(三)線段的度量和比較

1、（三）線段的度量和比較知識強(qiáng)化一、知識概述1、兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短簡單說成兩點(diǎn)之間線段最短.2、兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)間的距離線段的長度可用有刻度的直尺測量3、線段大小的比較方法(1)疊合法如比較線段AB、CD的大小，可將線段AB、CD移到同一條射線上，使它們的端點(diǎn)A、C都與射線的端點(diǎn)重合，再由點(diǎn)B與點(diǎn)D的位置關(guān)系，就可得出線段AB和CD的三種大小關(guān)系(2)度量法先用刻度尺量每條線段的長度，再按照長度比較它們的大小線段的大小關(guān)系和它們長度的大小關(guān)系是一致的表示方法：用幾何語言表述兩線段比較可能出現(xiàn)的三種結(jié)果若兩線段為線段AB、線段CD，如上圖，則分別有如下結(jié)論：AB<C

2、D、AB=CD、AB>CD4、線段的中點(diǎn)如果點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，那么點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)，類似地，線段有三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等如圖所示，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則AM=BM=AB或AB=2AM=2BM5、求線段長度通常有三種方法：逐步計(jì)算求線段的值；用字母代換求線段的值；構(gòu)造方程求線段的值6、直線、射線、線段之間的聯(lián)系與區(qū)別二、典例講解例1、（1）如圖，A、B是河流l兩旁的兩個(gè)村莊，若在河流l上建一個(gè)水廠，使它到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的供水管道最短，請你在l上標(biāo)出點(diǎn)C的位置，并說明理由（2）一個(gè)圓柱形的柱子，一只螞蟻由柱子的一條高AB的最底端B點(diǎn)沿側(cè)面轉(zhuǎn)圈爬到頂端A點(diǎn)，問小

3、螞蟻怎么走路線最短？答案：（1）解：連接AB交l于C，則點(diǎn)C就是所求作的點(diǎn)理由是：兩點(diǎn)之間，線段最短.（2）解：如圖，先將圓柱側(cè)面展開，螞蟻應(yīng)沿著BA爬行，路線最短例2、（1）C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段BC上一點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）ACD=ACBDBCCD=ADBCD（2）如果點(diǎn)B在線段AC上，那么下列表達(dá)式中：，AB=BC，AC=2AB，ABBC=AC能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)（3）已知線段AB=10cm，PAPB=20cm，下列說法正確的是（）A點(diǎn)P不能在直線AB上B點(diǎn)P只能在直線AB上C點(diǎn)P只能在線段AB的延長線上D點(diǎn)P不能在線段AB上解析：（1）由

4、線段的中點(diǎn)性質(zhì)知A、B、C都是正確的，D不正確.（2）因?yàn)辄c(diǎn)B在線段AC上，所以，AB=BC，AC=2AB表示B是AC的中點(diǎn)，只有AB+BC不能確定B是AC的中點(diǎn)（3）若P在線段AB上，則PAPB=AB10cm，點(diǎn)P可以在線段AB的延長線上或BA的延長線上，所以選D.答案：（1）D（2）C（3）D例3、如圖所示，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，BD2cm，求AD的長分析：因?yàn)锳DACCD，而ACBC，CDDB，BCCDDB，所以ADBCDB2DBDB6cm另外也可以用ADABDB來解，AB2BC，BC2DB，所以AD4DBDB6cm解：因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，所以CB2BD又因?yàn)锽D2cm

5、，所以CB4cm又C是AB的中點(diǎn)，所以AB2CB8cm所以ADABBD826（cm）答：AD的長是6cm例4、已知線段AB=8cm，在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC=4cm，M是線段AC的中點(diǎn)，求線段AM的長.分析：本題是一道無附圖問題，由題意知道 A、 B、 C 三點(diǎn)共線，但未明確C點(diǎn)是在線段 AB 上，還是在 AB 的延長線上，所以要分兩種情況來討論，運(yùn)用這種方法時(shí)，要考慮到有可能出現(xiàn)的情形，不能漏掉任何一種，通過畫出正確的圖形得到正確的答案本題關(guān)鍵是求出 AM 的長 . 解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖（1） M是AC的中點(diǎn)， AM=AC. 又 AC=ABBC ，AB=8cm，BC=4c

6、m AM=（ABBC）=(84）=2cm（2）當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB 的延長線上時(shí)，如圖（2） M是AC 的中點(diǎn)， AM=AC. 又 AC=ABBC ，AB=8cm，BC=4cm AM=（ABBC）=（84）=6cm. 即線段AM 的長度為2cm或6cm. 課外拓展例1、如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，已知圖中所有線段長度之和為23，線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，則線段AC的長度為_.解：圖中共有六條線段，即AC、AD、AB、CD、CB、DB，又因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，所以CD=DB，CB=2CD，AB=AC2CD，AD=ACCD，由題可得：ACADABCDCBDB=23，即ACACCDAC2CDCD2CDCD=23，也即3AC7CD=23，所以因?yàn)锳C是正整數(shù)，所以CD=2，也即237CD=9時(shí)，能被3整除；所以AC=3.故填3.例2、（2008年全國數(shù)學(xué)競賽海南預(yù)賽）如圖，點(diǎn)A、B、C順次在直線l上，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)若想求出MN的長度，那么只需條件（）A. AB12B. BC4C. AM5 D. CN2分析：因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，所以AMMCAC