安徽工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué) A教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué) A教學(xué)大綱一、課程簡介1、課程名稱： 高等數(shù)學(xué) A1A2（Higher Mathematics A1A2）2、課程編號(hào)： 063040010023、課程類型： 基礎(chǔ)課（必修）4、學(xué) 時(shí)： 176 學(xué)分： 115、開課學(xué)期： 126、開課對(duì)象： 全校工（本）科各專業(yè)（除化學(xué)、化工等專業(yè)）7、先修課程： 無8、參考教材： 高等數(shù)學(xué)（第五版） 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編 高等教育出版社 2002 年 7 月二、課程性質(zhì)、目的與任務(wù)高等數(shù)學(xué)課程是高等工科學(xué)校教學(xué)計(jì)劃中的一門重要基礎(chǔ)理論課。其教學(xué)目的是使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分（包括向量 代數(shù)與空間解析幾何）與常微分方程的基本知識(shí)，必要的基礎(chǔ)理論和

2、常用的運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力、抽象 思維能力、邏輯推理能力、幾何直觀和空間想象能力，從而使學(xué)生受到數(shù)學(xué)分析法和運(yùn)用這些方法解決幾何、力學(xué)和物理等 實(shí)際問題的初步訓(xùn)練，為后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)打下必要的基礎(chǔ)。其任務(wù)是教會(huì)學(xué)生掌握一元函數(shù)微積分，多元函 數(shù)微積分，向量代數(shù)與空間解析幾何，無窮級(jí)數(shù)，常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算能力。 三、教學(xué)基本內(nèi)容與基本要求1、一元函數(shù)理解函數(shù)概念，熟悉函數(shù)符號(hào) f (x) 的意義和用法；了解函數(shù)的特性；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念；掌握基本初等函 數(shù)的性質(zhì)和圖形；熟悉分段函數(shù)。重點(diǎn)：函數(shù)概念，基本初等函數(shù)圖形，分段函數(shù)。2、極

3、限 了解極限定義，并在學(xué)習(xí)過程中逐步加深理解；能正確地應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則；了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則；會(huì)用兩個(gè)重要極限求一般簡單未定式的極限，對(duì)于未定式求極限不必做過多的練習(xí)；了解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比 較的有關(guān)概念（特別是高階無窮小與等價(jià)無窮小）。重點(diǎn)：極限的概念及計(jì)算，無窮小的概念及運(yùn)算3、一元函數(shù)連續(xù) 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、間斷的概念；知道函數(shù)的連續(xù)性與極限的關(guān)系；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最小值最大值定理和介值定理）。 重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分 理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能用導(dǎo)數(shù)描述一

4、些物理量；了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則（包括微分形式不變性），熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練計(jì)算初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。了解高階導(dǎo)數(shù) 的概念；掌握隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與微分的概念，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。5、中值定理 理解羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理；會(huì)應(yīng)用拉格朗日定理；會(huì)正確用羅必塔法則求未定式的極限。重點(diǎn)：拉格朗日定理，羅必塔法則。6、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 理解函數(shù)的極值概念。掌握求函數(shù)的極值，掌握利用一階及二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性，判斷曲線的凹向，求曲線的拐點(diǎn)等方法；能解決應(yīng)用中的簡單的最大值和最小值問題；知道曲

5、率和曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算；關(guān)于曲線的漸近線主要 為豎直的和水平的，并能描繪函數(shù)的圖形。重點(diǎn)：函數(shù)的增減性和極值，應(yīng)用中的最大值和最小值問題。7、不定積分 理解原函數(shù)與不定積分的概念；熟記基本積分公式，熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法；掌握簡單有理函數(shù)，三角函數(shù)有理式的積分，知道簡單無理式的積分法（對(duì)于化有理真分式為部分分式可只講結(jié)論而不必證明）。 重點(diǎn)：不定積分的概念，換元積分法及分部積分法。8、定積分 理解定積分的概念；熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法；理解定積分作為變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理和牛頓萊布尼茲公式及它們的應(yīng)用；了解廣義積分的概念，并會(huì)計(jì)算。 重點(diǎn)：定積分概念及計(jì)

6、算，定積分作為變上限函數(shù)牛頓萊布尼茲公式。9、定積分的應(yīng)用 了解定積分應(yīng)用的意義；能正確用元素法將一些幾何量（如：面積、體積、弧長等），物理量（如：功、壓力等）表達(dá)成定積分。 重點(diǎn)：元素法10、空間解析幾何與向量代數(shù) 正確理解向量的意義，熟悉向量的線性運(yùn)算；正確理解向量的數(shù)量積，向量積的概念，并掌握運(yùn)算法則；熟練掌握向量的坐標(biāo)表達(dá)式，要求用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積等運(yùn)算；了解直線與平面方程的各種形式及 相互轉(zhuǎn)化方法；熟練掌握直線與直線，平面與平面，平面與直線之間的垂直、平行條件，并會(huì)運(yùn)用這些關(guān)系建立直線與平面 方程；熟悉標(biāo)準(zhǔn)二次曲面方程與圖形，并能描出標(biāo)準(zhǔn)二次曲面及它們

7、所圍成的簡單立體草圖；學(xué)會(huì)建立空間曲線在坐標(biāo)面上 的投影柱面及投影曲線方程。11、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念，及在有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念等，知道全微分存在的必要條件和充分條件；熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求二階偏導(dǎo)數(shù)。會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；了解曲線 的切線與法平面及曲面的切平面與法線的概念，并掌握其求法；理解多元函數(shù)的極值及條件極值的概念，會(huì)求極值，會(huì)用拉 格朗日乘數(shù)法求條件極值，并會(huì)求解一些較簡單的實(shí)際問題中的最大值和最小值問題。重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)及全微分概念，復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，極值及條件極值。12、重積分 理解二重及

8、三重積分概念，知道重積分的性質(zhì)；熟練掌握二重積分計(jì)算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)），掌握三重積分計(jì)算法（直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)）；能用二重、三重積分表達(dá)一些幾何及物理量（如體積、質(zhì)量、重心等）。 重點(diǎn)：二重積分及三重積分的概念及其計(jì)算法。13、曲線積分與曲面積分 理解兩類曲線積分的概念，知道兩類積分的性質(zhì)；掌握兩類曲線積分的計(jì)算法；熟練掌握格林公式，并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；知道兩類曲面的積分的概念及高斯公式、，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分（但對(duì)利用斯托克斯公式計(jì)算， 不作要求）；能應(yīng)用曲線積分及曲面積分來表達(dá)一些幾何與物理量（如體積、質(zhì)量、重心等）。重點(diǎn)：曲線積分與曲面積分的概念及計(jì)算，格林公式

9、及平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。14、級(jí)數(shù) 理解級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念，知道級(jí)數(shù)的和的概念；了解級(jí)數(shù)收斂的必要條件，知道級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。熟悉幾何級(jí)數(shù)和 P 級(jí)的收斂性；熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法。并能利用幾何級(jí)數(shù)，P級(jí)數(shù)與其進(jìn)行比 較以判定其斂散性；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲準(zhǔn)則，并能估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差；了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概 念，運(yùn)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判定其發(fā)散性，會(huì)利用級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性判定其收斂性；知道冪級(jí)數(shù)在其收斂及和函數(shù)的概念。 熟練掌握較簡單冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；知道冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；知道函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)及函數(shù)的泰勒級(jí) 數(shù)收斂到該

10、函數(shù)的充要條件；掌握 ex, sinx, cosx, ln (1 + x), (1 + x)m 的麥克勞林展式；能將一些簡單的函數(shù)用間接方法展成冪 級(jí)數(shù)；知道怎樣用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行一些近似計(jì)算。重點(diǎn)：級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，級(jí)數(shù)的和，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，比值判斂法及比較判斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，冪 級(jí)數(shù)的和函數(shù)，函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的間接方法。15、傅里葉級(jí)數(shù)知道函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的充分條件收斂定理；能將定義在 ， 上或 l, l 上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，能將定義在 0，上或 0，l 上的函數(shù)展開成正弦或余弦級(jí)數(shù)。重點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理。16、常微分方程 了解微分方程基本概念；會(huì)識(shí)別變量可分離方程，

11、齊次方程，一階線性方程，伯努利方程和全微分方程，并熟練掌握 變量可分離 方程及一階線性方程的解法；會(huì)解齊次方程和貝努利方程，并通過解法了解用變量代換法求解方程的思想；會(huì) 解較簡單的全微分方程；知道幾種特殊的高階方程的降階法；掌握二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；熟練掌握二階線性常系數(shù)齊 次方程的解法并知道高階線性常系數(shù)齊次方程的解法；掌握自由項(xiàng)為：f (x) = Pm(x) e x，f (x) = e xPl(x)cosx +Pn(x)sinx 的二階線性常系數(shù)非齊次方程的解法；知道微分方程 的冪級(jí)數(shù)解法；會(huì)用微分方程解決一些簡單的幾何及物理問題。重點(diǎn)：微分方程的一些基本概念，變量可分離方程，一階線性

12、方程，二階線性常系數(shù)齊次及非齊次的微分方程的解法。四、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配本課程主要講授一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分，向量代數(shù)與空間解析幾何，無窮級(jí)數(shù)，常微分方程。 1、 一元函數(shù)微積分內(nèi)容講授約 76 學(xué)時(shí)；2、 向量代數(shù)與空間解析幾何內(nèi)容講授約 14 學(xué)時(shí)； 3、 多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容講授約 48 學(xué)時(shí)； 4、 無窮級(jí)數(shù)內(nèi)容講授約 20 學(xué)時(shí)；5、 常微分方程內(nèi)容講授約 18 學(xué)時(shí)。（教學(xué)要求：A熟練掌握；B掌握；C了解）五、實(shí)習(xí)、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目及學(xué)時(shí)分配：無六、教學(xué)方法與教學(xué)手段：利用啟發(fā)式、討論式、研究式等教學(xué)方法和多媒體、黑板演算等教學(xué)手段進(jìn)行課堂教學(xué)。七、參考書目1、高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上

13、、下） 吳輔山等 成都電子科技大學(xué)出版社 20022、高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)書 同濟(jì)大學(xué) 高等教育出版社 3、高等數(shù)學(xué) 上海交通大學(xué) 高等教育出版社 4、高等數(shù)學(xué)習(xí)題集 同濟(jì)大學(xué) 高等教育出版社 19945、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)胡宗義 吳輔山 施法鵬等 安徽大學(xué)出版社 2000 6、微積分同濟(jì)大學(xué) 高教教育出版社7、Matuematica 3.0 軟件使用指南 竇萬峰 鄭洪興 張子瑜 華中理工大學(xué)出版社八、大綱編寫的依據(jù)與說明：高等數(shù)學(xué) A 的教學(xué)大綱是根據(jù)國家工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會(huì)所制定的“工科高等數(shù)學(xué)的基本要求”，結(jié)合我校工科專業(yè) 的特點(diǎn)制定的。制定教學(xué)大綱的指導(dǎo)思想：隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是高新技術(shù)的迅猛發(fā)展，對(duì)現(xiàn)代科技人才的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié) 構(gòu)、能力、綜合素養(yǎng)等方面都提出了更高的要求，高等數(shù)學(xué)是工科大學(xué)生的十分重要的基礎(chǔ)理論課程，從高等教育發(fā)展的綜 合性及終身性趨勢(shì)來看，高等數(shù)學(xué)不僅是學(xué)習(xí)其它課程的基礎(chǔ)，還是整個(gè)大學(xué)教育的一個(gè)基礎(chǔ)，甚至是終身接受教育的一個(gè) 基礎(chǔ)。目前，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中仍存在如下問題：重知識(shí)的傳輸，輕能力的培養(yǎng)；重技巧的訓(xùn)練，輕數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)；重理論