2015年考研數(shù)學(xué)二真題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年考研數(shù)學(xué)二真題一、 選擇題：（18小題,每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）(1)下列反常積分中收斂的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D。【解析】題干中給出4個(gè)反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxdx=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-

2、e-x2+=3e-2， 因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)反常積分 (2)函數(shù)fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)內(nèi) (A)連續(xù) (B)有可去間斷點(diǎn)(C)有跳躍間斷點(diǎn) (D)有無窮間斷點(diǎn) 【答案】B 【解析】這是“1”型極限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt=ex(x0), fx在x=0處無定義，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去間斷點(diǎn)，選B。 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)兩個(gè)重要極限(3)設(shè)函數(shù)

3、fx=xcos1x, &x>0，0, &x0(>0,>0).若f'x在x=0處連續(xù)，則(A)->1 (B)0<-1(C)->2 (D)0<-2【答案】A【解析】易求出 f'x=x-1cos1x+x-1sin1x, &x>0，0, &x0再有 f+'0=limx0+fx-f0x=limx0+x-1cos1x=0, >1,不存在，1， f-'0=0于是，f'(0)存在>1，此時(shí)f'0=0.當(dāng)>1時(shí)，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin

4、1x=0, -1>0,不存在，-10，因此，f'x在x=0連續(xù)->1。選A綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，其f''(x)二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)的圖形如右圖所示，則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，除點(diǎn)x=0外處處二階可導(dǎo)。 y=f(x)的可疑拐點(diǎn)是f''x=0的點(diǎn)及f''(x)不存在的點(diǎn)。f''x的零點(diǎn)有兩個(gè)

5、，如上圖所示，A點(diǎn)兩側(cè)f''(x)恒正，對應(yīng)的點(diǎn)不是y=fx拐點(diǎn)，B點(diǎn)兩側(cè)f''x異號(hào)，對應(yīng)的點(diǎn)就是y=fx的拐點(diǎn)。雖然f''0不存在，但點(diǎn)x=0兩側(cè)f''(x)異號(hào)，因而(0,f(0) 是y=fx的拐點(diǎn)。綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)(5)設(shè)函數(shù)f(,)滿足fx+y,yx=x2-y2，則f=1=1與f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2

6、-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x 圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (B) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(

7、rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x 圍成的平面區(qū)域，作極坐標(biāo)變換，將Dfx,ydxdy化為累次積分。 D的極坐標(biāo)表示為 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計(jì)算。(7)設(shè)矩陣A=11112a14a2,b=1dd2。若集合=1,2，則線性方程 Ax=b 有無窮多解的充分必要條件為 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案

8、】D 【解析】Ax=b 有無窮多解rAb=rA<3 A是一個(gè)范德蒙德行列式，值為a-1(a-2),如果a，則 A0，rA=3，此時(shí)Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 類似的，若d，則rAb=3，排除(C) 當(dāng)a,d時(shí)，rAb=rA=2，Ax=b 有無窮多解 綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設(shè)二次型f(x1,x2,x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)在正交變換 x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為 (A) 2y12-y22+y32 (B) 2y

9、12+y22-y32 (C) 2y12-y22-y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A 【解析】設(shè)二次型矩陣為A,則 P-1AP=PTAP=-1 可見e1,e2,e3都是A的特征向量，特征值依次為2,1,-1，于是-e3也是A的特征向量，特征值為-1，因此 QTAQ=Q-1AQ=2000-10001 因此在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)二次型為2y12-y22+y32 綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。二、填空題：(914)小題，每小題4分，共24分。(9)設(shè)x=acrtant ,y=3t+t3,則d2ydx2t=1=

10、【答案】48 【解析】由參數(shù)式求導(dǎo)法 dydx=yt'xt'=3+3t211+t2=3(1+t2)2 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 d2ydx2=ddx3(1+t2)2=ddt3(1+t2)2dtdx=6(1+t2)2t1xt' =12t(1+t2)2, d2ydx2t=1=48 綜上所述，本題正確答案是48。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-一元函數(shù)微分學(xué)-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(10)函數(shù)fx=x22x在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)fn0= 【答案】nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 【解析】 解法1 用求函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。 fnx=k=0nCnkx2k(2x)(n-

11、k) 其中Cnk=n!k!n-k!,注意x2kx=0=0k2，Cn2=n(n-1)2,于是 fn0=Cn22(2x)(n-2)x=0=nn-1(ln2)n-2 (n2) f'0=0 因此fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 解法2 利用泰勒展開 fx=x22x=x2exln2=x2n=0(xln2)nn! =n=0lnn2n!xn+2=n=2lnn-22n-2!xn 由于泰勒展開系數(shù)的唯一性，得lnn-22n-2!=fn0n! 可得fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 綜上所述，本題正確答案是nn-1(ln2)n-2 (n=1,2,3,) 【考點(diǎn)】高等數(shù)

12、學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開公式(11)設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，x=0x2xf(t)dt.若1=1，'(1)=5,則 f1= 【答案】2 【解析】改寫x=x0x2f(t)dt,由變限積分求導(dǎo)法得 'x=0x2f(t)dt+xfx22x=0x2f(t)dt+2x2fx2 由1=1=01f(t)dt ，'1=01f(t)dt+2f1=1+2f1 可得f1=2 綜上所述，本題正確答案是2 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12)設(shè)函數(shù)y=yx是微分方程y''+y'-2y=0的解，且在x=0處 yx取得極值3，則yx= 【答案】e-2

13、x+2ex 【解析】求yx歸結(jié)為求解二階常系數(shù)齊次線性方程的初值問題 y''+y'-2y=0y0=3，y'0=0 由特征方程2+-2=0 可得特征根 1=-2，2=1，于 是得通解 y=C1e-2x+C2ex 又已知 C1+C2=3-2C1+C2=0C1=1，C2=2 綜上所述，本題正確答案是e-2x+2ex 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程(13)若函數(shù)z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1確定，則 dz0,0= 【答案】-13dx-23dy 【解析】 先求z(0,0) ，在原方程中令x=0,y=0得 e3z=1 z0,0=0 方程

14、兩邊同時(shí)求全微分得 ex+2y+3zdx+2dy+3dz+xydz+yzdx+xzdy=0 令x=0,y=0,z=0 得 dx+2dy+3dz0,0=0 dz0,0=-13dx-23dy 綜上所述，本題正確答案是-13dx-23dy 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B=A2-A+E,其中E為3 階單位矩陣，則行列式|B|= 【答案】 21 【解析】 A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對應(yīng)為3,7,1 所以|B|=21 【考點(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列式計(jì)算線性代數(shù)矩陣矩陣的特征值三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字

15、說明、證明過程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx3,若fx與gx在x0時(shí)是等價(jià)無窮小，求a,b,k的值。 【解析】利用泰勒公式 fx=x+aln1+x+bxsinx =x+ax-12x2+13x3+ox3+bxx+16x3+ox3 =1+ax+b-a2x2+a3x3+ox3 當(dāng)x0時(shí)，fxgx，則a=-1,b=-12,k=-13 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小的比階，泰勒公式(16)設(shè)A>0，D是由曲線段y=Asinx(0x2)及直線y=0,x=2所 圍成的平面區(qū)域，V1,V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若V1=V2，求A

16、的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A>0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=8【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(17)已知函數(shù)fx,y滿足 fxy''x,y=2y+1ex,fx'x,0=x+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的極值。 【解析】由 fxy''x,y=2y+1ex，得 fx'x,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fx'x,0=x+1ex 可得 ex+x=

17、x+1ex 得x=x ex ,從而 fx'x,y=(y+1)2ex+x ex對x積分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fy'x,y=(2y+2)ex, fxx''x,y=(x+y2+2y+2)ex, fyy''x,y=2ex令fx'x,y=0，fy'x,y=0得駐點(diǎn)(0,-1)，所以A=fxx''0,-1=1 B=fxy''0,-1=0C=fyy''0,-1=2由于B2-AC<0，

18、A>0,所以極小值為f0,-1=-1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)的無條件極值(18)計(jì)算二重積分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,則 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重積分=4-25【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分的計(jì)算(19)已知函數(shù) fx=x11+t2dt+1x

19、21+tdt，求fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【解析】 f'x=-1+x2+2x1+x2,令f'x=0，得駐點(diǎn)x=12, 當(dāng)x<12時(shí)，f'x<0, fx單調(diào)減少； 當(dāng)x>12時(shí)，f'x>0, fx單調(diào)增加； 因?yàn)閒1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零點(diǎn)。 又f12<f1=0,limx-fx=+，所以fx在(-，12)上存在唯一零點(diǎn)。 綜上可知，fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)方程的根（零點(diǎn)問題）(20)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻改物體溫度對時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比?，F(xiàn)將一初始溫度為120的

20、物體在20恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降溫至30，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21，還需冷卻多長時(shí)間？ 【解析】 設(shè)該物體在t時(shí)刻的溫度為Tt，由題意得 dTdt=-k(T-20) 其中k為比例系數(shù)，k>0.解得 T=Ce-kt+20 將初始條件T(0)=120代入上式，解得C=100 將t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+20 令T=21，得t=60,因此要降至21攝氏度，還需60-30=30（min） 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階常微分方程，微分方程應(yīng)用(21)已知函數(shù)fx在區(qū)間a,+上具有2階導(dǎo)數(shù)，fa=0,f'x> 0

21、,f''x>0.設(shè)b>a,曲線y=fx在點(diǎn)(b,f(b)處的切線與x軸 的交點(diǎn)是(x0,0),證明a<x0<b【解析】曲線y=fx在點(diǎn)(b,f(b)處的切線方程是y-fb=f'b(x-b) ,解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0=b-f(b)f'(b)由于f'x>0，故fx單調(diào)增加。由b>a可知fb>fa=0.又f'b>0,故f(b)f'(b)>0,即有x0<b x0-a=b-f(b)f'(b)-a=b-af'b-f(b)f'(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=f'b-a,a<<b因?yàn)閒''x>0，所以f