行列式講解課件

1、第三章第三章 行列式行列式 課外學(xué)習(xí)課外學(xué)習(xí)6 6：行列式計算方法：行列式計算方法課外學(xué)習(xí)課外學(xué)習(xí)7 7：q_q_行列式及其性質(zhì)行列式及其性質(zhì) 3.1.1 二階、三階行列式的計算二階、三階行列式的計算(對角線法則對角線法則)3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用行列式在線性方程組中的應(yīng)用1.了解二階、三階行列式的定義。了解二階、三階行列式的定義。2.會利用對角線法則計算二階、三階行列式。會利用對角線法則計算二階、三階行列式。利用對角線法則計算二階、三階行列式利用對角線法則計算二階、三階行列式我們用記號我們用記號22211211aaaa表示代數(shù)和表示代數(shù)和 21122211aaaa稱為二階行列式

2、稱為二階行列式, 即即 2112221122211211aaaaaaaa我們用記號我們用記號333231232221131211aaaaaaaaa表示代數(shù)和表示代數(shù)和312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa稱為三階行列式稱為三階行列式, 即即312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD主對角線法主對角線法 三元素乘積取“+”號； 三元素乘積取“-”號.(1) 如果含有兩個未知量兩個方程的線性方程組如果含有兩個

3、未知量兩個方程的線性方程組(1) 22221211212111bxaxabxaxa它的系數(shù)作成的二階行列式它的系數(shù)作成的二階行列式 022211211aaaa,那么方程組那么方程組(1)有解有解 .,222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx(2) 如果含有三個未知量三個方程的線性方程組如果含有三個未知量三個方程的線性方程組(2) 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa他的系數(shù)作成的三階行列式他的系數(shù)作成的三階行列式 0333231232221131211aaaaaaaaaD,

4、那么方程組那么方程組(2)有解有解 ,332211DDxDDxDDx這里這里 332312222111211333331232211311123332323222131211,baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabD我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式階行列式,然后利用這一然后利用這一工具來解答含有工具來解答含有n個未知量個未知量n個方程的線性方程組個方程的線性方程組.例題選講例題選講 .2534例例(2)(1)2計算,013D又如設(shè)試問當(dāng)為何值時當(dāng)為何值時,D;0D.解解:由階行列式的定義有由階行列式的定義有:. 30,0

5、3)2(. 30,03) 1 (313235) 3(2425342222或得時當(dāng)或得時當(dāng)而DDD 3.2.1 排列、反序與對換排列、反序與對換 3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì)奇、偶排列的定義及性質(zhì) 了解排列、反序、對換的定義了解排列、反序、對換的定義 求反序數(shù)求反序數(shù)例如例如: 1234，2314都是四個數(shù)碼的排列。都是四個數(shù)碼的排列。 n個數(shù)碼個數(shù)碼 n, 2 , 1的一個的一個排列排列指的是由這指的是由這n個數(shù)碼組個數(shù)碼組成的一個成的一個有序組有序組. 例如：例如：1，2，3這三個數(shù)碼的全體不同的排列一共有這三個數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！= 6個，它們是：個，它們是：123，132

6、，231，213，312，321。 在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在某一個在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在某一個較小的數(shù)碼前面，就說這兩個數(shù)碼構(gòu)成一個較小的數(shù)碼前面，就說這兩個數(shù)碼構(gòu)成一個反序反序。 看有多少個數(shù)碼排在看有多少個數(shù)碼排在1的前面，設(shè)為的前面，設(shè)為 1m個，那么就有個，那么就有 1m個數(shù)碼與個數(shù)碼與1構(gòu)成反序；然后把構(gòu)成反序；然后把1劃去，再看劃去，再看有多少個數(shù)碼排在有多少個數(shù)碼排在2的前面，設(shè)為的前面，設(shè)為 2m個，那么就有個，那么就有 2m個數(shù)個數(shù) 碼與碼與2構(gòu)成反序；然后把構(gòu)成反序；然后把2劃去，計算有多少個數(shù)碼在劃去，計算有多少個數(shù)碼在3前面，前面， 設(shè)為設(shè)

7、為 3m個，個，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在 n前面有前面有 nm個個 數(shù)碼（顯然數(shù)碼（顯然 0nm），那么這個排列的反序數(shù)等于），那么這個排列的反序數(shù)等于 nmmm21。 例如：例如：在排列在排列451362里，里， . 0, 2, 4, 2654321mmmmmm所以這個排列有所以這個排列有8個序。個序。 一個排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個一個排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個反序的排列叫做一個反序的排列叫做一個偶排列偶排列；有奇數(shù)個反序的排列叫做；有奇數(shù)個反序的排列叫做奇奇排列排列。 看看n個數(shù)碼的一個排列，如果把這個排列里個數(shù)碼的一個排列，如果

8、把這個排列里的任意兩個數(shù)碼的任意兩個數(shù)碼i與與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不交換一下，而其余數(shù)碼保持不動，那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的動，那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫做一個對換，并且用符號（這樣一個變換叫做一個對換，并且用符號（i，j）來表示。來表示。 nnjjjiii2121和設(shè)是是n個數(shù)碼的任意兩個個數(shù)碼的任意兩個排列，那么總可以通過一系列對換由排列，那么總可以通過一系列對換由 nnjjjii i2121得出證明證明: 我們已經(jīng)知道，通過一系列對換可以由我們已經(jīng)知道，通過一系列對換可以由 noii in1221得出我們只需證明，我們只需證明， 通過一系列

9、對換可由通過一系列對換可由 njjjn2112得出，而通過一系列對換可以由而通過一系列對換可以由 njjjn1221得出，按照相反的次序施行這些對換，就可由，按照相反的次序施行這些對換，就可由 njjjn2112得出。 任意一個排列經(jīng)過一個對換后的奇偶性任意一個排列經(jīng)過一個對換后的奇偶性改變改變.其中其中A與與B都代表若干個數(shù)碼都代表若干個數(shù)碼.施行對換施行對換 , ji得得 證明證明: 我們首先看一個特殊的情形，就是被對我們首先看一個特殊的情形，就是被對 換的兩個數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為換的兩個數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為 1 A B , , ,i j我們比較這兩個排列的反序數(shù)我們比較這

10、兩個排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過這個對換顯然經(jīng)過這個對換后后,屬于屬于A或或B的數(shù)碼的位置沒有改變的數(shù)碼的位置沒有改變,因此這些數(shù)因此這些數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)沒有改變碼所構(gòu)成的反序數(shù)沒有改變.同時同時i，j與與A或或B中的中的數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)也沒有改變。若在給定的排數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)也沒有改變。若在給定的排 列中，列中，, ji 那么經(jīng)過對換那么經(jīng)過對換 ji,后，后，i與與j就構(gòu)成一就構(gòu)成一個個反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序數(shù)反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序數(shù)增多一個。若在給定的排列中，增多一個。若在給定的排列中，, ji 那么經(jīng)過對換那么經(jīng)過對換后，排列的反序數(shù)減少一個。不論是

11、哪一種情形，后，排列的反序數(shù)減少一個。不論是哪一種情形，排列的奇偶性都有改變。排列的奇偶性都有改變。 A B ,ij 現(xiàn)在來看一般的情形。假定現(xiàn)在來看一般的情形。假定i與與j之間有之間有s個數(shù)碼，我個數(shù)碼，我們用們用 skkk,21來代表。這時給定的來代表。這時給定的排列為排列為2.,21jkkkis（1） 先讓先讓i向右移動，依次與向右移動，依次與 skkk,21交換。這樣，經(jīng)過交換。這樣，經(jīng)過s次相鄰的兩個數(shù)碼的對換后（次相鄰的兩個數(shù)碼的對換后（1）變?yōu)椋┳優(yōu)?,21jikkks再讓再讓j向左移動，依次與向左移動，依次與 12, ,kkkis交換。經(jīng)過交換。經(jīng)過s+1次次相鄰的兩個數(shù)碼的對

12、換后，排列變?yōu)橄噜彽膬蓚€數(shù)碼的對換后，排列變?yōu)?.,21ikkkjs（2） j i ,1但（但（2 2）正是對（）正是對（1 1）施行）施行 對換而得到的排列。因此，對換而得到的排列。因此，對（對（1 1）施行對換）施行對換 相當(dāng)于連續(xù)施行相當(dāng)于連續(xù)施行2s+12s+1次相鄰數(shù)碼的次相鄰數(shù)碼的對換。由對換。由1 1。，每經(jīng)過一次相鄰兩數(shù)碼的對換，排列都改。，每經(jīng)過一次相鄰兩數(shù)碼的對換，排列都改變奇偶性。由于變奇偶性。由于2s+12s+1是一個奇數(shù)，所以（是一個奇數(shù)，所以（1 1）與（）與（2 2）的奇）的奇偶性相反。偶性相反。 ji,ji,定理定理3.2.3 在在n個數(shù)碼個數(shù)碼(n1)的所有的

13、所有n！個排列，其！個排列，其中奇偶排列各占一半中奇偶排列各占一半.即各為即各為 2! n個。個。 證明：證明：設(shè)設(shè)n個數(shù)碼的奇排列共有個數(shù)碼的奇排列共有p個，而偶排列個，而偶排列共有共有q個，對這個，對這p個奇排列施行同一個對換個奇排列施行同一個對換 , ji那么由定理那么由定理3.2.2,我們得到我們得到p 個偶排列個偶排列.由于對這由于對這p個偶排列各不相等個偶排列各不相等.又可以得到原來的又可以得到原來的p個奇排列個奇排列,所以這所以這p個偶排列各不相等個偶排列各不相等.但我們一共只有但我們一共只有q個偶個偶排列排列,所以所以 . qp 同樣可得同樣可得 . pq 因此因此 . qp

14、例題選講例題選講.325141的逆序數(shù)計算排列例例.,2179863542并討論其奇偶性的逆序數(shù)計算排列例例.,321)1(3并討論其奇偶性的逆序數(shù)求排列例例nn)2( n3.3.1 n階行列式的定義階行列式的定義3.3.2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)1.掌握和理解掌握和理解n階行列式的定義。階行列式的定義。2.會利用定義計算一些特殊的行列式。會利用定義計算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性質(zhì)。掌握和理解行列式的性質(zhì)。4.熟練掌握利用性質(zhì)計算及證明行列式的技巧。熟練掌握利用性質(zhì)計算及證明行列式的技巧。利用定義計算行列式利用定義計算行列式 利用性質(zhì)熟練計算及證明行列式利用性質(zhì)熟練計算及證明

15、行列式定義定義1 ), 2 , 1,(2njianij個元素用組成的記號組成的記號 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為n階行列式階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.任意取任意取 2n個數(shù)個數(shù) ), 2, 1;, 2, 1(njniaij排成以下形式排成以下形式: .212222111211nnnnnnaaaaaaaaa(1)考察位于考察位于(1)的不同的行與不同的列上的的不同的行與不同的列上的n個元素的個元素的乘積乘積.這種乘積可以寫成下面的形式這種乘積可以寫成下面的形式:,11121njjjaaa(2) 是是1,2,n這這n

16、個數(shù)碼的一個個數(shù)碼的一個這里下標(biāo)這里下標(biāo) njjj,21排列排列.反過來反過來,給了給了n個數(shù)碼的任意一個排列個數(shù)碼的任意一個排列,我們也我們也能得出這樣的一個乘積能得出這樣的一個乘積.因此因此,一切位于一切位于(1)的不同的的不同的行與不同的列上的行與不同的列上的n個元素的乘積一共有個元素的乘積一共有n！個！個. 我們用符號我們用符號 ),(21njjj表示排列表示排列 njjj,21的反序數(shù)的反序數(shù). 定義定義2 用符號用符號nnnnnnaaaaaaaaa212222111211表示的表示的n階行列式指的是階行列式指的是n!項的代數(shù)和項的代數(shù)和,這些項是一這些項是一切可能的取自切可能的取自

17、(1)的不同的行與不同的列上的的不同的行與不同的列上的n個元個元素的乘積素的乘積 .11121njjjaaa項項 njjjaaa11121的符號為的符號為 ,) 1()(21njjj也就是說也就是說,當(dāng)當(dāng) njjj,21是偶排列時是偶排列時,這這一項的符號為正一項的符號為正,當(dāng)當(dāng) njjj,21是奇排列時是奇排列時,這一項的這一項的符號為負(fù)符號為負(fù).例例1 我們看一個四階行列式我們看一個四階行列式 .00000000hgfedcbaD 根據(jù)定義根據(jù)定義,D是一個是一個4! = 24項的代數(shù)和。然而在這個項的代數(shù)和。然而在這個行列式里，除了行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四

18、項外，這四項外，其余的項都至少含有一個因子其余的項都至少含有一個因子0，因而等于，因而等于0，與上，與上面四項對應(yīng)的排列依次是面四項對應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其其中第一個和第三個是偶排列中第一個和第三個是偶排列,第二個和第四個是奇排第二個和第四個是奇排列列.因此因此 .deg bcfgbadehacfhD一個一個n階行列式階行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211如果把如果把D的行變?yōu)榱械男凶優(yōu)榱?就得到一個新的行列式就得到一個新的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111D叫叫D的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。引理引理3.

19、3.1 從從n階行列式的階行列式的 列行和第第nnjjjiii,2121取出元素作乘積取出元素作乘積 （3） ,2211nnjijijiaaa這里這里 nnjjjiii,2121和都是都是1，2，n這這n個數(shù)碼的排列。那么這一項在行列式中的符號是個數(shù)碼的排列。那么這一項在行列式中的符號是)(),(,) 1(2121nntsjjjtiiis證證: 如果交換乘積如果交換乘積(3)中某兩個因子的位置中某兩個因子的位置,那么那么(3)的元素的元素的第一個下標(biāo)和第二個下標(biāo)所成的排列同時經(jīng)過一次對換的第一個下標(biāo)和第二個下標(biāo)所成的排列同時經(jīng)過一次對換,假定經(jīng)過這樣一次對換后所得的兩個排列的反序數(shù)分別為假定經(jīng)

20、過這樣一次對換后所得的兩個排列的反序數(shù)分別為 ts和,那么由定理那么由定理3.2.2， ttss和都是奇數(shù)。因為兩都是奇數(shù)。因為兩個奇數(shù)的和是一個偶數(shù)，所以個奇數(shù)的和是一個偶數(shù)，所以 是一個偶數(shù)。因此是一個偶數(shù)。因此 tsts與同時是偶數(shù)或同時是奇數(shù)，同時是偶數(shù)或同時是奇數(shù)，從而從而 tsts) 1() 1()()()()(ttsststs另一方面，由定理另一方面，由定理3.2.1，排列，排列 nii i21總可以經(jīng)過總可以經(jīng)過若干次對換變?yōu)槿舾纱螌Q變?yōu)?，因此，經(jīng)過若干次交換，因此，經(jīng)過若干次交換因子的次序，乘積（因子的次序，乘積（3）可以變?yōu)椋┛梢宰優(yōu)閚nkkkaaa2211（4） 這里

21、這里 nkkk21是是n個數(shù)碼的一個排列。根據(jù)行列式個數(shù)碼的一個排列。根據(jù)行列式的定義，乘積（的定義，乘積（4），因而乘積（），因而乘積（3）的符號是）的符號是)(21) 1(nkkk。然而。然而 0)12(n。由上面的討論。由上面的討論可知可知)()()12(2121) 1() 1() 1(nnkkkkkknts引理被證明。引理被證明。n12項。這一項的元素位于項。這一項的元素位于D的不同的行和不同的列，的不同的行和不同的列，所以位于所以位于D的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式 行，因而也是行，因而也是 D里和在里和在的兩項顯然也是的兩項顯然也是項的代數(shù)和，即項的代數(shù)和，即 現(xiàn)在設(shè)現(xiàn)在設(shè) nnkkka

22、aa2211是是n階行列式階行列式D的任意一的任意一D的不同的列和不同的的不同的列和不同的D的一項，由引理的一項，由引理3.3.1，這一項在，這一項在D里的符號都是里的符號都是 )(21) 1(nkkk，并且，并且D中不同中不同D中不同的兩項，因為中不同的兩項，因為D與與 D的的項數(shù)都是項數(shù)都是n！，所以！，所以D與與 D是帶有相同符號的相同是帶有相同符號的相同DD 。于是有于是有 命題命題3.3.2 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 DD 命題命題3.3.3 交換一個行列式的兩行（或兩列），交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。行列式改變符號。證證 設(shè)給

23、定行列式設(shè)給定行列式 nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211交換交換D的第的第i行與第行與第j行行得得 )()(.212121112111jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniijnjjn（旁邊的（旁邊的i和和j表示行的表示行的序數(shù)）序數(shù)） D的每一項可以寫成的每一項可以寫成 njinkjkikkaaaa11（5） 因為這一項的元素位于因為這一項的元素位于 的不同的行與不同的列，所以它也的不同的行與不同的列，所以它也是是 的一項，反過來，的一項，反過來， 的每一項也是的每一項也是D的一項，并且的一項，并且D的不的不同項對應(yīng)著同項對應(yīng)著 的不同項，因此的

24、不同項，因此D與與 含有相同的項。含有相同的項。 1D1D1D1D1D交換行列式兩列的情形，可以利用命題交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交歸結(jié)到交換兩行的情形。換兩行的情形。式的第式的第i行變成第行變成第j行，第行，第j行變成第行變成第i行，而列的次序并沒有改行，而列的次序并沒有改變。所以由引理變。所以由引理3.3.1，并注意到，并注意到 是一奇數(shù)，是一奇數(shù)，因此（因此（5）在）在D的在的在 中的符號相反，所以中的符號相反，所以D與與 的符號相的符號相反。反。，然而在，然而在D1中，原行列中，原行列（5）在）在D中的符號是中的符號是 )(1) 1(njikkkk)1 (nij

25、（5）在）在 中的符號是中的符號是1)()()1(211) 1() 1(nnjikkkkkkknij1D1D1D由命題由命題3.3.2推知，凡是行列式的對于行成立的性推知，凡是行列式的對于行成立的性質(zhì)對于列也成立，反過來也是如此。質(zhì)對于列也成立，反過來也是如此。推論推論3.3.4 如果一個行列式有兩行（列）完全相如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。同，那么這個行列式等于零。證證 設(shè)行列式設(shè)行列式D的第的第i行與第行與第j行行(ij)相同，由命題相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號，所以，交換這兩行后，行列式改變符號，所以新的行列式等于新的行列式等于D，但另

26、一方面，交換相同的，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒有改變由此得兩行，行列式并沒有改變由此得D=D或或2D=0，所以所以D=0。命題命題3.3.5 用數(shù)用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)以數(shù)k 乘此行列式。即如果設(shè)，則乘此行列式。即如果設(shè)，則 kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin2121112112121112111證證 設(shè)把行列式設(shè)把行列式D的第的第i行的元素行的元素 iniiaaa,21乘以乘以 k而得到的行列式而得到的行列式 ，那么，那么 的第的第i行的元素是行的元素是 1D1Diniikakaka,

27、21D的每一項可以寫作的每一項可以寫作 ninjijjaaa11（6） 中對應(yīng)的項可以寫作中對應(yīng)的項可以寫作 1D（7） nininjijjnjijjaakaakaa1111（6）在）在D中的符號與（中的符號與（7）在）在 中的符號都是中的符號都是 1D)(21) 1(njjj1DkD因此，因此， 推論推論3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊。的公因子可以提到行列式符號的外邊。推論推論3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個行列式等于零。部是零，那么這個行列式等于零。

28、推論推論3.3.8 如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。比例，則行列式的值等于零。證證 設(shè)行列式設(shè)行列式D的第的第i行與第行與第j行的對應(yīng)元素成比例，行的對應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對應(yīng)元素只差一個因子那么這兩行的對應(yīng)元素只差一個因子k，即，即 jnijijikaakaakaa12211,nnnnjnjjjnjjnnnnnjnjjiniinaaaaaakakakaaaaaaaaaaaaaaaaD2121211121121212111211因此因此由推論由推論3.3.6，可以把公因子，可以把公因子 k提到行列式符號的外提到行列式符號的外邊

29、，于是得到一個有兩行完全相同的行列式；由推邊，于是得到一個有兩行完全相同的行列式；由推論論3.3.4，這個行列式等于零。，這個行列式等于零。 命題命題3.3.9 如果將行列式中的某一行（列）的每如果將行列式中的某一行（列）的每 一個元素都寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫一個元素都寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫 成成 兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其它位置的元數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果素與原行列式相同。即如果 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221

30、111211nnnniniinaaacccaaaD2121112112nnnniniiinaaabbbaaaD21221112111,則 21DDD。證證 D的每一項可以寫成的每一項可以寫成 niinjijijjacba)(11式，它的符號是式，它的符號是 的形的形)(21) 1(njjj。去掉括弧，得。去掉括弧，得 nininiinjijjnjijjnjijijjacaabaacba111111)(但一切項但一切項 ninjijjaba11附以原有符號后的和等于附以原有符號后的和等于行列式行列式 nnnniniiinaaabbbaaaD21221112111nnnniniinaaacccaa

31、aD2121112112一切項一切項 ninjijjaca11附以原有符號后的和等于行附以原有符號后的和等于行列式列式因此因此 21DDD 推論推論 如果將行列式的某一行（列）的每個元素都如果將行列式的某一行（列）的每個元素都寫成寫成m 個數(shù)（個數(shù)（m 為大于為大于2的整數(shù)）的和，則此行的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成列式可以寫成m 個行列式的和。個行列式的和。命題命題3.3.10 將行列式的某一行（列）的所有元素將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)同乘以數(shù)k 后加于另一行（列）對應(yīng)位置的元素后加于另一行（列）對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。上，行列式的值不變。 證證 設(shè)給定行列式設(shè)給定

32、行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211把把D的第的第j行的元素乘以同一個數(shù)行的元素乘以同一個數(shù)k后后,加到第加到第i行的對行的對應(yīng)元素上應(yīng)元素上,我們得到行列式我們得到行列式: nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaaD2121221111211由命題由命題3.3.9， 1DDDnnnnjnjjjnjjnaaaaaakakakaaaaD212121112111此處此處 的第的第i行與第行與第j列成列成比例；比例； 所以所以 DD 由推論由推論3.3.8， 10D 1D例例2 計算行列式計算行列式 .321321321333222111aaa

33、aaaaaaD解：解： 根據(jù)例題根據(jù)例題3.3.10,從從D的第二列和第三列的元素的第二列和第三列的元素減去第一列的對應(yīng)元素減去第一列的對應(yīng)元素(即把即把D的第一列的元素同乘的第一列的元素同乘以后以后,加到第二列和第三列的對應(yīng)元素上加到第二列和第三列的對應(yīng)元素上),得得.211211211321aaaD這個行列式有兩列成比例這個行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論所以根據(jù)推論3.3.8,D=0. 例例3 計算計算n階行列式階行列式 0111101111011110D解解: 我們看到我們看到,D的每一列的元素的和都是的每一列的元素的和都是n把把第二，第三，第二，第三，第，第n行都加到第一行上，得行都

34、加到第一行上，得 .0111101111011111nnnnD根據(jù)推論根據(jù)推論.,提出第一行的公因子提出第一行的公因子n,得得.0111101111011111) 1( nD由第二由第二,第三第三,第第n行減去第一行行減去第一行,得得.1000010000101111) 1(nD由行列式定義由行列式定義,易見后一行列式等于對角線上元素的乘積易見后一行列式等于對角線上元素的乘積 .) 1(1n所以所以 ).1() 1(1nDn例例 1設(shè), 1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa練習(xí)選講：練習(xí)選講：例例 2

35、 證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零.例例 3 計算.3351110243152113D例例4 計算.3111131111311113D.1111000000332211aaaaaa例例5 計算例例6 計算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD例例 8 解方程. 0113211232113221132111321xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn,)det(,)det(1111211111nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD證證明明.21DDD 例例7設(shè)nnnnknnkk

36、kkkbbccbbccaaaaD1111111111110000一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 3.4.1子式和代數(shù)余子式子式和代數(shù)余子式3.4.2行列式的依行依列展開定理行列式的依行依列展開定理3.4.3拉普拉斯定理拉普拉斯定理二、教學(xué)目的：二、教學(xué)目的：1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開定理計算及熟練掌握利用行列式的依行依列展開定理計算及證明行列式的技巧。證明行列式的技巧。三、重點難點：三、重點難點：利用行列式的依行依列展開定理熟練計算及證明行利用行列式的依行依列展開定理熟練計算及證明行列式列式 定義定義1 在一個在一個n階行

37、列式階行列式D中任意取定中任意取定k行和行和k列列. 位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫階行列式叫做行列式做行列式D的一個的一個k階階子式子式.例例1 在四階行列式在四階行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中,取定第二行和第三行取定第二行和第三行,第一列和第四列第一列和第四列.那么位于那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個二階子式的一個二階子式 .34312421aaaaM 定義定義2 n (n1)階行列式階行列式 nnnjninijinjaaaa

38、aaaaaD111111的某一元素的某一元素 ija的余子式的余子式 ijM指的是在指的是在D中劃去中劃去 ija所在行和列后所余下的所在行和列后所余下的n1階子式階子式. 例例2 例例1的四階行列式的元素的四階行列式的元素 的余子式是的余子式是 23a.44424134323114121123aaaaaaaaaM定義定義3 n階行列式階行列式D的元素的元素 的余子式的余子式 附以附以符號符號 后后,叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式.ijaijMji ) 1(ija元素元素 的代數(shù)余子式用符號的代數(shù)余子式用符號 來表示來表示:ijaijA.) 1(ijjiijMA例例3 例例1中的四

39、階行列式中的四階行列式D的元素的元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式23a.) 1(44424134323114121123233223aaaaaaaaaMMA定理定理3.4.1 若在一個若在一個n階行列式階行列式 nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111中中,第第i行行(或第或第j列列)的元素除的元素除 外都是零外都是零,那么這個行那么這個行列式等于列式等于 與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式 的乘積的乘積:ijaijaijA.ijijAaD 證證 我們只對行來證明這個定理我們只對行來證明這個定理1) 先假定先假定D和第一行的元素除和第一行的元素除 外都是外都是0，這時，這時11an

40、nnnnaaaaaaaD21222211100我們要證明：我們要證明： 11111111111111) 1(MaMaAaD也就是說：也就是說： nnnnnnaaaaaaaaaaD32333322232211子式子式 的每一項都可以寫作的每一項都可以寫作 11M（1） nnjjjaaa3232此處此處 是是2，3，n這這n個數(shù)碼的個數(shù)碼的一個排列，我們看項（一個排列，我們看項（1）與元素）與元素 的乘積的乘積njjj,3211a（2） nnjjjaaaa323211這一乘積的元素位在這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，的不同的行與不同的列上，因此它是因此它是D的一項，反過來，由于行列式的

41、一項，反過來，由于行列式D的每一項的每一項都含有第一行的一個元素，而第一行的元素除都含有第一行的一個元素，而第一行的元素除 外外都是零，因此都是零，因此D的每一項都可以寫成（的每一項都可以寫成（2）的形式。）的形式。這就是說，這就是說，D的每一項都是的每一項都是 與它的子式與它的子式 的某的某一項的乘積，又一項的乘積，又 的不同項是的不同項是D的不同項，因此的不同項，因此D與與 有相同的項。有相同的項。 11a11a11M1111Ma1111Ma乘積（乘積（2）在）在D中的符號是中的符號是 )()1(22) 1() 1(nnjjjj另一方面，乘積（另一方面，乘積（2）在）在 的符號就是（的符號

42、就是（1） 在在 中的符號。乘積（中的符號。乘積（1）在元素既然位在）在元素既然位在D的的 第第2，3，n行與在第行與在第 列，因此它位列，因此它位在在 的第的第1，2，n行與列，所以（行與列，所以（1）在）在 中的符號應(yīng)該是中的符號應(yīng)該是 。顯然，。顯然， ，這樣，乘積（，這樣，乘積（2）在）在 中的符號與在中的符號與在D中的符號一致。所以中的符號一致。所以1111Ma11Mnjjj,3211M11M)1()1(2) 1(njj)1() 1()(22nnjjjj1111Ma1111MaD 2) 現(xiàn)在我們來看一般的情形，設(shè)現(xiàn)在我們來看一般的情形，設(shè)nnjnnjjnnijnjjjaaaaaaaa

43、aaaD1,1,111, 111, 1110000 我們變動行列式我們變動行列式D的行列，使的行列，使 位于第一行位于第一行 與第一列，與第一列，并且保持并且保持 的余子式不變。的余子式不變。 為了達(dá)到這一目的，我們把為了達(dá)到這一目的，我們把D的第的第i行依次與第行依次與第 i1， i2，2，1行交換，這樣，一共經(jīng)過了行交換，這樣，一共經(jīng)過了 i1次交換兩次交換兩行的步驟，我們就把行的步驟，我們就把D的第的第i行換到第一行的位置。然后再把行換到第一行的位置。然后再把第第j列依次與第列依次與第j1，j2，2，1列交換，一共經(jīng)過了列交換，一共經(jīng)過了j1次交換兩列的步驟，次交換兩列的步驟， 就被交換

44、到第一行與第一列的位就被交換到第一行與第一列的位置上，這時，置上，這時，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑鹤優(yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑篿jaijaijannjnjnnnjnijijiijinijijiijinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 1, 11, 11, 11 , 1, 111, 11, 111110000 是由是由D經(jīng)過（經(jīng)過（i1）+(j1)次換行換列的步驟次換行換列的步驟而得到的。由命題而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號，因此列，行列式改變符號，因此1Dijijijjiijij

45、ijjijiAaMaMaDD) 1() 1() 1(1這樣，定理得到證明。這樣，定理得到證明。定理定理3.4.2 n階行列式階行列式 等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和, 即即ijDa), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj證證 我們只對行來證明，即證明（我們只對行來證明，即證明（3），先把行列），先把行列式式D寫成以下形式：寫成以下形式：nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000也就是說，把也就是說，把D的第的第i

46、行的每一元素寫成行的每一元素寫成n項的和。項的和。根據(jù)命題根據(jù)命題3.3.9，D等于等于n個行列式的和：個行列式的和： nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21112112121121121111211000000在這在這n個行列式的每一個中，除了第個行列式的每一個中，除了第i行外，其余行外，其余的行都與的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第第i行的元素的代數(shù)余子式與行的元素的代數(shù)余子式與D的第的第i行的對應(yīng)元行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1， ), 2 ,

47、1(2211niAaAaAaDininiiii定理定理3.4.3 n階行列式階行列式 的某一行的某一行(列列)的元的元素與另一行素與另一行(列列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零和等于零, 即即 ijaD )(02211jiAaAaAajninjiji（5） )(02211tsAaAaAantnststs（6） 證證 我們只證明等式（我們只證明等式（5）?？葱辛惺剑？葱辛惺?()(.212121112111jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniiiniin 的第的第i行與第行與第j行完全相同，所以行完全相同，所以 =0。另。另一方面，一方面， 與與D僅有第僅

48、有第j行不同，因此行不同，因此 的第的第j行的元素的代數(shù)余子式與行的元素的代數(shù)余子式與D的第的第j行的對應(yīng)元行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，把素的代數(shù)余子式相同，把 依第依第j行展開，得行展開，得1D1D1D1D1DjninjijiAaAaAaD22111因而因而 02211jninjijiAaAaAa例例4 計算四階行列式計算四階行列式3351110243152113D在這個行列式里，第三行已有一個元素是零，由在這個行列式里，第三行已有一個元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：列上，得：03550100131111115D根據(jù)

49、定理根據(jù)定理3.4.1 0551111115) 1(131D把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得：把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得： 405526) 1(105502611531所以所以 D = 40 例例5 計算計算n階行列式階行列式12211000000000100001axaaaaxxxxnnnn按第一行展開，得：按第一行展開，得： 1000000010001) 1(100000100001112321xxxaaxaaaaxxxxnnnnnn這里的第一個這里的第一個n1階行列式與階行列式與 有相同的形式，有相同的形式，把它們記作把它們記作 ；第二個；第二個n1階行列式階行列式

50、 等等于于 。 n1n1) 1(n所以所以 nnnax1這個式子對于任何這個式子對于任何 都成立，因此有都成立，因此有(2)n n nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaaxxax12211122121)(但但 ,所以所以 111axaxnnnnaxax11例例6 計算四階行列式計算四階行列式 112112222121111nnnnnnnaaaaaaaaaD這個行列式叫做一個這個行列式叫做一個n階范德蒙德階范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式.由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以以 ，得，得 1a)()()(0)()()

51、(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn由定理由定理3.4.1 )()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn提取每列的公因子后，得提取每列的公因子后，得22322223223211312111)()(nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD最后的因子是一個最后的因子是一個n-1階的范德蒙德行列式。我階的范德蒙德行列式。我們用們用 代表它：代表它：1nD111312)()(nnnDaaaaaaD同樣得同樣得222

52、4231)()(nnnDaaaaaaD此處此處 是一個是一個n-2階的范德蒙德行列式。如此繼階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得續(xù)下去，最后得2nD)()()()()(1223111312nnnnnnaaaaaaDaaaaaaD練習(xí)題：練習(xí)題： 例例1 計算行列式.5021011321014321D例例2 計算行列式.5021011321014321D例例 3 計算行列式.0532004140013202527102135D21)1(nnx.11213112211132114321xxxxxxnxxnxnn例例 4 求證例例5 證明范德蒙德 (Vandermonde 行列式, )(1111

53、112112222121jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)其中記號“”表示全體同類因子的乘積.例例 6 設(shè),3142313150111253DD 中元素ija的余子式和代數(shù)余子式依次記作ijM和ijA, 求14131211AAAA及41312111MMMM.例例 7 .2100321003210032的值用拉普拉斯定理求行列式一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 3.5.1齊次與非齊次線性方程組的概念齊次與非齊次線性方程組的概念3.5.2克萊姆法則克萊姆法則 3.5.3齊次線性方程組解的定理齊次線性方程組解的定理二、教學(xué)目的：二、教學(xué)目的：1.掌握和理解齊次與非齊次線性方程組的概念。掌握和

54、理解齊次與非齊次線性方程組的概念。2.熟練掌握克萊姆法則。熟練掌握克萊姆法則。3熟練掌握齊次線性方程組解的定理熟練掌握齊次線性方程組解的定理三、重點難點：三、重點難點：利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。含有含有n 個方程的個方程的n 元線性方程組的一般形式為元線性方程組的一般形式為 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1.9） 它的系數(shù)它的系數(shù) 構(gòu)成的行列式構(gòu)成的行列式 ), 2 , 1,(njiaijnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211（1.10） 稱為方程組（稱為方程組（1.9）的系數(shù)行列式。）的系數(shù)行列式。如果線性方程組（如果線性方程組（1.9）的常數(shù)項為零，即）的常數(shù)項為零，即000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa稱為稱為齊次線性方程組齊次線性方程組。定理定理3.5.1 (克萊姆法則克萊姆法則)