外接球問題典型例題

1、在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個頂點都在一個球面上，則球的體積為（ ）A B C D【知識點】線面垂直的性質(zhì);球內(nèi)接多面體;球體積的公式.【答案解析】A解析 ：解：直三棱的各頂點都在同一球面上，（如圖），中，下底面的外心為的中點，同理，可得上底面的外心為的中點，連接，則與側(cè)棱平行，所以平面再取中點，可得：點到的距離相等，點是三棱柱外接球的球心中，即外接球半徑，因此，三棱柱外接球的球的體積為：故選：A【思路點撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱外接球的球心是上下底面斜邊中點的連線段的中點在直角中，利用勾股定理算出的長，即得外接球半徑的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積四面

2、體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積（ ）A25p B45p C50p D100p【知識點】幾何體的外接球的表面積的求法;割補法的應(yīng)用.【答案解析】C解析 ：解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以,為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，則有（2R）2=x2+y2+z2=50（R為球的半徑），得R2=，所以球的表面積為S=4R2=50故選：C【思路

3、點撥】將四面體補成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積已知正四面體的棱長為，則它的外接球的表面積的值為 【知識點】球內(nèi)接多面體【答案解析】解析 ：解：正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直徑，正方體的棱長為：1；對角線長為：，棱長為的正四面體的外接球半徑為所以外接球的表面積為，故答案為.【思路點撥】正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑,可求外接球的表面積已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

4、_。【答案】【點評】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱平面四邊形中，,將其沿對角線折成四面體,使平面平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為 （ ）（A） （B） （C） （D）1.A 根據(jù)題意，如圖，可知中，在中，,又因為平面平面，所以球心就是的中點，半徑為，所以球的體積為： 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）A B C D【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R，則棱錐的高為4，底面邊長為2，R2=

5、（4R）2+（）2，R=，球的表面積為4（）2=故選：A一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是一個等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識點】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則，得x=，外接球的半徑R=，幾何體的外接球的表面積S=4×=.【思路點撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時，能直接確定圓心位置

6、的可通過圓心位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補形法轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球問題.如圖，三棱錐中，它的三視圖如下，求該棱錐的正視圖俯視圖側(cè)視圖（）全面積；（）內(nèi)切球體積；（）外接球表面積【知識點】根據(jù) 三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，幾何體內(nèi)切球半徑、外切球半徑的求法.【答案解析】(1)；(2) ；(3)解析 ：解：（1）由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長為6的等腰直角三角形ABC，頂點P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點E，且高為 4的三棱錐。側(cè)面PAB、PAC的高都是5，底面斜邊長，所以全面積為：（2）設(shè)內(nèi)切球球心O,半徑r，則由得，解得r=,所以內(nèi)切球體積為

7、（3）設(shè)外接球球心M，半徑R,M在高PE所在直線上，因為4<,所以,解得R=，所以外接球表面積為。【思路點撥】（1）三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐的全面積.（2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點連線，把原三棱錐分割成四個小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑。（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半徑。三棱錐的外接球為球，球的直徑是，且都是邊長為的等邊三角形，則三棱錐的體積是（ ） A B C D 【知識點】棱錐的體積【答案解析】A解析：因為截面BOC與直徑AD垂直，而BO=CO=，所以三角形BOC為等腰直角三角形，其面積為，而AD=，所以三棱錐的體積為

8、，選A【思路點撥】求棱錐的體積若直接利用所給的底面求體積不方便時，可通過換底面法或補形法或分割法求體積，本題采取分割法求體積即把一個棱錐分割成兩個棱錐的體積的和.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是一個等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識點】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則，得x=，外接球的半徑R=，幾何體的外接球的表面積S=4×=.【思路點撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時，能直接確定圓心位置的可通過圓心位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補形法轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球問題.已知A,B是球O的球面上兩點，AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體