待定系數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的一類重要應(yīng)用

1、待定系數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的一類重要應(yīng)用鄒廣安（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南開封 475004）摘 要：利用待定系數(shù)法，結(jié)合泰勒公式證明了高等數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，并且在教學(xué)中對(duì)這種方法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐茝V和應(yīng)用。關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法；高等數(shù)學(xué)；泰勒公式 待定法是數(shù)學(xué)中的一種重要的、常用的解題方法，文1-2中討論了待定法在高等數(shù)學(xué)以及高等代數(shù)教學(xué)中的一些重要應(yīng)用，使得一些問題由難變易，化繁為簡。筆者利用待定系數(shù)法，結(jié)合泰勒公式巧妙地證明了高等數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，并且在教學(xué)中對(duì)這種方法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐茝V，啟發(fā)學(xué)生解決問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)3，證明：.證 明 由泰勒

2、公式有，于是，我們有 ， (1)其中為待定系數(shù)，令解得.因此，上(1)式變?yōu)?，即?令，命題得證。例2 (北京師范大學(xué)1998年研究生入學(xué)考試題4)設(shè)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且,.證明：,. 證 明 同上題有.由于，所以，.令，故有.例3 （數(shù)學(xué)II，2002年考研題）設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,.證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得是比高階的無窮小。證 明 由泰勒公式易得， ，.于是，我們有 ，我們?nèi)〗夥匠探M得：.因此，原表達(dá)式變?yōu)?則結(jié)論顯然成立。例4 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于任意的.證明：數(shù)值微分公式5.證 明 由泰勒公式有 ， ，因此，我們有 ，其中為待定系數(shù)，我們

3、取解方程組得：，因此我們有 .故命題顯然成立。同理，我們易得 （2）（3） 通過上面幾個(gè)例題的證明，我們巧妙地解決了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的一些微妙關(guān)系問題，探討了待定系數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的一類重要應(yīng)用，其實(shí)，待定系數(shù)法在微分方程理論中有著不可取代的作用，例如，差分格式構(gòu)造過程中的差分近似7、等（同上（2）,（3）式的巧妙證法）的設(shè)計(jì)，法，加權(quán)余量法，有限元法7等方面都起著舉足輕重的作用。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入地思考，這對(duì)學(xué)生的后續(xù)研究學(xué)習(xí)過程有很大的幫助。 參考文獻(xiàn)1劉喜云.待定法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,15(3),90-92.2杜貴春.待定法在“高等代數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用J.高等數(shù)學(xué)研究,2007,10(1),38-393華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.133.4錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.湖北:湖北辭書出版社,2003.177.5王能超.數(shù)值分析簡明教程M.北京:高等教育出版社,2003.94.6戴嘉尊,邱建賢.微分方程數(shù)值解法M.南京:東南大