瞬時變化率—導數(shù)

1、3.1.2瞬時變化率導數(shù)學習目標：1.理解導數(shù)的概念和定義及導數(shù)的幾何意義(重點)2.理解運動在某時刻的瞬時變化率(瞬時速度)(難點)自 主 預 習·探 新 知1曲線上一點處的切線設曲線C上的一點P，Q是曲線C上的另一點，則直線PQ稱為曲線C的割線；隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C.當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點P處的切線2瞬時速度運動物體的位移S(t)對于時間t的導數(shù)，即v(t)S(t)3瞬時加速度運動物體的速度v(t)對于時間t的導數(shù)，即a(t)v(t)4導數(shù)設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)

2、上有定義，x0(a，b)，當x無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在點xx0處可導，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點xx0處的導數(shù)，記作f(x0)5導函數(shù)若函數(shù)yf(x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導，則f(x)在各點的導數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記作f(x)6函數(shù)yf(x)在點xx0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率基礎自測1判斷正誤：(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)值與x值的正、負無關()(2)在導數(shù)的定義中，x，y都不可能為零()(3)在導數(shù)的定義中，0.()【解析】(

3、1).x是自變量的增量，可正可負，函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)與它的正負無關(2)×.y可以為0，如常數(shù)函數(shù)(3)×.也可能是負數(shù)或0.【答案】(1)(2)×(3)×2函數(shù)f(x)x2在點(1,1)處切線的斜率是_【解析】k2x，當x0時，k2，故所求的切線的斜率是2.【答案】23一輛汽車運動的速度為v(t)t22，則汽車在t3秒時加速度為_【解析】6t，當t0時，6，故汽車的加速度為6.【答案】6合 作 探 究·攻 重 難求瞬時速度與瞬時加速度(1)一輛汽車按規(guī)律s2t23做直線運動，求這輛車在t2時的瞬時速度(時間單位：s，位移單位：m)(

4、2)設一輛汽車在公路上做加速直線運動，其在t s時的速度為v(t)t21，求汽車在t1 s時的加速度. 【導學號：95902184】思路探究(1).(2)【自主解答】(1)設這輛車在t2附近的時間變化量為t，則位移的增量s2(2t)23(2×223)8t2(t)2，82t，當t0時，8，所以這輛車在t2時的瞬時速度為8 m/s.(2)設這輛車在t1附近的時間變化量為t，則速度的增量v(1t)21(121)(t)22t，t2，當t0時，2，所以汽車在t1 s時的加速度為2.規(guī)律方法(1)求瞬時速度的步驟：求位移增量sS(t0t)S(t0)；求平均速率；求瞬時速度：當t趨近于0時，趨近于

5、v.(2)求瞬時加速度的步驟：求平均加速度；令t0，求瞬時加速度.跟蹤訓練1若一物體的運動方程為S7t28，則其在t_時的瞬時速度為1.【解析】因為7t14t0，所以當t0時，趨近于14t0，即14t01，t0.【答案】求函數(shù)在某一點處的導數(shù)求函數(shù)yx在x1處的導數(shù). 【導學號：95902185】思路探究方法一：先求y，再求出，令x0，可求f(1)，先求出f(x)，再求出f(x)在x1處的值方法二：先求出，當x無限趨于0時，即可求出f(x)在x1處的值【自主解答】方法一：y(1x)x1，當x0時，0，f(1)0.方法二：1，當x無限趨于0時，1無限趨近于1，即f(x)1，故f(1)0.函數(shù)yx

6、在x1處的導數(shù)為10.規(guī)律方法由導數(shù)的定義知，求一個函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的改變量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求當x0時，的值，即f(x0).跟蹤訓練2根據(jù)導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)求yx2在x1處的導數(shù)；(2)求yx25在點P處的導數(shù)【解】(1)y(1x)2122x(x)2，2x，當x無限趨近于0時，2x無限趨近于2，所以f(1)2.(2)y(2x)254x(x)2，4x，當x0時，4，故f(2).導數(shù)的幾何意義及應用探究問題1平均變化率的幾何意義是什么？【提示】平均變化率的幾何意義是過點P(x0，f(x0)和Q(x0x，f(

7、x0x)割線的斜率2在探究1中，若讓x0，割線PQ是如何變化的？【提示】當點Q沿著曲線無限接近點P，即x0時，割線PQ有一個極限位置PT，我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線3根據(jù)探究2的答案，導數(shù)的幾何意義是什么？【提示】函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線斜率kf (x0)4我們在初中學過圓的切線，圓是一種特殊曲線，圓的切線與圓只有一個公共點，其他曲線和它的切線也只有一個公共點嗎？【提示】曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以有無窮多個求雙曲線y過點的切線方程. 【導學號：95902186】思路探究由導數(shù)的幾何意義先

8、求出斜率，再求方程. 【自主解答】，當x0時，即kf(2).所以由直線方程的點斜式知切線方程為：y(x2)，即yx1.規(guī)律方法1求曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程即點P的坐標既適合曲線方程，又適合切線方程，若點P處的切線斜率為f(x0)，則點P處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲線yf(x)在點P處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)，可由切線定義確定切線方程為xx0.2若切點未知，此時需設出切點坐標，再根據(jù)導數(shù)的定義列關于切點橫坐標的方程，最后求出切點坐標或切線的方程，這種情況下求出的切線方程往往不止一條跟蹤訓練3已知直線y3xa和曲線yx3相切，求實數(shù)a的

9、值【解】設切點為M(x0，y0)，則3x3x0(x)(x)2，當x無限趨近于0時，3x3x0(x)(x)2無限趨近于3x.由題意得，3x3，解得x01或x01.所以切點坐標為(1,1)或(1，1)將點(1,1)代入直線y3xa，可得a2；將點(1，1)代入直線y3xa，可得a2.綜上可知，a2或a2.構(gòu)建·體系 當 堂 達 標·固 雙 基1設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2 (a，b為常數(shù))，則f(x0)_.【解析】ab·x，當x0時，a，f(x0)a.【答案】a2已知曲線yx3，則以點P(2,4)為切點的切線方程是_. 【導學號：95902187】【解析】x2(x2)x·x，當x0時，x2，所以f(x)x2，kf(2)4，切線方程為y44(x2)，即y4x4.【答案】y4x43設函數(shù)f(x)ax32，若f(1)3，則a_.【解析】3a3axa(x)2當x0時，3a，所以f(1)3a3，即a1.【答案】14.如圖3­1­3所示，函數(shù)yf(x)的圖象在點P處的切線方程是yx5，則f(3)f(3)_.圖3­1­3【解析】由導數(shù)的幾何意義知f(3)1，又f(3)352，f(3)f(3)2(1)3