空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、我把Introduction to flight 的第四章Basic aerodynamics略讀了一遍，提煉了其中的重點(diǎn)要點(diǎn)，將其總結(jié)在一起分享給同學(xué)們，希望對大家空氣動(dòng)力學(xué)的學(xué)習(xí)有所幫助。這個(gè)文檔內(nèi)容涉及的氣流都是無黏的（書134228頁），沒有包含黏性研究的部分。因?yàn)轭I(lǐng)域?qū)д摃鴮︷ば詻]怎么研究，基本都是只給結(jié)論，所以就不總結(jié)了。本文檔包括兩部分，一是一些基本方程，二是這些方程的一些應(yīng)用。我讀書只是蜻蜓點(diǎn)水，對一些公式的理解可能有錯(cuò)誤；寫的只是大致的推導(dǎo)過程，難免有不細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)之處；對一些英文的翻譯可能不標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)可能輸入有誤。希望大家批評指正、私下交流。真心希望我們共同為之潤色添彩，使其更

2、加準(zhǔn)確無誤。同時(shí)，大家有什么學(xué)習(xí)資料都記得共享啊，讓我們共同進(jìn)步！大家可以再看看領(lǐng)域?qū)д摃?，看了這個(gè)總結(jié)，再看書就比較簡單了。看書最好也看看例題，例題不僅是對公式的簡單應(yīng)用，而且有些還包含新的知識，能增進(jìn)我們對公式的理解。這些內(nèi)容只能算是一些變來變?nèi)サ暮唵未鷶?shù)問題，大家不要有壓力。不過有幾條注意事項(xiàng)：1、注意公式的限定條件，避免錯(cuò)誤地加以應(yīng)用。2、大物書上的理想氣體方程是Pv=mMRT，其中的R是普適氣體常量（universal gas constant），領(lǐng)域?qū)д摃系腜=RT是經(jīng)過變換的等價(jià)形式，其中的R是個(gè)別氣體常量(specific gas constant)，等于普適氣體常量R普適/

3、M，大家變一下馬上就懂了。2、談?wù)勎业囊粋€(gè)理解：本書中的研究好像不太強(qiáng)調(diào)質(zhì)量和體積，可能是因?yàn)榭諝鈩?dòng)力學(xué)研究沒必要也不方便強(qiáng)調(diào)。在一、基本方程7、能量方程的推導(dǎo)中，v=1/，這里的1應(yīng)理解為單位質(zhì)量，后面的能量方程中的12V2也包含單位質(zhì)量1，不然與h的量綱就不統(tǒng)一了；在二、公式應(yīng)用3、空速測定C、高速亞聲速流中，我們可以看出在本書中，Pv=RT，同樣把大物書上的狀態(tài)方程Pv=mMR普適T中的m當(dāng)成單位質(zhì)量1，并利用普適氣體常量和個(gè)別氣體常量的關(guān)系R個(gè)別=R普適/M，即可推出Pv=RT。 3、本書中涉及到比熱（specific heat），用cv（對于等體過程）和cp（對于等壓過程）在表示。我

4、們在大物中也學(xué)有cv和cp，不過它們不一樣，不要混淆。大物中那兩個(gè)是摩爾熱容（molar heat capacity），分別為定體摩爾熱容（molar heat capacity at constant volume）和定壓摩爾熱容（molar heat capacity at constant pressure）。對比起來有（下式中R個(gè)指個(gè)別氣體常量，R普指普適氣體常量，i指分子自由度，指熱容比）：比熱 摩爾熱容cv=i2R個(gè)，cp=i+22 R個(gè) cv=i2R普，cp=i+22 R普cp- cv= R個(gè) cp- cv= R普=cpcv=i+2i =cpcv=i+2i4、小寫v代表體積，大寫

5、V代表速度，注意區(qū)分，其他字母符號的意義大家應(yīng)該都能弄懂。一、 基本方程1、 連續(xù)方程dm1=1 dv1=1A1V1 dt =2A2V2 dt=dm2則1A1V1 =2A2V2即AV=const對于不可壓縮流，1=2，則A1V1= A2V22、 歐拉方程（忽略了黏性和重力）在一個(gè)邊長分別為dx dy dz的長方體流體元的x方向進(jìn)行研究，忽略重力和黏性，朝向x正方向的力為P dy dz壓強(qiáng)的變化率為dPdx則朝向x負(fù)方向的力為(P+dPdxdx) dy dz則合力F=P dy dz - (P+dPdxdx) dy dz=- dPdx(dx dy dz)又m= dv=(dx dy dz)，a=dV

6、dt=dVdxdxdt=dVdxV由F=ma化簡得dP=-V dV3、 伯努利方程（忽略了黏性和重力，適用于不可壓縮流）對于不可壓縮流，不變，對歐拉方程進(jìn)行積分，易得P1+12V12= P2+12V22即P+12V2在一條流線上是常量，其中12V2就是傳說中的動(dòng)壓，用q表示，對于不可壓縮流，P+12V2等于總壓，我們在方程的應(yīng)用中會再提及。4、 關(guān)于熱力學(xué)第一定律系統(tǒng)的內(nèi)能增量=外界傳熱+外界做功，即de=q +w其中w=-P dv(壓縮，所以v減小，dv是負(fù)值，所以有負(fù)號)則q=de+P dv定義焓h=e+Pv做微分得dh=de+v dP + P dv與上式一起消去de得q=dh- v dP

7、5、 內(nèi)能與焓定義比熱（specific heat）c=qdT，即系統(tǒng)增加單位溫度所吸收的熱量等體過程的比熱寫作cv，等壓過程的比熱寫作cp對于等體過程dv=0代入q=de+P dv可得de=q=cv dT從e=0和T=0積分得e= cvT我們在大物中學(xué)的是e=mMi2R普T，m還是要當(dāng)做單位質(zhì)量1，推出e=i2R個(gè)T= cvT。因此，它們是等價(jià)的。對于等壓過程dP=0代入q=dh- v dP則dh=q=cp dT從h=0和T=0積分得h= cpTde=cv dT，e= cvT，dh=cp dT，h= cpT四式雖然是從等體過程和等壓過程推出的，但對于理想氣體是普遍適用的。6、 等熵過程（適用

8、于等熵過程）對于等熵流（絕熱可逆）q=0代入q=de+P dv和q=dh- v dP則-P dv=de = cv dT，v dP=dh= cp dT兩式相除得dPP=-dvv其中定義了熱容比=cp/cv對于空氣，=1.4，應(yīng)該是因?yàn)榭諝獾慕^大部分是氮?dú)夂脱鯕?，都是雙原子分子，分子自由度i=5，根據(jù)大物中學(xué)的熱容比=i+2i，可得=1.4。再積分P1P2dPP=-v1v2dvv得P2P1=(v2v1)-把體積換成密度得P2P1=(21)同時(shí)借助狀態(tài)方程=P/(RT)在有的那個(gè)式子中消去或借助我們熟悉的形式（大物書上的）Pv=mMRT在有v的那個(gè)式子中消去v可得P2P1=（T2T1）/(-1)總結(jié)

9、：P2P1=(21)=（T2T1）/(-1)，即P-=常量，P-1T-=常量把大物書上的式子中的體積換為密度，就跟這個(gè)完全一樣了7、 能量方程（適用于無黏）對于絕熱過程q=dh- v dP=0代入歐拉方程dP=-V dV得dh+vV dV=0v=1/（這里的v應(yīng)理解為單位質(zhì)量的體積）則dh+V dV=0做積分得h1+12V21= h2+12V22，即h+12V2=常量代入h= cp T得cp T1+12V21= cp T2+12V22，即cp T+12V2=常量對于非絕熱過程q0可得q=dh+ V dV做積分12q=h1h2dh+V1V2VdV得h1+12V21+Q12= h2+12V22也可

10、寫為cp T1+12V21+ Q12= cp T2+12V228、 一個(gè)重要結(jié)論對于等熵流，總溫T0，總壓P0，總密度0是定值總溫（total temperature），總壓（total pressure），總密度（total density）定義：Total temperature/pressure/density at a given point in a flow is the temperature/pressure/density that would exist if the flow were slowed down isentropically（等熵地） to zero vel

11、ocity二、 公式應(yīng)用1、 聲速公式的推導(dǎo)由于聲波穿過氣流與氣流以聲速穿過聲波等價(jià)，因此可用后者來研究在聲波兩側(cè)，設(shè)氣流壓強(qiáng)分別為P和P+dP密度和+d溫度T和T+dT速度a和a+da應(yīng)用連續(xù)方程有A1a=（+d）A2（a+da）A1=A2，則a=（+d）（a+da）展開，再忽略無窮小量dda,可得a=-dad代入歐拉方程dP=-a da，即da=-dPa可得a2=dPd通過聲波的氣流是等熵流，則P/=const=c因此dPd=ddc=c-1代入c= P/,得a2=P對于理想氣體，可以再代入狀態(tài)方程P=RT最終得出a=RT可以看出，理想氣體中的聲速僅與溫度有關(guān)2、 低速亞聲速風(fēng)洞設(shè)Settl

12、ing chamber（reservoir）和Test section的氣流速度分別為V1，V2壓強(qiáng)分別為P1，P2面積分別為A1，A2通過低速亞聲速風(fēng)洞的氣流可以看作不可壓縮流，由連續(xù)方程和伯努利方程可得V1=A2A1 V2 ，P1+12V12= P2+12V22聯(lián)立兩式消去V1，可得V2=2（P1-P2）1-A2A1 2 A2/A1對于給定風(fēng)洞是定值，要想調(diào)節(jié)Test section的速度大小，可以調(diào)節(jié)P1-P2。以前人們用U型管分別連接Settling chamber（reservoir）和Test section來測P1-P2，現(xiàn)在我們工藝先進(jìn)，通過壓力傳感器實(shí)現(xiàn)3、 空速測定A、 設(shè)

13、備：總壓管（Pitot tube），空速管（Pitot-static tube）B、 對于低速亞聲速流(M<0.3)在上圖中空速管上的A點(diǎn)壓強(qiáng)為靜壓P，速度為V1在B點(diǎn)壓強(qiáng)為總壓P0，速度為0應(yīng)用伯努利方程得P0= P+12V12可得V1=2（P0- P）定義動(dòng)壓q=12V2（此定義式對所有氣流都成立）可得P0= P+q（注意此式和P0= P+12V12只對不可壓縮流成立）可見：只要設(shè)法獲得P0- P和的值，就能求出速度，P0- P的測定通過空速管或總壓管可以實(shí)現(xiàn)。對于，若使用真值（true value，即設(shè)法測的飛機(jī)周圍的），則獲得真實(shí)空速（true airspeed）Vtrue=2（

14、P0- P）但是測定飛機(jī)周圍的比較難，所以低速飛機(jī)計(jì)算時(shí)都是用的標(biāo)準(zhǔn)海平面密度s，獲得當(dāng)量空速（equivalent airspeed）Ve=2（P0- P）s其實(shí)當(dāng)量空速有更深層次的意義：Consider an airplane flying at some true airspeed at some altitude .Its equivalent airspeed at this condition is defined as the velocity at which it would have to fly at standard sea level to experience th

15、e same dynamic pressure.給定了當(dāng)量空速，就相當(dāng)于給定了動(dòng)壓。當(dāng)量空速的概念十分重要，在研究飛行表現(xiàn)時(shí)很有用。C、 對于高速亞聲速流（0.3<M<1）由h=e+Pv=e+RT,即cpT=cvT+RT可得cp-cv=R根據(jù)= cp/ cv可得cp=R-1氣流在空速管或總壓管前的探針前的停滯點(diǎn)（stagnation point）處從最開始溫度T1和速度V1的狀態(tài)等熵靜止,速度變?yōu)?，因此溫度為總溫（total temperature）T0，壓強(qiáng)為總壓（total pressure）P0，在此過程應(yīng)用能量方程得cpT1+12 V12= cpT0變換等式可得T0T1=

16、1+V122cpT1代入cp=R-1可得T0T1=1+-12V12RT1又聲速a12=RT1則T0T1=1+-12V12a12=1+-12M12(只要求是絕熱過程)結(jié)合等熵過程方程P0P1=(01)=（T0T1）/(-1)可得P0P1=（1+-12M12）/(-1)，01=（1+-12M12）1/(-1)（要求是等熵過程）由上式可得M12=2-1(P0P1)(-1)/-1因此，通過總壓和靜壓的比值可以直接求出馬赫數(shù)代入M1=V1/a1則V12=2a12-1(P0P1)(-1)/-1也可寫為V12=2a12-1(P0-P1P1+1)(-1)/-1因?yàn)閷?shí)踐中一般獲得P0-P1,所以上式用得較多而且

17、，由于T難以測量，即a難以獲得，靜壓P1也難測，所以高速亞聲速飛機(jī)一般用標(biāo)準(zhǔn)海平面的聲速和壓強(qiáng)as和Ps代入上式。airspeed indicator會感應(yīng)P0-P1的值。從而獲得校正空速（calibrated airspeed）Vcal2=2as2-1(P0-P1Ps+1)(-1)/-1D、 對于超聲速流在超聲速流中，物體前會產(chǎn)生激波（shock wave），在一個(gè)流體元穿越激波前后：馬赫數(shù)減小靜壓增加靜溫增加速度減小總壓減小總溫不變由于激波的產(chǎn)生（產(chǎn)生的大致原理在P206），穿越激波的氣流不是等熵流。空速測定的理論非常復(fù)雜，書上只給了最后結(jié)果，稱為Rayleigh Pitot tube f

18、ormula:P02P1=+12M124M12-2(-1）/(-1)1-+2M12+1其中，P02為激波后的總壓，P1為自由流靜壓,由飛機(jī)表面的靜壓孔（static pressure orifice）測量，由此推出馬赫數(shù)。若想推出空速，還需要其他信息。4、 超聲速風(fēng)洞和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)由連續(xù)方程知AV=const取對數(shù)再做微分，得d+dAA+dVV=0由歐拉方程dP=-V dV得=-dPV dV 代入上式，可得-dV dVdP+dAA+dVV=0由于氣流是等熵流,所以ddP=1dPdisentropic=1a2代入上式，可得dAA=(V2 a2-1) dVV即dAA=(M2-1) dVV稱為area

19、-velocity relation由此關(guān)系式可知：對于亞聲速流（M<1），要使速度增加，面積必須減小對于超聲速流（M>1），要使速度增加，面積必須增大若M=1dVV=1M2-1dAA=10dAA咋一看dVV無限大了，不過顯然dVV是有限大的，因此：需使dAA=0，構(gòu)成0/0型不定型極限，以此來使得dVV的值為有限大反過來可以看出：當(dāng)dA/A=0時(shí)，M=1，即stream tube有最小面積時(shí)，M=1，稱此處為throatTherefore ,to expand a gas to supersonic speeds，starting with a stagnant gas in a reservoir，the preceding discussion that a duct of