第19講歸納推理和類比推理

1、 “推理與證明推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括合情推理和演繹推理在本章中，我們將通過對(duì)已學(xué)合情推理和演繹推理在本章中，我們將通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法學(xué)證明的基本方法, ,包括直接證明的方法（如分析法、包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證綜合法、數(shù)學(xué)歸納

2、法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。推理推理合情推理合情推理演繹推理演繹推理歸納推理歸納推理特殊到一般特殊到一般類比類比推理推理特殊到特殊特殊到特殊三段論三段論一般到特殊一般到特殊本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)第19講 歸納推理與類比推理（統(tǒng)稱合情推理）新課標(biāo)人教新課標(biāo)人教A A版高中數(shù)學(xué)選修版高中數(shù)學(xué)選修2-22-2The High School Attached to Lanzhou UniversityThe High School Attached

3、to Lanzhou University歸納推理引例歸納推理引例歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730，1037，20317，30131763+3， 83+5， 105+5， 125+7， 一個(gè)偶數(shù)（不小于一個(gè)偶數(shù)（不小于6 6）總可以表示成兩個(gè)）總可以表示成兩個(gè) 奇質(zhì)數(shù)之和；奇質(zhì)數(shù)之和； 迄今沒有發(fā)現(xiàn)反例迄今沒有發(fā)現(xiàn)反例. .147+7，165+11， ， 1 00029+971，1.歸納推理的定義歸納推理的定義: 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征, ,推推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推出該類事物的全部對(duì)

4、象都具有這些特征的推理理, ,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理, ,稱為稱為歸納推理歸納推理( (簡(jiǎn)稱歸納簡(jiǎn)稱歸納).). 簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之, ,歸納推理是歸納推理是由部分到整體、由特殊由部分到整體、由特殊到一般到一般的推理。的推理。練練1:1:觀察下圖觀察下圖, ,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52， 檢驗(yàn)猜想檢驗(yàn)猜想。 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想猜想； 對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納歸納整理；整理；小

5、結(jié)：歸納推理的一般步驟小結(jié)：歸納推理的一般步驟類比推理引例類比推理引例火星上是否有生命火星上是否有生命？ 由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其中一類由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）類比推理（簡(jiǎn)稱類比）2.類比推理的定義類比推理的定義 簡(jiǎn)言之，類比推理是由簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 發(fā)發(fā)明行星三大明行星三大運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律的定律的開開普勒普勒曾說(shuō)類曾說(shuō)類比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的參與者參與者和自己最好和自己最好的老的老師師 數(shù)學(xué)

6、家波利亞曾指出數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個(gè)偉大的引類比是一個(gè)偉大的引路人路人, ,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題問題.”.”3 34 4V V = = R R3 32 2S = 4RS = 4R r2C2rSa bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a b abab abR 11 2233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 則則 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab

7、1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 則則 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa 222123|aaaa 直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體C903個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊cPDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S例例2 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間試給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想中四面體性質(zhì)的猜想 找出兩類對(duì)象之間

8、可以確切表述的相似特征；找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；征，從而得出一個(gè)猜想； 檢驗(yàn)猜想。檢驗(yàn)猜想。小結(jié)：類比推理的一般步驟小結(jié)：類比推理的一般步驟. . 合情推理合情推理 歸納推理歸納推理和和類比推理類比推理統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為合情推理合情推理。通俗地說(shuō)，通俗地說(shuō)，合情推理是指合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理。 合情推理的意義合情推理的意義 數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向提供證明的思路和方向人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，