可分離變量,齊次方程

1、一階微分方程的初等解法第二章可分離變量微分方程 第2.1.1節(jié)xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程是方程的解的解, ( ( )( )d( )dgxxxf xx 兩邊積分兩邊積分, 得得 ( )dg yy ( )df xx ( )( )G yF xC 則有恒等式則有恒等式 ( )G y( )F x則有則有分離變量方程的解法分離變量方程的解法: :分離變量，兩端積分分離變量法分離變量法例例1. 求微分方程求微分方程2d3dyx yx 的通解的通解.解

2、解: 分離變量得分離變量得2d3dyxxy 兩邊積分兩邊積分2d3dyxxy 得得31ln yxC 3lnlnyxC 即即31xCye 31,Cxe e 3xyC e 1,CCe 令令得得( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、因此可能增、減解減解.( 此式含分離變量時丟失的解此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題解初值問題2d(1)d0 xy xxy 解解: 分離變量得分離變量得2dd1yxxyx 兩邊積分得兩邊積分得21lnlnln1yCx 即即21yxC由初始條件得由初始條件

3、得 C = 1,211yx ( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為(0)1y 例例3. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有d(0)dMMt 00tMM (初始條件初始條件)對方程分離變量對方程分離變量, dMM1ln|ln|,MtC 得得即即tMC e 利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分然后積分:()d t 已知已知 t = 0 時鈾的含量為時鈾的含量為已知放射性元素鈾的

4、衰變速度與當(dāng)時未衰變原已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原kv R mg P kv R mg P 兩兩邊邊積積分分得得 mtkvmgvdd ， 可可得得 1|ln1Cmtkvmgk ， 整理得整理得 1e1ekCtmkkCCkmgv . . 0d,d|0.tvmmgkvtv 求下列方程的通解和要求的特解求下列方程的通解和要求的特解 :22(2)()d()d0;xx yxx yyy 提示提示:22dd11yxyxyx (2) 分離變量分離變量;xyye ( (1 1) )ddyxeyex xyeeC (1) 分離變量分離變量112222(1(1,(0)yCxC ）(0)C 例例4.4. 設(shè)曲

5、線設(shè)曲線 過點過點( )yf x 2 2 3 3( ,)P. .在曲線上任取在曲線上任取和曲線和曲線 圍成的面積是另一條平行線與圍成的面積是另一條平行線與y 軸軸( )yf x 和曲線和曲線 圍成的面積的圍成的面積的2 2倍，求曲線的方程倍，求曲線的方程. .( )yf x 1S2Sxyo)(xfy ),(yx一點，作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與一點，作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與x 軸軸解解: :1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩

6、邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yxyxf 22)(3yyx 2分離變量，積分得分離變量，積分得,2cxy 29 c29.2yx可分離變量的方程可分離變量的方程可化為分離變量的類型 第2.1.2節(jié) 第十二章 ()dyyfdxx 形形如如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .一、齊次方程的解法()dyyfdxx ,xyu 作變量代換作變量代換,yxu 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu ( ).duf uudxx 即即可分離變量的方程可分離變量的方程分離變量，積分后再用分離變量，積分后再用代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.yx

7、()yuxu 例例1.1. 解微分方程解微分方程tan.yyyxx 解解:,yux 令令,yuxu代入原方程得代入原方程得tanuxuuu 分離變量，積分得分離變量，積分得cosddsinuxuux 得得ln sinlnln,uxC sinuC x 即即故原方程的通解為故原方程的通解為sinyC xx ( 當(dāng)當(dāng) C = 0 時時, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )則則例例2.2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: 2d2,dyyyxxx,yux 令令則有則有22uxuuu 分離變量分離變量2dduxuux 積分得積分得1lnlnln

8、,uxCu 11dd1xuuux 即即代回原變量得通解代回原變量得通解即即(1)x uCu ()x yxC y (C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))方程變形為方程變形為例例2.2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: 2d2,dyyyxxx,yux 令令則有則有22uxuuu 分離變量分離變量2dduxuux 方程變形為方程變形為 原方程還有解：原方程還有解：0.y 注意到注意到0,1uu也是方程（也是方程（1）的解）的解.0u 由由得得0,y 它是原方程的解它是原方程的解.1u 由由得得,yx 它也是原方程的解它也是原方程的解; ()x yxC y 或令或令C=0. ()0 x

9、 yxC yy 1 1 求微分方程滿足求微分方程滿足(sin)sin0.yyxydxxdyxx(1sin )sin ()uuu uxu sin,dxudux 1cosln|,uxC cosln.yxCx微分方程的通解為微分方程的通解為解：解：方程變形為方程變形為(1sin)sin0.yyydxdyxxx ,yux 令令,yuxu則則2xy 的特解的特解.ln2C 2223dyyxydxxxy 22,31yyxxyx ,xyu 令令22,13uuuxuu 22.32dxdyxxyyxy 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,yuxu則則22,13uuxuu 22,13uuxuu 213,2udx

10、duuux 13,(2)udxduu ux 1151,222dxduduuux 115ln|ln|2|ln|ln|,22uuxC 5| +2|,xu uC 5|+2|.yyxCxx 例例3 3 設(shè)有連接點設(shè)有連接點O(0,0)O(0,0)和點和點A(1,1)A(1,1)的一段向上凸的曲的一段向上凸的曲線弧線弧 , 對于對于 上任意一點上任意一點 P(x,y) ，曲線弧，曲線弧OAOAOP與直線段與直線段 所圍圖形的面積為所圍圖形的面積為 ,求弧求弧 的方程的方程.OP2xOAxPyoxA1解：解：設(shè)弧設(shè)弧 的方程為的方程為OA( )yf x 則所圍圖形的面積為：則所圍圖形的面積為：01( )2

11、xSf t dtxy 201( )2xf t dtxyx 積分方程積分方程xPyoxA1解：解：設(shè)弧設(shè)弧 的方程為的方程為OA( )yf x ( )yf x ，則，則201( )2xf t dtxyx 11222yyxyx 4yxyx 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)齊次方程齊次方程4 ln|yxxCx 4 ln.yxxx 依題意得弧依題意得弧 的方程為：的方程為：OA方程的通解為方程的通解為求微分方程滿足求微分方程滿足2202 ( )( )( ).xy ttyt dtxy x 微分方程的通解為微分方程的通解為解：解：求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得10 xy 的特解的特解.1C 222 ( )( )( )( )y xxyx

12、y xxyx 222yxyyxy221()yyyyxxx2212uuuxu21dudxxu 21ln|1| ln|ln|uuxC 21()yyCxxx ,xyu 令令例例6 6 探照燈反設(shè)鏡面的形狀探照燈反設(shè)鏡面的形狀. . 在制造探照燈的反射鏡面時在制造探照燈的反射鏡面時, ,總要求將點光源射出總要求將點光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀性，試求反射鏡面的幾何形狀. .oyxTM光的反射定律光的反射定律:入射角入射角 = 反射角反射角可得可得 OMA = OAM = 解解: 設(shè)光源在坐標(biāo)原點設(shè)光源在坐

13、標(biāo)原點,則反射鏡面由曲線則反射鏡面由曲線 ( )yf x 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成 .過曲線上任意點過曲線上任意點 M (x, y) 作切線作切線 M T,cotyx yxy 22OMxy取取x 軸平行于光線反射方向軸平行于光線反射方向,從而從而 AO = OMAPOP而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : yxy 22.xy oyxTMAPy(齊次方程) 利用曲線的對稱性利用曲線的對稱性, 不妨設(shè)不妨設(shè) y 0, 2d1dxxyy xy,xyv ,xuy 令令2d1duyuy dd.ddxuuyyy2ln(1)lnln,uuyC 積分得積分得2221yyuCC,y ux 代代入入

14、得得22()2CyC x (拋物線拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面:于是方程化為于是方程化為(齊次方程) 222().2CyzC x 可化為分離變量的類型 第2.1.2節(jié) 第十二章 222111cybxacybxafy,(1,2)kkkabck 其其中中 222111cybxacybxafy 二二 . . 特殊齊次微分方程的解法特殊齊次微分方程的解法均為常數(shù)均為常數(shù). . 222111cybxacybxafy 111222(1)abckabc （常數(shù)）（常數(shù)） 變形為變形為 yfk yfkxc （c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 222111cybxacybxafy 111222

15、(2)abckabc（k 為常數(shù)）為常數(shù)） 變形為變形為221222()k a xb ycyfa xb yc 22,za xb y 令令22,dzdyabdxdx 則則1222.kzcdzab fdxzc 可分離變量方程可分離變量方程 222111cybxacybxafy 11122200a xb yca xb yc 00,xXxyYy 令令1122(3)abab 設(shè)設(shè)00(,)xy為直線為直線的交點的交點.則則1111122222a x b yca XbYa x b yca XbY2212(0)cc方程方程 便可如下轉(zhuǎn)化成齊次方程：便可如下轉(zhuǎn)化成齊次方程： dYYdXX即即1122a XbY

16、dYdyfdXdxa Xb Y1122YabXfYabX 222111cybxacybxafy 例例4. 求解求解d4d6yxyxxy 25.xy 解解:40 xy令令1,5 ,xXyY ddYXYXXY 得得再令再令 YX u , 得得令令60 xy1,5.xy 得得21dd.1uXuuX 積分得積分得arctanu212ln(1)uln.C X 5arctan1yx 215ln121yx ln(1)C x 25xy 利利用用得得 C = 1 , 故所求特解為故所求特解為5arctan1yx 221ln (1)(5).2xy 思考思考: 若方程改為若方程改為 d4,d6yxyxxy 如何求解如何求解? 提示提示:.vxy令令代回原變量代回原變量, 得原方程的通解得原方程的通解:例例5.5.33.235xyyxy 求求解解解解: : 由由 0532033yxyx2,3,xuyv 令令vuvududv323 (*)2,3.xy 得得323vdvuvduu 或或原方程可化為原方程可化為,vzu 再再令令dvdzzududu 于是方程于是方程 ( (* *) ) 進一步轉(zhuǎn)化為進一步轉(zhuǎn)化為, ,zzdudzuz323 分離變量分離變量: :ududzzzz )1(3322則則兩邊同時積分得兩邊同時積分得:221