常用的因式分解公式

1、常用的因式分解公式：           待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例1 分解因式：x2

2、+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問(wèn)題得到解決解 設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說(shuō)明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根法，若原式有有理

3、根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 設(shè)原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說(shuō)明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無(wú)法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法

4、運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地求根法(因式分解)我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如   f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x) f(1)=12-3×我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5

5、+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地

6、，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2

7、x+2)解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說(shuō)明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因?yàn)?的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1， 為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x

8、-2)(x2+1)說(shuō)明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了雙十字相乘法(因式分解)分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上

9、式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可 分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=

10、(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列

11、構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說(shuō)明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似筆算開(kāi)平方對(duì)于一個(gè)數(shù)的開(kāi)方，可以不用計(jì)算機(jī)，也不用查表，直接筆算出來(lái)，下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何筆算開(kāi)平方，對(duì)于其它數(shù)只需模仿即

12、可 例 求316.4841的平方根.第一步,先將被開(kāi)方的數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗號(hào)，分段，如把數(shù)316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過(guò)第一段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3，初商為1，因?yàn)?2=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.第四步，找出試商，使(20×初商+試商)×試商不超過(guò)第一余數(shù)，而【20×初商+(試商+1)】×(試商+1)則大于第一余數(shù).第五步，把第一

13、余數(shù)減去(20×初商+試商)×試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)，本例中試商為7，第二余數(shù)為2748.依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開(kāi)方運(yùn)算告結(jié)束.若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零，則只能取某一精度的近似值.第六步，定小數(shù)點(diǎn)位置，平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下：根式的概念【方根與根式】 數(shù)a的n次方根是指求一個(gè)數(shù)，它的n次方恰好等于a.a的n次方根記為(n為大于1的自然數(shù)).作為代數(shù)式，稱為根式.n稱為根指數(shù)，a稱為根底數(shù).在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方，一個(gè)正數(shù)開(kāi)偶次方有兩個(gè)方根，其絕對(duì)值相同，符號(hào)相反. 【算術(shù)根】 正數(shù)的正方根

14、稱為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為零.【基本性質(zhì)】 由方根的定義，有根式運(yùn)算【乘積的方根】 乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過(guò)來(lái)，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即0,b0)【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即0,b>0)【根式的乘方】 0)【根式化簡(jiǎn)】0)0,d0)0,d0)【同類根式及其加減運(yùn)算】 根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運(yùn)算加以合并.進(jìn)位制的基與數(shù)字任一正數(shù)可表為通常意義下的有限小數(shù)或無(wú)限小數(shù)，各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右移一位時(shí)其值擴(kuò)大10倍，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移一位時(shí)其值縮小10倍.例如一般地，

15、任一正數(shù)a可表為這就是10進(jìn)數(shù)，記作a(10)，數(shù)10稱為進(jìn)位制的基，式中ai在0,1,2,L,9中取值，稱為10進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯然沒(méi)有理由說(shuō)進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在取q為任意大于1的正整數(shù)當(dāng)作進(jìn)位制的基，于是就得到q進(jìn)數(shù)表示 (1)式中數(shù)字ai在0,1,2,.,q-1中取值，anan-1.a1a0稱為q進(jìn)數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作a(q);a-1a-2 .稱為a(q)的分?jǐn)?shù)部分，記作a(q).常用進(jìn)位制，除10進(jìn)制外，還有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等，其數(shù)字如下 2進(jìn)制 0, 1 8進(jìn)制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716進(jìn)制 0, 1, 2,

16、 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換1 q10轉(zhuǎn)換 適用通常的10進(jìn)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則，根據(jù)公式(1)，可以把q進(jìn)數(shù)a(q)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示.例如2 10q轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換時(shí)必須分為整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行.對(duì)于整數(shù)部分其步驟是：(1) 用q去除a(10)，得到商和余數(shù).(2) 記下余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字.(3) 用商替換a(10)的位置重復(fù)(1)和(2)兩步，直到商等于零為止.對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：(1)用q去乘a(10). (2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.(3)用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換a(10)的位

17、置，重復(fù)(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324.(8)整數(shù)部分的草式分?jǐn)?shù)部分的草式3 pq轉(zhuǎn)換 通常情況下其步驟是：a(p)a(10)a(q).如果p,q是同一數(shù)s的不同次冪，其步驟是：a(p)a(s)a(q).例如，8進(jìn)數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16進(jìn)數(shù)時(shí)，由于8=23，16=24，所以s=2，其步驟是：首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字根據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起(左和右)每四位一組分組

18、，從16-2轉(zhuǎn)換表中逐個(gè)記下對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即正多邊形各量換算公式n為邊數(shù) R為外接圓半徑 a為邊長(zhǎng) 爎為內(nèi)切圓半徑為圓心角 S為多邊形面積重心G與外接圓心O重合正多邊形各量換算公式表 各量 正三角形n為邊數(shù) R為外接圓半徑a為邊長(zhǎng) 爎為內(nèi)切圓半徑為圓心角 S為多邊形面積重心G與外接圓心O重合正多邊形各量換算公式表各量正三角形正方形正五邊形正六邊形正n邊形圖形SaRRar或許你還對(duì)作圖感興趣：正多邊形作圖所謂初等幾何作圖問(wèn)題，是指使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)作圖.若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可能，或者說(shuō)歐幾里得作圖法是可能的，否則稱為作圖不可能.很多平面圖形

19、可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問(wèn)題，即給出一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則：作圖可能的充分必要條件是，這個(gè)作圖問(wèn)題中必需求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過(guò)有限次有理運(yùn)算及開(kāi)平方運(yùn)算而算出.幾千年來(lái)許多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問(wèn)題”： 立方倍積問(wèn)題，即作一個(gè)立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積. 三等分角問(wèn)題，即三等分一已知角. 化圓為方問(wèn)題，即作一正方形，使它

20、的面積等于一已知圓的面積.后來(lái)已嚴(yán)格證明了這三個(gè)問(wèn)題不能用尺規(guī)作圖.代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問(wèn)題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、 求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法下面結(jié)合例題逐一介紹1利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用分析 x的值是通過(guò)一個(gè)一元二次方程給出的，若解出x后，再求值，將會(huì)很麻煩我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件解 已知條件可變形為3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+1

21、0x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1說(shuō)明 在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式的值，這時(shí)要盡可能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答例2 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1，求a+b+c的值 解 將式因式分解變形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0若bc+ac+ab=0，則(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=

22、7;1所以a+b+c的值為0，1，-1說(shuō)明 本題也可以用如下方法對(duì)式變形：即前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將3拆成1+1+1，最終都是將式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形式2利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m0，求x2+y2的值解 因?yàn)閤+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值分析 將x，y的值直接代入計(jì)算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x，y的值正好是一對(duì)共軛無(wú)理數(shù)，所以很容易計(jì)算出x+y與xy的值，由此得到以下解法解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3設(shè)參

23、數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來(lái)替換，這叫換元法分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式x(a-b)k，y(b-c)k，z(c-a)k所以x+y+z=(a-b)k(b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1，由有把兩邊平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u(píng)2+v2+w2=1，即兩邊平方有所以4利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值 分析與解 x，y的