(教)牛頓問題

1、大理博奧教育精品資料系列牛頓問題一 知識概要“牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間。難點在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定。解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：1. 草的每天生長量不變；2. 每頭牛每天的食草量不變；3. 草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值4. 新生的草量每天生長量天數(shù)同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：1. 設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；2. 草的生長速度(對應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；3. 原來的草量對應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；4. 吃的天數(shù)原來

2、的草量(牛的頭數(shù)草的生長速度)；5. 牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長速度。“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題、資源量問題、部分行程問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題。二例題精講【例 1】 有一片牧場，草每天都在均勻地生長如果在牧場上放養(yǎng)18 頭牛，那么10 天就把草吃完了；如果放養(yǎng)24 頭牛，那么7 天就把草吃完了。（1）如果放養(yǎng)32 頭牛，多少天可以把草吃完？（2）要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14 天把草吃完？【解析】 這片牧場上的牧草數(shù)量每天都在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的牧草數(shù)量。因為總草量可以分成兩部分：原

3、有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數(shù)量也是不變的。這是最常見的牛吃草問題，這類問題的難點在于牛吃草的同時，草還在生長. 假設(shè)一頭牛一天吃1 個單位的草，會發(fā)現(xiàn)兩種放養(yǎng)方法吃的總草量不同。為什么會這樣呢？因為兩次草生長的天數(shù)不同，于是就可以算出草生長的速度了。解答：設(shè)一頭牛一天吃的草量為1 份 18 頭牛10 天一共吃草：18×10 =180（份）；24 頭牛7 天一共吃草：24× 7 =168 （份）如圖，對比兩次吃草的總量，吃的總量不同是因為18 頭牛比24 頭牛多吃了3 天（草多生長了3 天），而草每天生長：(

4、180 168)÷ 3 = 4（份），于是草地原有草的總量為：180 4×10 =140（份）（1）放養(yǎng)的32 頭牛中有4 頭牛每天把新長的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 4)= 5（天）（2）要恰好14 天吃完，那么最后吃的總草量為140 + 4×14 =196（份），因此要在14天內(nèi)吃完需要196 ÷14 =14（頭）牛。從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，什么不變啊？草是以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的；同樣，每天牛吃的草量也是不變的。這就是我們解題的關(guān)鍵。這

5、里因為未知數(shù)很多，一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們設(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長的數(shù)量是a份，設(shè)原來的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草也在變化，但是在勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計算草地上原有的草及每天新長出的草，問題就會迎刃而解?！纠?2】 放羊，如果放38 只羊，需要25 天把草吃完；如果放30 只羊，需要30 天把草吃完。如果放20 只羊，這片牧場可以吃多少天？【解析】 本題在羊吃草的同時，草也在不斷

6、的減少，這也是牛吃草問題的一種. 同前面的問題一樣，我們還是要對比一下兩個已知條件，算出草的減少速度和原有草總量解答：設(shè)一只羊一天吃的草量為1 份供38 只羊吃25 天，則吃草總量：38× 25 = 950（份）供30只羊吃30 天，則吃草總量：30× 30 = 900（份）如圖，對比兩次吃草的總量，發(fā)現(xiàn)5 天草減少的量為950 900 = 50 （份），因此草每天減少的量為：50 ÷ 5 =10（份），原有草的總量為：950 +10× 25 =1200（份）現(xiàn)在有20 只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20 份草以外，還會自己減少10 份草，因此這片牧場可

7、以吃1200 ÷ (20 +10)= 40（天）?！眷柟獭?因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天?【解析】 與例上面不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量?！纠?3】 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天照此計算，可以供多少頭牛吃10天？【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：

8、，原有草量為；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)【例 4】 一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？【解析】 這道題既有牛又有羊，只需將牛羊統(tǒng)一，然后按照基本的牛吃草問題求解即可。設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天那么每天生長的草量為，原有草量為：10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這

9、塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天三牛吃草問題知識衍變【例 1】 畫展8:30開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點45分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達(dá)的時間。【解析】 設(shè)每分鐘1個入口進(jìn)入的人數(shù)為1個單位。 8:30到9:00 共30分鐘 3個入口共進(jìn)入。8:30到8:45 共15分鐘 5個入口共進(jìn)入，15分鐘到來的人數(shù) ，每分鐘到來。8：30以前原有人。 所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個來人在7：30【例 2】 快、中、慢三車同時從地出發(fā)沿同一公路開往地，途中有騎車人也在同方向行進(jìn)，這三輛車分別用

10、7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？【解析】 可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米分)【例 3】 甲、乙、丙三車同時從地出發(fā)到地去甲、乙兩車的速度分別是每小時60千米和每小時48千米有一輛卡車同時從地迎面開來，分別在它們出發(fā)后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度【解析】 相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時），全

11、程：（千米），丙車速度為：（千米/時）【例 4】 一個蓄水池有1個進(jìn)水口和15個出水口，水從進(jìn)水口勻速流入當(dāng)池中有一半的水時，如果打開9個出水口，9小時可以把水排空如果打開7個出水口，18小時可以把水排空如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過 時 分水池剛好被排空【解析】 本題是牛吃草問題的變形，設(shè)每個出水口每小時的出水量為1，則進(jìn)水口每小時的進(jìn)水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72如果打開全部15個出水口，排空水池所需要的時間為小時，即7小時12分鐘【例 5】 北京密云水庫建有個泄洪洞，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度

12、，假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘，個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘，個小時后水位降至安全線根據(jù)抗洪形勢，需要用個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數(shù)目為多少個？【解析】 此題是牛吃草問題的變形，假設(shè)每個泄洪洞每小時泄洪的量為1，則水庫每小時增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有如果要用個小時使水位降至安全線以下，至少需要開個泄洪閘【例 6】 小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝

13、滿（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）【解析】 小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了米路，所以從杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三個桶裝滿。解法一：列方程求解， 杯子漏水量與路程成正比，可以設(shè)一個杯子每走一米漏水量為x，同時假定一杯水量為單位1.解法二：把一杯水看成牧場，每個杯子都有一個洞口，那么把洞口看成是牛（實際上每片牧場只有一頭牛），同時流出的水量與路程成正比，所以把路程看成時間。運送幾次，需要幾個滿杯，可以看成幾片牧場，各個杯子剩下水量加起來就是一只桶的容量。這時假設(shè)一個洞口（也就是一只杯子）走一米路，流出去的水量

14、為單位1.【例 7】 甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機(jī)和12個工人，5小時可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機(jī)和28個工人，3小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時還要多少個工人？(每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機(jī)每小時工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運面粉)【解析】 設(shè)1人1小時搬運的份數(shù)為“1”，那么一臺皮帶運輸機(jī)1小時的工作量為，每個倉庫存放的面粉總量為：那么，丙倉庫現(xiàn)有2臺皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，需要(人)?！纠?8】 某建筑工地開工前運進(jìn)一批磚，開工后每天

15、運進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果派250個工人砌磚墻，6天可以把磚用完，如果派160個工人，10天可以把磚用完，現(xiàn)在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？【解析】 開工前運進(jìn)的磚相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運進(jìn)相同的磚相當(dāng)于“新生長的草”，工人砌磚相當(dāng)于“牛在吃草”所以設(shè)1名工人1天砌磚數(shù)量為“1”，那么每天運來的磚為，原有磚的數(shù)量為：如果120名工人砌10天，將會砌掉10天新運來的磚以及950原有的磚，還剩的原有的磚未用，變成人來砌磚，還需要：(天)?！纠?9】 某建筑工地開工前運進(jìn)一批磚，開工后每天運進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果派15個工人砌磚墻，14天可以把磚用完

16、，如果派20個工人，9天可以把磚用完，現(xiàn)在派若干名工人砌了6天后，調(diào)走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，問原來有多少工人來砌墻？【解析】 開工前運進(jìn)的磚相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運進(jìn)相同的磚相當(dāng)于“新生長的草”，工人砌磚相當(dāng)于“牛在吃草”所以設(shè)1名工人1天砌磚數(shù)量為“1”，那么每天運來的磚為，原有磚的數(shù)量為：現(xiàn)在派若干名工人砌了6天后，調(diào)走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不調(diào)走6名工人，那么這些工人共砌10天可砌完，所以原有工人名課后練習(xí)練習(xí)1. 倉庫里原有一批存貨，以后繼續(xù)運貨進(jìn)倉，且每天運進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運貨出倉，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運完；如果每天用5輛汽

17、車，則6天恰好運完。倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要多少天運完？【解析】 設(shè)輛汽車天運貨為“”，進(jìn)貨速度為，原有存貨為，倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要（天）練習(xí)2. 一片茂盛的草地，每天的生長速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】 設(shè)頭牛天的吃草量為“”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析16頭牛 15天 16×15240：原有草量15天生長的草量100只羊（25頭牛） 6天 25×6150： 原有草量6天生長的草量從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長的草量1

18、0；那么原有草量：15010×690；8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。練習(xí)3. 有一個水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計劃調(diào)來臺抽水機(jī)同時工作。但出于節(jié)省時間的考慮，實際調(diào)來了臺抽水機(jī)，這樣比原計劃節(jié)省了小時。工程師們測算出，如果最初調(diào)來臺抽水機(jī)，將會比原計劃節(jié)省小時。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒有水，還應(yīng)該至少留下 臺抽水機(jī)?！窘馕觥?設(shè)每臺抽水機(jī)每小時抽個單位的水，原計劃需要小時抽完則原計劃個小時抽的水量為，臺抽水機(jī)時

19、抽水量為臺抽水機(jī)時抽水量為所以，個小時的出水量為，個小時的出水量為，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小時出水量為，所以需要留下臺抽水機(jī)。練習(xí)4. 一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小時可將可將水池中的水抽干。設(shè)1根抽水管每小時抽水量為1份。（1）進(jìn)水管每小時卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×872（份）（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（

20、16-12）=18（小時）練習(xí)5. 某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加的汽車是（ ）輛。19 設(shè)每兩汽車每小時運的貨物為1份。（1）進(jìn)水管每小時的進(jìn)水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×548（份）（3）3輛汽車運10小時后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后來增加的汽車輛數(shù)是：（68+4

21、×5）÷4-3=19（輛）練習(xí)6. 有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？8天 （1）按牛的吃草量來計算，80只羊相當(dāng)于80÷4=20（頭）牛。（2）設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。（3）先求出這片草地每天新生長的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20120（份）（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷

22、（10+60÷4-10）=8（天）練習(xí)7. 某水庫建有10個泄洪閘，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線?，F(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時內(nèi)使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？設(shè)1個泄洪閘1小時的泄水量為1份。（1）水庫中每小時增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫中原有的超過安全線的水量為：1×30-0.5×301

23、5（份）（3）在5.5小時內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5×5.517.75（份）（4）至少要開的閘門個數(shù)為：17.75÷5.54（個）（采用“進(jìn)1”法取值）練習(xí)8. 一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？【解析】 水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).每天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).原有的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺？(臺)。練習(xí)9. 早晨6點，某火車進(jìn)口處已有945名旅客等候檢票進(jìn)站，