數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)用三次樣條插值設(shè)計(jì)中英文簽名

1、課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告 課程名稱： 數(shù)值分析 題 目： 用三次樣條插值設(shè)計(jì)中英文簽名 院 系： 專 業(yè)： 班 級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 時(shí) 間： 目 錄1、理論分析（含問題分析，理論依據(jù)，求解對(duì)策等）；2、方法詳解（含推導(dǎo)、求解、分析、程序框圖等）；3、應(yīng)用實(shí)例（含程序清單、計(jì)算結(jié)果輸出、圖形演示等）；4、效果分析（含對(duì)不同方法間的圖形、數(shù)值等多方位的對(duì)比分析，對(duì)所得結(jié)果的合理解釋等）一、 理論分析：1. 問題分析 （1）設(shè)計(jì)自己的英文簽名，給出一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用三次樣條曲線畫出所設(shè)計(jì)的英文簽名的字體。(2)設(shè)計(jì)你的草體漢字簽名,給出一組數(shù)據(jù)點(diǎn),分別用三次樣條曲線畫出所設(shè)計(jì)的中文簽字的字體. （3

2、）如果設(shè)計(jì)出的三次樣條不滿意，怎么改進(jìn)算法？2.2 分析思想 要設(shè)計(jì)出英（中）文簽名，首先、要獲得與自己英（中）文簽名相似的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，最好這組數(shù)據(jù)點(diǎn)的獲取可因名字的改變而改變且簡(jiǎn)單易行，以適應(yīng)不同的簽名；其次、要選用合適的算法，才能設(shè)計(jì)出較美觀的簽名，問題要求用三次樣條插值做，若效果不滿意，改進(jìn)時(shí)可選擇其他算法；最后、選擇合適數(shù)學(xué)工具和備用改進(jìn)算法，合適的數(shù)學(xué)工具能大大簡(jiǎn)化我們的工作量，獲得滿意結(jié)果。備用的改進(jìn)算法的提出可以引導(dǎo)我們?cè)谙旅娴恼n程設(shè)計(jì)中注意基本算法的不足，多思考，勤探究。2. 理論依據(jù) 2.1 交互式界面 交互式界面即窗口、光標(biāo)、按鍵、菜單、文字說明等對(duì)象（Objects）構(gòu)成

3、的一個(gè)用戶界面。用戶通過一定的方法（如鼠標(biāo)或鍵盤）選擇、激活這些圖形對(duì)象，使計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某種動(dòng)作或變化，比如實(shí)現(xiàn)獲取數(shù)據(jù)、計(jì)算、繪圖等。要使數(shù)據(jù)點(diǎn)可因名字的改變而改變且簡(jiǎn)單易行，以適應(yīng)不同的簽名，可采用交互式界面進(jìn)行操作。如我們可以用鼠標(biāo)點(diǎn)擊獲取名字大致的數(shù)據(jù)點(diǎn)，顯然，不同名字可以實(shí)現(xiàn)能得到不同數(shù)據(jù)點(diǎn)。在MATLAB中，可以用ginput()函數(shù)輕松實(shí)現(xiàn)這一功能。 2.2 三次樣條插值算法 在區(qū)間a,b上給定有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的分割:a=x<x<<x=b。若在a,b上定義的函數(shù)s(x)滿足：(1)在子區(qū)間x,x上s(x)是最高為三次的多項(xiàng)式，i=0，1， n-1；(2)在a,b上s

4、(x)是二階連續(xù)可微函數(shù)，即s(x)Ca.b。則稱s(x)為a,b上關(guān)于分割的三次樣條函數(shù)。S(x)對(duì)應(yīng)的曲線稱為三次樣條曲線。若s（x）還滿足(3)S(x)=y=f,i=0,1,n則稱s(x)為a,b上關(guān)于分割的三次樣條插值函數(shù)，f(x)稱為被插函數(shù)。三次樣條插值函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線稱為三次樣條插值曲線。我們知道分段低次插值的優(yōu)點(diǎn)是具有收斂性與穩(wěn)定性，缺點(diǎn)是光滑性較差，不能滿足實(shí)際需要.例如高速飛機(jī)的機(jī)翼形線、船體放樣形值線、精密機(jī)械加工等都要求有二階光滑度，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，通常三次樣條(Spline)函數(shù)即可滿足要求。所以對(duì)于簽名，三次樣條插值算法完全能夠在給定的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)下實(shí)現(xiàn)簽名效果。3.

5、求解對(duì)策 對(duì)策 問題 MATLAB7.0選用合適的數(shù)學(xué)工具雙三次插值算法選用改進(jìn)算法三次樣條插值算法：可產(chǎn)生二階光滑度，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)簽名圖樣選用合適的算法采用交互式界面進(jìn)行操作，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊獲取名字大致的數(shù)據(jù)點(diǎn)獲得與簽名相似的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，最好可因名字的改變而改變實(shí)現(xiàn)英（中）文簽名二、 算法設(shè)計(jì)（推導(dǎo)、求解）：2.1、三次樣條插值函數(shù)的定義樣條（Spline）是繪圖員用來描繪光滑曲線的均勻有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（或有機(jī)玻璃條）。用壓鐵將木條加以固定使它通過各型值點(diǎn)，最后沿著這根木條畫出光滑曲線，作用與曲線板和云形規(guī)相似。我們稱這條光滑的曲線為樣條曲線，樣條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為樣條函數(shù)。它是連續(xù)的光滑的，

6、具有連續(xù)變化的曲率，實(shí)際上就是一條三次樣條曲線。定義：在區(qū)間a,b上給定有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的分割:a=x<x<<x=b。若在a,b上定義的函數(shù)s(x)滿足：(1)在子區(qū)間x,x上s(x)是最高為三次的多項(xiàng)式，i=0，1， n-1；(2)在a,b上s(x)是二階連續(xù)可微函數(shù)，即s(x)Ca.b。則稱s(x)為a,b上關(guān)于分割的三次樣條函數(shù)。S(x)對(duì)應(yīng)的曲線稱為三次樣條曲線。若s（x）還滿足(3)S(x)=y=f,i=0,1,n則稱s(x)為a,b上關(guān)于分割的三次樣條插值函數(shù)，f(x)稱為被插函數(shù)。三次樣條插值函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線稱為三次樣條插值曲線。同時(shí)我們還可以通過計(jì)算三次樣條函數(shù)s

7、(x)在節(jié)點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)m=s(x)或二階導(dǎo)數(shù)M=s(x),i=0,1,n的值來求過型值點(diǎn)。(x,y),i=0,1,n的三次樣條函數(shù)。對(duì)應(yīng)地可以導(dǎo)出稱之為m關(guān)系式和關(guān)系式，它們分別是關(guān)于m和M的代數(shù)方程組。2.2三次樣條插值算法推導(dǎo)、求解記h=x,i=0,1,n-1。根據(jù)三次樣條函數(shù)的定義，當(dāng)x x,x時(shí)，它是一個(gè)三次多項(xiàng)式，所以s(x)是線性函數(shù)，可以表示為： s(x)= M+ M從x到x對(duì)其積分兩次，得s(x)= - M+ M+As (x)= M+ M+ A(x-x)+B 這里A，B是積分常數(shù)，可由插值條件，即s(x)= y，s(x)=y,來確定。 解得: 則s(x),s(x)在xx上可表

8、示為：S(x)= M+ M+ (x-x)+y-Ms(x)=-M+M+-由上式易見，若M(i=0,1,n)確定后，則三次樣條插值函數(shù)s(x)就完全確定了。在上，由4.5.9得由此可得： 由于s(x)在x點(diǎn)處應(yīng)是連續(xù)函數(shù),即s(x)=s(x) i=1,2,n-1,得 令 得 ， i=1,2,n-1這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知量M,M,M的n-1個(gè)方程組成的線性方程組，我們稱它為M關(guān)系式。記m,根據(jù)Hermite插值，在，上由，,可得： 它在的右極限和的左極限分別為： 得 由 ，i=1，2，,n-1,得 兩邊乘以 ，并記 得 ， = 1,2,n-1這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知量,的n-1個(gè)方程組成的線性方程

9、組，我們稱它為m關(guān)系式。注：無論是M關(guān)系式還是m關(guān)系式，都應(yīng)該補(bǔ)充2個(gè)條件才能把它的解唯一地確定下來，這就是我們所要討論的端點(diǎn)約束條件。樣條插值函數(shù)的端點(diǎn)條件有多種形式，主要根據(jù)實(shí)際問題來確定。從物理觀點(diǎn)看，它們對(duì)應(yīng)在曲線兩端給出的約束類型。常用的端點(diǎn)約束條件有：自由端點(diǎn)條件，夾持端點(diǎn)條件，周期端點(diǎn)條件。下面我們主要來討論夾持端點(diǎn)條件來求解結(jié)果。在端點(diǎn)給定的一階導(dǎo)數(shù)值，即 ， 這里，為已知數(shù)，將它們代入關(guān)系式得 =這是關(guān)于n-1個(gè)未知量,由n-1個(gè)方程組成的線性方程組，根據(jù)其系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，方程組存在唯一解。關(guān)于M關(guān)系式，只要注意到 記 ， ，和M關(guān)系式聯(lián)立得： = (20)這是一個(gè)關(guān)于

10、n+1未知量,，由n+1個(gè)方程組成的線性方程組，其系數(shù)矩陣為三角嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，非奇異，上20式存在唯一解。 下面我們來分析一下樣條函數(shù)的收斂性問題：定理設(shè)在閉區(qū)間a,b上給定了一個(gè)分割序列 ：記 中子區(qū)間的最大最小長(zhǎng)度分別為和即 = 設(shè)在區(qū)間上有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 對(duì)給定的分割序列成立 設(shè)為上的的樣條函數(shù)，且，i=0,1,n, 則對(duì)一切成立 | ， i= 0，1，2，3其中，和無關(guān)，且，該定理表明，只要分割是比較均勻的，則樣條插值函數(shù)序列及其一至三階導(dǎo)函數(shù)均收斂于被插函數(shù)及其對(duì)應(yīng)階導(dǎo)函數(shù)。誤差估計(jì)問題： 設(shè)，S是在上關(guān)于剖分的滿足I型邊界條件的三次樣條插值函數(shù)，則有估計(jì)式 其中，。證明：設(shè)為

11、上關(guān)于節(jié)點(diǎn)的分段三次ermite插值多項(xiàng)式， j=0,1,n。在子區(qū)間(j=0,1,n-1)上，其中，為三次Hermite插值的基函數(shù)。對(duì)于，利用三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式得 = 利用三次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)估計(jì)有 ， 。 利用引理，當(dāng)有 由區(qū)間的任意性，即可以得出 由此說明了三次樣條插值函數(shù)S，當(dāng)時(shí)，一致收斂于被插值函數(shù)三、 程序設(shè)計(jì)（分析、程序框圖）：本實(shí)驗(yàn)中所有程序均是在MATLAB7.0環(huán)境下實(shí)現(xiàn)。3.1 ginput()程序分析 本實(shí)驗(yàn)利用兩種方法獲取簽名數(shù)據(jù)點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱點(diǎn)），由于MATLAB7.0中自帶的交互式函數(shù)ginput()在鼠標(biāo)單擊取點(diǎn)時(shí)無法顯示該點(diǎn)位置，為了能夠清晰

12、地知道當(dāng)前和已經(jīng)取過的點(diǎn)的位置，我才用了兩種取點(diǎn)方法：方法1：對(duì)MATLAB7.0中自帶的交互式函數(shù)ginput()進(jìn)行了修正 通過edit ginput，打開ginput()函數(shù)，在位置136138行： pt = get(gca, 'CurrentPoint'); line('Parent',gca,'Xdata',pt(1,1),'Ydata',pt(1,2),'Marker','p','color','r');（我插入的） how_many = how_many

13、 - 1; 插入以上語句。另存為：myginput.m,即可實(shí)現(xiàn)交互式函數(shù)取點(diǎn)，并留下痕跡。 方法2：不改ginput()函數(shù)，利用while(1)單個(gè)取點(diǎn) while(1) 取一個(gè)點(diǎn)，x,y=ginput(1) 用line函數(shù)將點(diǎn)改成紅色星星 將該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別送入X、Y向量集內(nèi) if x,y無值，按了回車鍵 break endend 3.2三次樣條插值程序分析 3.2.1 符號(hào)對(duì)應(yīng)含義程序中符號(hào)算法分析中符號(hào)實(shí)際含義Xxx插值點(diǎn)橫坐標(biāo) Yyy插值點(diǎn)縱坐標(biāo) mn給定插值數(shù)據(jù)的維數(shù)H區(qū)間長(zhǎng)度lambda后一區(qū)間長(zhǎng)度比前兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度之和mu前一區(qū)間長(zhǎng)度比后兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度之和D的二階均差Sx三次樣條

14、插值所得函數(shù)3.2.2 初始化數(shù)據(jù)：m取給定插值數(shù)據(jù)的維數(shù)：m=length(X)H初始化為1*n的零矩陣：H=zeros(1,n)，H(1)=X(2)-X(1)，這里n=m-1lambda初始化為1*n的零矩陣：lambda=zeros(1,n) ，lambda(1)=1A初始化為m*m的零矩陣：A=zeros(m,m)，A(1,1)=2，A(1,2)=lambda(1)mu初始化為1*n的零矩陣：mu=zeros(1,n)， mu(1)=1D初始化為1*n的零矩陣：D=zeros(1,n)，D(1)=3*(Y(2)-Y(1)3.2.3 求hk 、lambdak 、muk、dk算法：求hk：

15、for k=1:nhk=X(k+1)-X(k);H(k+1)=hk;end求lambdak、muk、dk：for k=1:n-1lambdak=H(k)/(H(k)+H(k+1); lambda(k+1)=lambdak;muk=1-lambda(k+1);mu(k)=muk;dk=3*(mu(k).*(Y(k+1)-Y(k)./H(k)+(lambda(k+1).*(Y(k+2)-Y(k+1)./H(k+1);D(k+1)=dfor k=2:m3.2.4 求Sx算法Sx=Y(k-1)*(H(k-1)-2*X(k-1)+2*x)*(x-X(k)2)/(H(k-1)3)+Y(k)*(H(k-1)

16、+2*X(k)-2*x)*(x-X(k-1)2)/(H(k-1)3)+dY(k-1)*(x-X(k-1)*(x-X(k)2)/(H(k-1)2)+dY(k)*(x-X(k)*(x-X(k-1)2)/(H(k-1)2)fprintf('%6.4f<x<',X(k-1);fprintf('%6.4fn',X(k);end3.3 圖像（簽名）輸出程序分析 利用subplot(m,n,t)z函數(shù)在一個(gè)窗口上顯示多個(gè)圖樣。用plot()畫出由spline()插值后的點(diǎn)所得簽名圖像。 用x,y,button=ginput(1)來實(shí)現(xiàn)中英文簽名判斷： if but

17、ton等于1 輸出標(biāo)題：英文簽名 elseif button等于3 輸出標(biāo)題：中文簽名 else 輸出空白標(biāo)題 end3.4 程序框圖 開始將gca設(shè)置成：set(gca,'xlimmode','manual','ylimmode','manual') 取 點(diǎn)方法1：調(diào)用函數(shù)mygiput()方法2：或調(diào)用函數(shù)ginput()獲取插值點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)X,Y初始化數(shù)據(jù): m、H、lambda、A、mu、D等 插 值調(diào)用三次樣條插值函數(shù)spline()調(diào)用雙三次插值函數(shù)cubic() 輸出簽 名圖像調(diào)用窗口圖像控制函數(shù)subplot()調(diào)

18、用繪圖輸出函數(shù)plot() 判斷簽 名類型buttonbutton=3中文簽名button=1英文簽名=結(jié)束輸出簽名圖像和類型四、 簽名驗(yàn)證（應(yīng)用實(shí)例）：4.1 程序清單 見附錄4.2 圖形演示 1.程序運(yùn)行，如下圖出現(xiàn)交互式界面，等待簽名者簽名。2.在窗口內(nèi)點(diǎn)擊簽名字樣，進(jìn)行取點(diǎn)簽名，如下圖為：wei的英文輪廓，紅色星星為鼠標(biāo)點(diǎn)擊留下的痕跡。4. 按回車鍵結(jié)束鼠標(biāo)取點(diǎn)，程序輸出簽名圖像,如下圖（注意：此時(shí)并未輸出簽名類型，界面有十字光標(biāo)，等待簽名者判斷操作）：5. 單擊鼠標(biāo)左鍵，右下角出現(xiàn)簽名類型和圖例，如下圖為：英文簽名。若為中文簽名單擊鼠標(biāo)右鍵即可。5.中文簽名步驟與英文類似，以下僅給出

19、最后簽名結(jié)果: 4.3 計(jì)算結(jié)果輸出以下是對(duì)英文w進(jìn)行簽名得到的三次樣條函數(shù)，由于wei取點(diǎn)較多，會(huì)輸出大量數(shù)據(jù)，故僅對(duì)w進(jìn)行簽名能得到較簡(jiǎn)單的輸出：Sx = 62464/3*(-193/448+2*x)*(x-235/896)2+56320/3*(249/448-2*x)*(x-207/896)2+6118033249439999/4398046511104*(x-207/896)*(x-235/896)2-6540245714505983/2199023255552*(x-235/896)*(x-207/896)2 0.2310<x<0.2623 Sx = 1014570924

20、054025338880/14357685692506197*(-113/224+2*x)*(x-253/896)2+6511700658019471720448/100503799847543379*(131/224-2*x)*(x-235/896)2-53577692893233012736/7444725914632849*(x-235/896)*(x-253/896)2-42397238503447396352/7444725914632849*(x-253/896)*(x-235/896)2 0.2623<x<0.2824 Sx = 34594/3*(-237/448+2

21、*x)*(x-285/896)2+28126/3*(43/64-2*x)*(x-253/896)2-31699595438673743/17592186044416*(x-253/896)*(x-285/896)2-326583779752527493/140737488355328*(x-285/896)*(x-253/896)2 0.2824<x<0.3181 Sx = 23634890844440363008/2077211471716767*(-135/224+2*x)*(x-45/128)2+45540399431970455552/4846826767339123*(1

22、65/224-2*x)*(x-285/896)2-6824934499318125568/2584974275914195*(x-285/896)*(x-45/128)2-1791493680497956608/2584974275914195*(x-45/128)*(x-285/896)2 0.3181<x<0.3516 Sx = 728646390911527288832/11764505149049443*(-307/448+2*x)*(x-331/896)2+728646390911527288832/11764505149049443*(339/448-2*x)*(x-4

23、5/128)2-342903087282812007/140737488355328*(x-45/128)*(x-331/896)2+358054521960066379/281474976710656*(x-331/896)*(x-45/128)2 0.3516<x<0.3694 Sx = 80896/7*(-317/448+2*x)*(x-359/896)2+306176/21*(373/448-2*x)*(x-331/896)2+7307235142042171/17592186044416*(x-331/896)*(x-359/896)2+8991211591613103/

24、1099511627776*(x-359/896)*(x-331/896)2 0.3694<x<0.4007 Sx = 176498447297252989861888/119115614634127461*(-89/112+2*x)*(x-365/896)2+198929688090883804626944/119115614634127461*(23/28-2*x)*(x-359/896)2+1178496085735912636416/6617534146340383*(x-359/896)*(x-365/896)2+1143740219012357160960/661753

25、4146340383*(x-365/896)*(x-359/896)2 0.4007<x<0.4074 Sx = 6216552752840118894592/183498707266227759*(-177/224+2*x)*(x-387/896)2+7544718326147206610944/183498707266227759*(199/224-2*x)*(x-365/896)2+35741881844136161280/2780283443427697*(x-365/896)*(x-387/896)2+20118645543346483200/27802834434276

26、97*(x-387/896)*(x-365/896)2 0.4074<x<0.4319 Sx = 3772359163073603305472/68932647357711963*(-377/448+2*x)*(x-407/896)2+1429622665712490250240/22977549119237321*(417/448-2*x)*(x-387/896)2+20118645543346483200/2297754911923729*(x-387/896)*(x-407/896)2-2775508141924100096/2297754911923729*(x-407/8

27、96)*(x-387/896)2 0.4319<x<0.4542 Sx = 571849066284996100096/1985260243902075*(-401/448+2*x)*(x-419/896)2+7987440183916235849728/29778903658531125*(425/448-2*x)*(x-407/896)2-11102032567696400384/3308767073170137*(x-407/896)*(x-419/896)2-28520465010548310016/1102922357723379*(x-419/896)*(x-407/8

28、96)2 0.4542<x<0.4676 Sx = 3993720091958117924864/91749353633115129*(-51/56+2*x)*(x-63/128)2+1116028016459427872768/30583117877705043*(113/112-2*x)*(x-419/896)2-10695174378955616256/1390141721713861*(x-419/896)*(x-63/128)2-11288929969426923520/1390141721713861*(x-63/128)*(x-419/896)2 0.4676<

29、x<0.4922 Sx = 2232056032918855745536/61166235755409253*(-215/224+2*x)*(x-463/896)2+5109748108417545797632/183498707266227759*(237/224-2*x)*(x-63/128)2-22577859938853847040/2780283443427697*(x-63/128)*(x-463/896)2-19102396736613715968/2780283443427697*(x-463/896)*(x-63/128)2 0.4922<x<0.5167

30、Sx = 10219496216835091595264/141174061788594639*(-65/64+2*x)*(x-479/896)2+9112691572412518498304/141174061788594639*(487/448-2*x)*(x-463/896)2-76409586946454863872/5882252574524761*(x-463/896)*(x-479/896)2-18483686365463552000/5882252574524761*(x-479/896)*(x-463/896)2 0.5167<x<0.5346 Sx = 2803

31、905099203851845632/5429771607253539*(-475/448+2*x)*(x-487/896)2+5165088340638674452480/10083861556328001*(491/448-2*x)*(x-479/896)2-4620921591365888000/367640785907793*(x-479/896)*(x-487/896)2+1508454554874475264/367640785907793*(x-487/896)*(x-479/896)2 0.5346<x<0.5435 Sx = 2305843009213693952

32、0/3455776494575901*(-235/224+2*x)*(x-521/896)2+152185638608103800832/18814783137135461*(269/224-2*x)*(x-487/896)2+1508454554874475264/6640511695459569*(x-487/896)*(x-521/896)2+12413145765656442880/6640511695459569*(x-521/896)*(x-487/896)2 0.5435<x<0.5815 Sx = 1826227663297245609984/23529010298

33、098669*(-513/448+2*x)*(x-537/896)2+2047588592181760229376/23529010298098669*(545/448-2*x)*(x-521/896)2+3103286441414110720/367640785907793*(x-521/896)*(x-537/896)2+1463550859570462208/122546928635931*(x-537/896)*(x-521/896)2 0.5815<x<0.5993 Sx = 4095177184363520458752/47058020596198213*(-529/4

34、48+2*x)*(x-79/128)2+14130205960461516537856/141174061788594639*(561/448-2*x)*(x-537/896)2+70250441259382185984/5882252574524761*(x-537/896)*(x-79/128)2+65950649484600975360/5882252574524761*(x-79/128)*(x-537/896)2 0.5993<x<0.6172 Sx = 7065102980230758268928/100503799847543379*(-17/14+2*x)*(x-5

35、71/896)2+7766079255031721230336/100503799847543379*(145/112-2*x)*(x-79/128)2+65950649484600975360/7444725914632849*(x-79/128)*(x-571/896)2+55857837321506127872/7444725914632849*(x-571/896)*(x-79/128)2 0.6172<x<0.6373 Sx = 7766079255031721230336/29778903658531125*(-565/448+2*x)*(x-583/896)2+278

36、5458355130142294016/9926301219510375*(589/448-2*x)*(x-571/896)2+55857837321506127872/3308767073170137*(x-571/896)*(x-583/896)2+70453716399031435264/3308767073170137*(x-583/896)*(x-571/896)2 0.6373<x<0.6507五、 效果分析如上：前兩圖分別為三次樣條插值和雙三次插值的結(jié)果，第三個(gè)為兩種插值法對(duì)比截圖； 如上：兩圖分別為漢字魏的稀疏取點(diǎn)和簽名結(jié)果截圖；5.1效果對(duì)比 整體觀察，可以發(fā)現(xiàn)，

37、三次樣條插值的簽名比較圓潤(rùn)，而雙三次插值的簽名比較硬朗。 在前三個(gè)圖中，從第三個(gè)圖可以看出：在下面的三個(gè)標(biāo)注的紅色圈處，雙三次插值效果要比三次樣條插值好，而且不難發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)地點(diǎn)都是字母與字母的連接處。雙三次插值能夠快速實(shí)現(xiàn)連接，而樣條插值在字母連接處處理較慢。在上面標(biāo)注的紅色圈處可以看出三次樣條插值光滑度明顯優(yōu)于雙三次插值。從后兩個(gè)漢字簽名圖可以觀察到：簽名點(diǎn)數(shù)比較稀疏的情況下，雙三次插值能夠出色完成簽名任務(wù)，得到較理想效果，而雙三次樣條插值字跡比較草，亂，不如雙三次插值字跡工整。5.2結(jié)果解釋在理論分析中，我們已經(jīng)提到，三次樣條插值有二階光滑度，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這是它的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)某點(diǎn)與前面點(diǎn)

38、產(chǎn)生較大偏差時(shí)，如字母e的頂點(diǎn)與前面w上的點(diǎn)相比偏差過大，三次樣條插值算法會(huì)找出二階連續(xù)曲線去穿過這點(diǎn)，所以導(dǎo)致它在簽名的 字母與字母的過度階段處理不夠直接。而雙三次插值不具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，它對(duì)于上述偏差，視而不見，所以能夠快速實(shí)現(xiàn)字母之間的過度，這是它優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也是不足之處，它不能簽出較圓潤(rùn)的字體。所以，如果做單個(gè)字母的簽名，建議用三次樣條插值算法，做較多字母的簽名用雙三次插值好些。同時(shí)取點(diǎn)稀疏的簽名也建議用雙三次插值做。六、 附錄：程序如下：function out1,out2,out3 = myginput(arg1)%GINPUT Graphical input from mo

39、use.% X,Y = GINPUT(N) gets N points from the current axes and returns % the X- and Y-coordinates in length N vectors X and Y. The cursor% can be positioned using a mouse (or by using the Arrow Keys on some % systems). Data points are entered by pressing a mouse button% or any key on the keyboard exc

40、ept carriage return, which terminates% the input before N points are entered.% X,Y = GINPUT gathers an unlimited number of points until the% return key is pressed.% % X,Y,BUTTON = GINPUT(N) returns a third result, BUTTON, that % contains a vector of integers specifying which mouse button was% used (

41、1,2,3 from left) or ASCII numbers if a key on the keyboard% was used.% Copyright 1984-2004 The MathWorks, Inc.% $Revision: 5.32.4.3 $ $Date: 2004/04/10 23:33:41 $out1 = ; out2 = ; out3 = ; y = ;c = computer;if strcmp(c(1:2),'PC') tp = get(0,'TerminalProtocol');else tp = 'micro

42、9;endif strcmp(tp,'none') & strcmp(tp,'x') & strcmp(tp,'micro'), if nargout = 1, if nargin = 1, out1 = trmginput(arg1); else out1 = trmginput; end elseif nargout = 2 | nargout = 0, if nargin = 1, out1,out2 = trmginput(arg1); else out1,out2 = trmginput; end if nargout

43、= 0 out1 = out1 out2 ; end elseif nargout = 3, if nargin = 1, out1,out2,out3 = trmginput(arg1); else out1,out2,out3 = trmginput; end endelse fig = gcf; figure(gcf); if nargin = 0 how_many = -1; b = ; else how_many = arg1; b = ; if isstr(how_many) . | size(how_many,1) = 1 | size(how_many,2) = 1 . | (

44、fix(how_many) = how_many) . | how_many < 0 error('Requires a positive integer.') end if how_many = 0 ptr_fig = 0; while(ptr_fig = fig) ptr_fig = get(0,'PointerWindow'); end scrn_pt = get(0,'PointerLocation'); loc = get(fig,'Position'); pt = scrn_pt(1) - loc(1), scr

45、n_pt(2) - loc(2); out1 = pt(1); y = pt(2); elseif how_many < 0 error('Argument must be a positive integer.') end end % Remove figure button functions state = uisuspend(fig); pointer = get(gcf,'pointer'); set(gcf,'pointer','fullcrosshair'); fig_units = get(fig,'

46、units'); char = 0; % We need to pump the event queue on unix % before calling WAITFORBUTTONPRESS drawnow while how_many = 0 % Use no-side effect WAITFORBUTTONPRESS waserr = 0; trykeydown = wfbp; catchwaserr = 1; end if(waserr = 1) if(ishandle(fig) set(fig,'units',fig_units); uirestore(st

47、ate); error('Interrupted'); else error('Interrupted by figure deletion'); end end ptr_fig = get(0,'CurrentFigure'); if(ptr_fig = fig) if keydown char = get(fig, 'CurrentCharacter'); button = abs(get(fig, 'CurrentCharacter'); scrn_pt = get(0, 'PointerLocati

48、on'); set(fig,'units','pixels') loc = get(fig, 'Position'); pt = scrn_pt(1) - loc(1), scrn_pt(2) - loc(2); set(fig,'CurrentPoint',pt); else button = get(fig, 'SelectionType'); if strcmp(button,'open') button = 1; elseif strcmp(button,'normal') button = 1; elseif strcmp(button,'extend') button = 2; elseif strcmp(button,'alt') button = 3; else error('Invalid mouse selection.') end end pt =