋要1分鐘；小明單獨過橋要 1.5分鐘；小紅單獨過橋要 2分鐘；小蓉單獨過橋要 2.5分鐘.那么，4個人都通過小木橋，最少要 多少分鐘？【解析】方法一：要想用最少的時間，4人都通過小木橋，可采用讓過

12、橋最快的小強往返走，將手電筒送回，這樣就能保證時間最短了.第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用： 1.5 1 2.5（分鐘）；第二步：返回原地的小強與小紅過橋后再返回，共用了 2 1 3（分鐘）；第三步：最后小強與小蓉一起過橋用了2.5分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用 2.5 3 2.5 8（分鐘）.方法二：要想用最少的時間，4人都能過橋，保證時間最短還可以：第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用： 1.5 1 2.5（分鐘）；第二步：返回原地的小紅與小蓉過橋后再由小明帶手電返回，共用了 2.5 1.5 4（分鐘）；第三步：最后小強與小小明一起過橋用了1

13、.5分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用 2.5 4 1.5 8（分鐘）.【例6】 有甲、乙兩個水龍頭，6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘.怎么安排這 6個人打水，才能使他 們等候的總時間最短，最短的時間是多少？【解析】一人打水時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓打水所需時間少的人先打.安排需3分鐘的，然后5分鐘的，最后7分鐘的在甲水龍頭打；安排需 4分鐘的，然后6分鐘的，最后 10分鐘的在乙水龍頭打； 在甲水龍頭3分鐘的人打時，有2人等待，占用三人的時間和為（3 3） 分；然后，需 5分鐘的人打水，

14、有1人等待，占用兩人的時間和為 （5 2）分；最后，需7分鐘 的人打水，無人等待.甲水龍頭打水的三個人，共用 （ 3 3 5 2 7）分，乙水龍頭的三人，共用 （ 4 3 6 2 10）分.總的占用時間為（分）.【鞏固】6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是 5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘.現(xiàn)在只有這一個水龍頭可用，問怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時間最短？這個最短時間是多少？【解析】第一個人接水時，包括他本人在內(nèi)，共有6個人等候，第二個人接水時，有 5個人等候；L L第6個人接水時，只有他 1個人等候.可見，等候的人越多 （一開始時

15、），接水時間應當越短，這樣 總的等候時間才會最少，因此，應當把接水時間按從少到多順序排列等候接水，這個最短時間是 3645546372 10 100（分）.【鞏固】 理發(fā)室里有甲、乙兩位理發(fā)師，同時來了五位顧客，根據(jù)他們所要理的發(fā)型，分別需要10、12、15、20和24分鐘，怎樣安排他們理發(fā)的順序，才能使這五人理發(fā)和等候所用時間的總和最少？ 最少時間為多少？【解析】一人理發(fā)時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓理發(fā)所需時間少的人先理.甲先給需10分鐘的人理發(fā)，然后 15分鐘的，最后 24分鐘的；乙先給需 12分鐘的人理發(fā)，然后 20分 鐘的，甲給需10分鐘的人理發(fā)時，有 2人等待，占用

16、三人的時間和為 （10 3）分；然后，甲給需 15分鐘的人理發(fā)，有1人等待，占用兩人的時間和為 （15 2）分；最后，甲給需 24分鐘的人理 發(fā)，無人等待.甲理發(fā)的三個人，共用（10 3 15 2 24）分，乙理發(fā)的兩個人，共用（12 2 20） 分.總的占用時間為 （10 3 15 2 24） （12 2 20） 128（分）.【例7】（101培訓試題）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障，已知第一臺到第五臺修復時間依次為18, 30,17, 25, 20分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失5元.現(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工， 怎樣安排才能使得經(jīng)濟損失最少？怎樣安排才能使從開始維修到維修結(jié)束歷時最短

17、？【解析】一人修17、20、30,另一人修18、25 ;最少的經(jīng)濟損失為：5 （17 3 20 2 30 18 2 255910（元）. 因為（18 30 17 25 20） 2 55（分），經(jīng)過組合，一人修需 18, 17和20分鐘的三臺，另一人彳需30和25分鐘的兩臺，修復時間最短，為 55分鐘.【例8】（三帆中學入學考試試題）設有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一 個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要 2分鐘，.如此下去，當只有兩個水龍頭時, 如何巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少？最少的時間是多少？【解析】要想總的時間最少，應該安排打水時間少的人先來

18、打水，下面給出排隊方式:品-個小花為第S小毒生第一個12第二個34葬三個6第0個13策壬個10顯然計算總時間時，1、2計算了 5次，3、4計算了 4次，5、6計算了 3次，7、8計算了 2次,9、10 計算了 1 次.所以有最短時間為(12)5 (34)4(56)3 (78)2(910)1 125分鐘.例9【解析】我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡化.從A到。有兩條路，A-C一。用6分鐘，A一 F-O（小學數(shù)學報試題）右圖是一張道路示意圖，每段路上的數(shù)字表示小明走這段路所需要的時間 （單位：分）.小明從用7分鐘，排除后者，可將 FO抹去，但AF不能抹去，因為從 A到B還有其它路線經(jīng)過 AF,簡

19、 化為圖.從A到E還剩兩條路，A-C-G - E用12分鐘，A-C-O-E用10分鐘，排除前者， 可將CG, GE抹去，簡化為圖.從 A到D還剩兩條路，A一C一O一D用12分鐘，A-H - D用 13分鐘，排除后者，可將 AH, HD抹去，簡化為圖.從 A到B還剩兩條路，A-C-O-E-B 用17分鐘，A-C一。一 D-B用16分鐘，排除前者，可將 OE, EB抹去，簡化為圖.小明按 A一C一O一D-B走最快，用16分鐘. (4)【鞏固】（十一學?？碱}）下圖為某三岔路交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A,B, C的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中 xi, X2, X3分別表示該時段單位

20、時間通過路段 AB, BC, CA 的機動車輛數(shù)（假設：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），問：Xi , X2, X3的大小關(guān)系.Xix3 55 50 x3 5, x2X120 30x110, %x235 30x25,所以x2x3x1【例10】 某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自行車速度快，但乘公共汽車有一個等候時間（候車時間可以看成是固定不變的），在任何情況下，他總是采用時間最少的最佳方案.下表表示他到達 A、B、C三地采用最佳方案所需要的時間.為了到達離住地8千米的地方，他需要花多少時間？并簡述理由目如t目的貶

21、住地府程A電r 土刊12分鐘Bit氏5硼eft坦分鐘【解析】顯然A、B兩地所需時間與路程不成比例，所以不可能為A、B兩地均為騎自行車. .如果A、B兩地均采用公共汽車，那么到達B地比A地多1千米，多用15.512 = 3.5分鐘,即公共汽車行1千米需3.5分鐘，則等候時間為 12 2X3.5 =5分鐘.當達到A、B兩個較短的路程都采用公共汽車，那么到達C地采用的方式一定也是公共汽車，于是所需時間為4X3.5+5 =19分鐘，與題中條件不符，所以開始假設不成立； .所以只能是到達 A采用自行車，到達 B采用公共汽車，則 C地采用的也是公共汽車.由C地比B地多1千米，多18 15.5 = 2.5分

22、鐘，那么行 3千米所需時間為 3 X2.5 = 7.5分鐘，等候時間為15.5 7.5 =8分鐘.那么行至 8千米的路程及等候時間為8X2.5+8 =28分鐘.板塊二、合理安排地點【例11如圖，在街道上有 A、B、C、D、E、F六棟居民樓，現(xiàn)在設立一個公交站，要想使居民到達車 站的距離之和最短，車站應該設在何處？ *«*ABCDEF【解析】 找最中間的那棟樓，可這時最中間的樓有兩個，這該怎么辦呢？其實經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，建在這兩個 樓都一樣，路程和最短，所以可以建在C或D .如果我們只要求建在這條道路上的一點即可，那么CD之間及點C、D均可.【鞏固】 如圖，在街道上有 A、B、C、D、E五

23、棟居民樓，為使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車 站應立于何處？*ABCDE【解析】條件中只有五個樓的名字和排列順序，樓與樓的距離也不確定.那么我們先來分析一下A、E兩個點，不論這個車站放在 AE之間的那一點，A到車站的距離加上 E到車站的距離就是 AE的長 度，也就是說車站放在哪兒不會影響這兩個點到車站的距離之和；那么我們就使其他的3個點到車站的距離之和最短，再看為了使B、D兩個到車站的距離之和小，應把車站放在BD之間.同理，只要是在 BD之間，B、D到車站的距離之和也是不變的，等于 BD.最后，只需要考慮 C點 到車站的距離最近就行了 .那么當然也就是把車站放在C點了.這里就體現(xiàn)了一個“

24、向中心靠攏的思想”.【鞏固】 有1993名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務后應該在公路的什么地點 集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最?。俊窘馕觥坑捎?993數(shù)目較大，不易解決.我們先從人數(shù)較小的情況入手.當只有2個人時，設2人宣傳崗位分別為 A1和A2 （如上圖），顯然集合地點選在 A1點或A2點或者A1A2之間的任何一個地點都可以.因為由A1、A2出發(fā)的人走過的路程總和都等于A1A2 .EC當有3個人時，則集合地點應該選在A2點（如上圖）.因為若集合地點選在 A1A2之間的B點,那時3個人所走的路程總和是 A1B+A2B+A3B= （A1B+A

25、3B ） +A2B=A1A3+A2B;若集合地點選在A2A3 之間的 C點，那時 3個人所走的路程總和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3c ）+A2C=A1A3+A2c ;而集合地點選在 A2點時，3個人所走路程總和僅是 A1A3 .當然 A1A3 比 A1A3+A2B 及 A1A3+A2c 都小.%強 與 為1L211當有4個人時，由于集合地點無論選在A1A4之間的任何位置，對 A1、A4崗位上的人來說，這2人走的路程和都是 A1A4 （如上圖）.因此，集合地點的選取只影響A2、A3崗位上的人所走的路程，這就是說，問題轉(zhuǎn)化為“2個人站在A2和A3崗位的情形”.根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知

26、，集合地點應選在 A2或A3或者A2A3之間任何地點.當有5個人時，類似地可把問題轉(zhuǎn)化為“3個人站在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖）根據(jù)已討論的結(jié)論可知，集合地點應選在A3點.）1 5 % %依此遞推下去，我們就得到一個規(guī)律：當有偶數(shù)（2n）個人時，集合地點應選在中間一段AnAn+1 之間的任何地點（包括An和An+1點）；當有奇數(shù)（2n+1 ）個人時，集合地點應選在正中間崗位An+1點.本題有1993=2 X996+1 （奇數(shù)）個人，因此集合地點應選在從某一端數(shù)起第997個崗位處.【例12如圖，在街道上有 A、B、C、D、E五棟居民樓，每棟樓里每天都有20個人要坐車，現(xiàn)在設立一個公交站

27、，要想使居民到達車站的距離之和最短，應該設在何處？e*«*ABCDE【解析】如果不考慮樓里坐車的人數(shù)，應該把車站放在C點.因為每棟樓的人數(shù)相同所以數(shù)量不影響選擇，所以答案不影響，應該把車站放在C點.【例13】在一條公路上每隔100千米，有一個倉庫（如圖）共有5個倉庫，一號倉庫存有 10噸貨物，二號 倉庫有20噸貨物，五號倉庫存有 40噸貨物，其余兩個倉庫是空的.現(xiàn)在想把所以的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1公里需要0.5元運輸費，那么最少要多少運費才行？一 二三四五IIIIIIIIII10噸20噸40噸【解析】做此類問題時我們都可以根據(jù)“小往大處靠”的原則進行判斷，觀察可

28、知五號倉的最大，所以先把一號倉庫的10噸貨物往五號方向靠攏，先集中到二號倉庫，那么現(xiàn)在二號倉庫中就有30噸貨物了.再根據(jù)“小往大處靠”的原則，那么這30噸貨物應該集中到五號倉庫中.所以所需的費用是：10 0.5 100 500（元），30 0.5 300 4500（元），共需要：500 4500 5000（元）.【鞏固】（人大附中分班考試題）在一條公路上，每隔 10千米有一座倉庫（如圖），共有五座，圖中數(shù)字表 示各倉庫庫存貨物的重量.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要運費0.9元，那么集中到哪個倉庫運費最少？10則3吸2吸1Q噸60噸ABCDE【解析】這道題可以

29、用“小往大處靠”的原則來解決.E點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往E那個方向集中，集中到 B, B變成40噸，判斷仍是E的勢力最大，所以繼續(xù)向 E方向集中，B點集中到C點，C點變成60噸.此日C點和E點都是60噸，那么C、E誰看成大勢力都可以.例如把E點集中到D點，D點是70噸.所以C點也要集中到 D點.確定了集中地點，運輸費用也就容易求了.運費最少為：（10 30 30 20 20 10 60 10） 0.9 1530（元）.【例14】在一條公路上，每隔100千米有一座倉庫，共有 8座，圖中數(shù)字表示各倉庫庫存貨物的重量（單位：噸），其中C、G為空倉庫.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存入一

30、個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要0.5元，那么集中到那個倉庫中運費最少，需要多少元運費？ABCDEFGH10302051060【解析】根據(jù)這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決.H點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往H那個方向集中，集中到 B, B變成40噸，判斷仍是 H的勢力最大，所以繼續(xù)向H方向集中，B點集中到D點，D點變成60噸.此時D點和H點都是60噸，那么D、H誰看成大勢力都可以.例如把 H點集中到F點，F(xiàn)點是70噸.把D點集中到E點，E點是65噸所以E點也要集中到 F點.確定了集中地點為F點，運輸費用也就容易求了.運費最少為:（10 500 30 400 20 200

31、 5 100 60 200） 0.5 16750（元）.【鞏固】（04年我愛數(shù)學夏令營試題）一條直街上有5棟樓，從左到右編號為1, 2, 3, 4, 5,相鄰兩樓的距離都是50米.第1號樓有1名職工在A廠上班，第2號樓有2名職工在A廠上班，第 5號樓有5名職工在A廠上班.A廠計劃在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班， 為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小，車站應建在距1號樓多少米處？【解析】如圖所示，“小往大處靠”的原則來解決，故應建在4號樓的位置，距1號1H 150米處.12345111小結(jié)1對于集中貨物的問題，涉及到了重量，而集中到何處起決定作用的是貨物的重量，而至于距離,僅僅

32、只是為了計算所以對于這類問題老師要強調(diào)“小往大處靠”的原則.【例15（奧數(shù)網(wǎng)習題庫）右圖是A, B, C, D, E五個村之間的道路示意圖，。中數(shù)字是各村要上學的 學生人數(shù)，道路上的數(shù)表示兩村之間的距離（單位：千米）.現(xiàn)在要在五村之中選一個村建立一所小學.為使所有學生到學校的總距離最短，試確定最合理的方案.【解析】“小往大處靠”的原則來解決，A點向C點集中，因為根據(jù)“小往大處靠”的原則，雖然 A點40人比C點20人多，但是人最多的點是 E點，所以大方向是向E點的方向靠攏.那么B點當然 也要向C點靠攏.C點就有80人了 .此時人數(shù)最多的點變成了C點了. D、E又變成小勢力了，因此還是“小往大處靠

33、”的原則，看大方向，E點要向D點靠攏.此時D點變成85人了.那么D點比此時C點的80人多了. C點又變成小勢力了.所以最終要集中在D點.也就是學校要設在D點.【鞏固】（三帆中學分班考試題）有七個村莊A, A2, L , A7分布在公路兩側(cè)（見右圖），由一些小路與 公路相連，要在公路上設一個汽車站，要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應設在哪里？【解析】本題可簡化為“ B, C, D,巳F處分別站著1, 1, 2, 2, 1個人（見右圖），求一點，使所有人 走到這一點的距離和最小” .顯然D、E最大，靠攏完的結(jié)果變成了 D 4, E 3,所以車站設 在D點.【例16】（奧數(shù)網(wǎng)習題庫）某鄉(xiāng)共有六塊

34、麥地， 每塊麥地的產(chǎn)量如右圖.試問麥場設在彳S處最好？（運輸總量的千克千米數(shù)越小越好.）【解析】板塊三、【例17】【解析】依據(jù)“小往大靠”，“支往干靠”.我們不妨以F-E-C-D為干，顯然麥場設在 C點.當然你以其他路經(jīng)為干，都會的到同樣結(jié)果.譬如：若以 F-E-C-A為干，那么依據(jù)“支往干靠” ，D就靠到C,B移到G,當作“干”上一成員.合理布線和調(diào)運新建的自來水廠要給沿公路的十個村莊供應自來水（如下圖，距離單位為千米 ），要安裝水管有粗細兩種選擇，粗管足夠供應所有村莊使用，細管只能供一個村用水，粗管每千米要用8000元，細管每千米要2000元，如果粗細管適當搭配，互相連接，可以降低費用，怎

35、樣安排才能使這項工程費用最低？費用是多少元？A BCDE FGH J*«-«««««»430524232225由于細管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設都用細管.那么從自來水廠到J村要鋪設10根細管，自來水廠到I村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖表示鋪細管的情況.因為粗管是細管價格的4倍，如果用細管代替粗管重疊數(shù)超過4條費用更大，僅在3條或3條以下才會節(jié)約，而細管只能供應一村用水，所以粗管從水廠一直接到G村為止，再用三條細管連接 H、I、J三個村，這樣費用最低，總費用：8000（305 2 4 2 32）2000（2

36、3 2 25）414000【例18（奧數(shù)網(wǎng)習題庫）有十個村莊，座落在從縣城出發(fā)的一條公路上，現(xiàn)要安裝水管，從縣城供各村自來水.可以用粗、細兩種水管，粗管每千米7000元，細管每千米 2000元.粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供應一個村用水，各村與縣城間距離如右圖所示（圖中單位是千米），現(xiàn)要求按最節(jié)約的方法鋪設，總費用是多少？30524232225口11111nl縣城A1 A 2 A 3 A4 A5 A6A7A 8 A9 A10【解析】由于細管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設都用細管.那么從縣城到A1村要鋪設10根細管，A1村到A2村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖表示鋪細管的情況

37、.因為粗管每千米 7000元，細管每千米2000元，所以4根細管的價錢將大于1根粗管的價錢.這樣一來，凡是超過 3根細管的路段，都應改鋪粗管.因此，從縣城到A7村鋪1根粗管，A7村到七村鋪3根細管，A8村到與村鋪2根細管，與村到A。 村鋪 1 根細管.總費用為：7000 （30 5 2 4 2 3 2） 2000 （2 3 2 2 5 1） 36600（元）.【例19】北京、洛陽分別有11臺和5臺完全相同的機器，準備給杭州7臺、西安9臺，每臺機器的運費如右表，如何調(diào)運能使總運費最?。窟\費/、3站杭州西安北京8001000洛陽700600【解析】方法一：由表中看出，北京到杭州的運費比到西安便宜，

38、而洛陽正相反，到西安的運費比到杭州便宜.所以，北京的機器應盡量運往杭州，洛陽的機器應盡量運往西安.最佳的調(diào)運方案為：北京發(fā)往杭州7臺，發(fā)往西安4臺，洛陽發(fā)往西安5臺.總運費為800 7 1000 4 600 5 12600（元）.方法二：本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決，設北京調(diào)運杭州x臺，調(diào)運西安（11 x）臺，則洛陽應調(diào)運杭州（7 x）臺，調(diào)運西安9 （11 x） x 2（臺），總運費 W 800x 1000（11 x） 7007 x） 600（x 2） 800x 11000 1000x 4900700x 600x 1200 14700 300x,因為要使總運費14700 300x最小，需

39、要300x最大.由于x是北京調(diào)運杭州的臺數(shù)，且 x<7,所以當x 7時，總運費 W 14700 300 7 12600（元）最小.由x 7可知，北京調(diào)運杭州7臺，調(diào)運西安4臺，洛陽調(diào)運杭州 0臺，調(diào)運西安5臺.【鞏固】 北京、上海分別有10臺和6臺完全相同的機器，準備給武漢11臺，西安5臺，每臺機器的運費如右表，如何調(diào)運能使總運費最?。窟\費/羌站爰淅4武漢西安北京500600上海7001000【解析】與例題不同的是，北京、上海到西安的運費都比到武漢的高，沒有出現(xiàn)一高一低的情況.此時，可以通過比較運輸中的差價大小來決定最佳方案. 上表中第一行的差價為 600 500 100（元），第二行的

40、差價為1000 700 300（元）.說明從北 京給西安多發(fā)1臺機器要多付運費100元，而從上海給西安多發(fā)1臺機器要多付運費 300元.所 以應盡量把北京的產(chǎn)品運往西安，而西安只要5臺，于是可知北京調(diào)往西安5臺，其余5臺調(diào)往武漢，上海 6臺全部調(diào)往武漢，總運費為：600 5 500 5 700 6 9700（元）. 如果改為看表中的列，那么由于第一列的差價為700 500 200 （元），第二列差價為1000 600 400（元），所以武漢需要的機器應盡量從上海調(diào)運，而上海只有6臺，不足的部分由北京調(diào)運.這個結(jié)論同前面得到的相同.【例20】北京和上海同時制成了電子計算機若干臺，除了供應本地外，

41、北京可以支援外地10臺，上海可以支持外地4臺.現(xiàn)決定給重慶 8臺，漢口 6臺，若每臺計算機的運費如右表，上海和北京制 造的機器完全相同，應該怎樣調(diào)運，才能使總的運費最省？最省的運費是多少？運費/M既站漢口重慶北京48上海35【解析】 方法一：本題中雖然上海到漢口的運費最少，只有3百元，但是上海到漢口比北京到漢口只節(jié)省（4 3 ） 1百元，相比之下，上海到重慶比北京到重慶要節(jié)?。? 5 ）3百元.所以重慶所需臺數(shù)應由上海盡量滿足，即上海的4臺全部調(diào)運重慶，北京再補給重慶4臺，漢口的6臺從北京調(diào)運.總運費為：5 4 8 4 4 6 76（百元）方法二：本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決，設北京調(diào)運漢

42、口x臺，調(diào)運重慶（10 x）臺，則上海應調(diào)運漢口 （6 x）臺，調(diào)運重慶 4 （6 x） x 2（臺），總運費 W 4x 8（10 x）3（6 x） 5（x 2） 4x 80 8x 18 3x 5x 10 88 2x,因為要使總運費 88 2x 最 小，需要2x最大.由于x是北京調(diào)運漢口的臺數(shù)，且 x 6,所以當x 6時，總運費W 88 2 6 76（百元）最小.由x 6可知，北京調(diào)運漢口 6臺，調(diào)運重慶4臺，上海 調(diào)運漢口 0臺，調(diào)運重慶4臺.【例21】北倉庫有貨物35噸，南倉庫有貨物 25噸，需要運到甲、乙、丙三個工廠中去.其中甲工廠需要28噸，乙工廠需要12噸，丙工廠需要 20噸.兩個倉

43、庫與各工廠之間的距離如圖所示（單位:公里）.已知運輸每噸貨物 1公里的費用是1元，那么將貨物按要求運入各工廠的最小費用是多 少元？8-4.統(tǒng)籌規(guī)劃.題庫教師版page 19 of 19【解析】通過分析將題目給的圖形先轉(zhuǎn)化為下圖，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^差價的大小來決定最佳方案.觀察上表各列兩數(shù)之差，最大的是第三列16 12 4,因此北倉庫的貨物盡可能的供應丙工廠，即北倉庫供應丙20噸.在剩下的兩列中，第一列的差大于第二列的差，所以南倉庫的貨物盡可能的供應甲工廠，即南倉庫供應甲25噸.因為南倉庫貨物分配完，其余的甲需要的28 25 3（噸）由北倉庫供應，即北倉庫供給丙后剩下的15噸貨物3噸給甲15 3 1

44、2（噸）給乙，相應的運費為：3 10 12 6 20 12 25 8 542（元）.叁費龍站甲乙丙北倉庫10612南倉庫8516運費/言站甲乙丙北倉庫35噸31220南倉庫25噸25【例22】A、B兩個糧店分別有 70噸和60噸大米，甲、乙、丙三個居民點分別需要30噸、40噸和50噸大米.從 A, B兩糧店每運1噸大米到三個居民點的運費如右圖所示：如何調(diào)運才能使運費最少?運費/元7站 爰站，一甲乙丙A04030B30020運費/完日站 凌話甲乙丙A273B3105【解析】A, B糧店共有大米 70 60 130（噸），甲、乙、丙三個居民點需要大米 30 40 50 120（噸），供應量與需求量

45、不相等，但是我們?nèi)钥梢酝ㄟ^差價的大小來決定最佳方案.觀察上表各列兩數(shù)之差，最大的是第二列10 7 3,因此A糧店的大米應盡可能多地供應乙，即 A供應乙40噸.在剩下的兩列中，第三列的差大于第一列的差，所以 A糧店剩下的30噸應全部供應丙.因為 A糧店的的大米已分配完， 其余的由B糧店供應，即B供應甲30噸，供應丙20噸，調(diào)運方案如右表，相應的運費為： 30 3 40 7 30 3 20 5 560（元）.【例23】一支勘探隊在五個山頭 A B、C D、E設立了基地，人數(shù)如右圖所示.為調(diào)整使各基地人數(shù)相同, 如何調(diào)動最方便？（調(diào)動時不考慮路程遠近）【解析】 在人員調(diào)運時不考慮路程遠近的因素，就只

46、需避免兩個基地之間相互調(diào)整，即“避免對流現(xiàn)象”c五個基地人員總數(shù)為 17+4+16+14+9=60（人）依題意，調(diào)整后每個基地應各有60+5=12 （人）。因此，需要從多于 12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E調(diào)人.為了避免對流，經(jīng)試驗容易得到調(diào)整方案如下：先從D調(diào)2人到E,這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E,則E達到要求.此時，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B,則B亦符合要求。調(diào)動示意圖如右圖所示.這樣的圖形叫做物資流向圖.用流向圖代替調(diào)運方案，能直觀地看出調(diào)運狀況及有無對流現(xiàn)象，又可避免列表和計算的麻煩，圖中箭頭表示流向，箭桿上的數(shù)字表示流量?！纠?4下圖是一個交通示

47、意圖，A、B、C是產(chǎn)地（用表示，旁邊的數(shù)字表示產(chǎn)量，單位：噸 ），D、E、F是銷地（用。表示，旁邊的數(shù)字表示銷量，單位：噸），線段旁邊有括號的數(shù)字表示兩地每噸貨物的運價，單位：百元 （例如B與D兩地，由B到D或由由D到B每噸貨物運價100 元）.將產(chǎn)品由產(chǎn)地全部運往銷地，怎樣調(diào)運使運價最小？最小運價是多少？【解析】為了運價最小，（噸）.一定需要從A運4噸.之后A剩下8D ,這個時候D還差9 5 44噸.之后分兩種情況.如果A的4噸全部運往F ,之后把C中的1噸運往F , 5噸運往E .總共需要運費為6300（元）；如果A的4噸全部運往E,之后C中的11 4 3 4 4 1 6 5 4 59（百

48、元）5900（元）.5143431456 63（百元）噸運往E , 5噸運往F，總共需要運費為板塊四、其他最優(yōu)化問題3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原【例25】用10尺長的竹竿做原材料，來截取 材料幾根？怎么截法最合算？【解析】 分析 不難想到有三種截法省料:截法1 :截成3尺、3尺、4尺三段，無殘料；截法2:截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺;截法3:截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。由于截法1最理想（無殘料），因此應該充分應用截法 1.考慮用原材料50根，可以截成100根3尺長的短竹竿，而 4尺長的僅有50根，還差50根.于是再應用截法3,截原材料25根，可以得到4尺長的短

49、竹竿50根，留下殘料2X25 =50 （尺）?！纠?6山區(qū)有一個工廠.它的十個車間分散在一條環(huán)行的鐵道上.四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈運送貨物。貨車到了某一車間，就要有裝卸工人裝上或卸下貨物.各車間由于工作量不同，所需裝卸工人數(shù)也不同，各車間所需裝卸工人數(shù)如圖所示。當然，裝卸工可以固定在車間等車；也可以坐在貨車上跟車到各車間去干活；也可以一部分裝卸工固定在車間，另一部分跟車.問怎樣安排跟車人數(shù)和各車間固定人數(shù)，才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？【解析】如跟車人數(shù)為57,則各車間都不用安排人，但這樣在需要人數(shù)少的車間，浪費人力，不行；為此找出各車間人數(shù)的平均數(shù)，后再調(diào)整。各車間人數(shù)的平均數(shù)為.

50、43.9.若跟車人數(shù)為43 ,則需人數(shù)多于43的車間需增加的人數(shù)分別為14 , 7, 5 , 3, 9,此時共需人數(shù)43 *4+14+7+5+3+9=210若跟車人數(shù)為46,由于需人數(shù)多于 46的有四個車間，貨車上增多的人數(shù)與四個車間減少的人數(shù)一樣。故跟車人數(shù)為 46人，需人數(shù)多于46的四個車間人數(shù)各增加所差數(shù)即可46 X4+4+2+6+11=207（人）.【例27】現(xiàn)有5段鐵鏈，每段上有 4個封閉的鐵環(huán).現(xiàn)在要打開一些鐵環(huán)，把這20個鐵環(huán)焊接成一個一環(huán)套一環(huán)的圓圈.如果每打開一個鐵環(huán)要 2分鐘，焊接上一個鐵環(huán)要 3分鐘.那么焊成這個圓圈, 至少需要 分鐘.C08DGOOD【解析】把第一段的每個都打開之后用了8洲f）,下面用每個鐵環(huán)把剩下的4段鐵鏈之間的兩個相連，只需要4 3 12（分鐘）.所以至少需要20分鐘.【例28】國王準備了 1000桶酒作慶祝他的生日，可惜在距離生日前十日，國王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后則正好第 10日發(fā)作.有人提議用死刑犯試毒，問至少需要多少個死刑犯才能保證 檢驗出一桶有毒的酒桶？如何試毒？【解析】 將酒桶編號11000全部改為二進制 應該是00000000011111101000 ,讓一號犯人喝末位數(shù)字是1的毒酒，