等差數(shù)列與通項公式

1、環(huán)球雅思學科教師輔導學案 輔導科目：數(shù)學 年級：高一 學科教師： 課 時 數(shù)： 3授課類型等差數(shù)列與通項公式教學目的掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式教學內(nèi)容1、等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做這個數(shù)列的公差。即2、等差中項若成等差數(shù)列，那么叫做的等差中項。兩個實數(shù)的等差中項只有一個，就是這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。3、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的通項公式，。當時，它是一個一次函數(shù)。等差數(shù)列的前項和公式 .，當時，它是一個二次函數(shù)，由于其常數(shù)項為零，所以其圖像過原點。等差數(shù)列中，如果,則,特殊地，時，則，是的等差中項。

2、等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列。若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列S2n1(2n1)an.若n為偶數(shù)，則S偶S奇d，若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項)若an與bn為等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn與S，則5、知三求二等差數(shù)列有5個基本量，求解它們，多利用方程組的思想，知三求二。注意要弄準它們的值。6、特殊設法三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設為。1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。1、設Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比

3、數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列設是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。3、 等差數(shù)列的通項：或。4、 等差數(shù)列的前和：，。2、等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，若a2a4a15的值是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列an中也為常數(shù)的項是()AS7BS8CS13 DS153、等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an33，則n為()A48 B49 C50 D51(1)等差數(shù)列中，則通項；（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_ ；4、設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，a128，S99，則S16_.5、已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若&

4、lt;1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為()A11 B19C20 D21（1）數(shù)列 中，前n項和，則， ；（2）已知數(shù)列 的前n項和，求數(shù)列的前項和.5、等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為，,（公差為2）6.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二

5、次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.（4）若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（5）在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（這里即）；。項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù).（6） 若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.設與是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么_；(7) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的

6、最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值；6、（1）設an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（

7、）A.130 B.170 C.210 D.260 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。類型1 例1. 已知數(shù)列滿足，求。 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 例1:已知數(shù)列滿足，求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知， ，求。類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。例:已知數(shù)列中，求.解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p

8、，q, r均為常數(shù)） 。例:已知數(shù)列中，,，求。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項公式。例:已知數(shù)列中，,，求。1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)例：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。類型7 例:設數(shù)列：，求.解法：這種類型一

9、般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。類型8 例：已知數(shù)列中，求數(shù)列解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。類型9 例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。類型10 例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式. 例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的

10、根、時，則是等比數(shù)列。類型11 或例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。類型12 歸納猜想法解法：數(shù)學歸納法變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式 類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.類型14周期型 例：若數(shù)列滿足，若，則的值為_。解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。一、選擇題：1有窮數(shù)列1， 23， 26，

11、 29， ，23n6的項數(shù)是（ ） A3n7 B3n6 Cn3 Dn22已知數(shù)列的首項，且，則為 （ ）A7 B15 C30 D313某數(shù)列第一項為1，并且對所有n2，nN*，數(shù)列的前n項之積n2，則這個數(shù)列的通項公式是（ ）Aan=2n1Ban=n2Can=Dan=4若an是等差數(shù)列，且a1a4a7=45，a2a5a8=39，則a3a6a9的值是（ ）A39B20C19.5D335若等差數(shù)列an的前三項為x1，x1，2x3，則這數(shù)列的通項公式為（ ）Aan=2n5B an =2n3C an =2n1Dan =2n16首項為24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（ ）AdB

12、d3Cd3D d37等差數(shù)列an的前n項和Sn=2n2n，那么它的通項公式是（ ）Aan =2n1Ban =2n1Can =4n1Dan =4n18中，則值最小的項是 （ ）A第4項 B第5項 C第6項 D第4項或第5項9已知，則的值為 （ ）A B C D10在等差數(shù)列an中，若a3a9a15a21=8，則a12等于（ ）A1B1C2D211在等差數(shù)列an中，a3a7a10=8，a1a4=4，則S13等于（ ）A168B156C78D15212數(shù)列an的通項an =2n1，則由bn=(nN*)，所確定的數(shù)列bn的前n項和是（ ）An(n1)BC D二、填空題： 13數(shù)列1，0，1，0，1，0

13、，1，0，的通項公式的為an= 14在1，7之間插入三個數(shù)，使它們順次成等差數(shù)列，則這三個數(shù)分別是_ _15數(shù)列 an 為等差數(shù)列，a2與a6的等差中項為5，a3與a7的等差中項為7，則數(shù)列的通項an等于_ 16、數(shù)列an為等差數(shù)列，S100=145，d=，則a1a3a5a99的值為_ _三、解答題：17已知關(guān)于x的方程x23xa=0和x23xb=0(ab)的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求ab的值. 18在數(shù)列an中，a1=2，a17=66，通項公式是項數(shù)n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)88是否是數(shù)列an中的項.19數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第

14、七項為負.（1）求數(shù)列的公差；（2）求前n項和Sn的最大值；（3）當Sn0時，求n的最大值 20設函數(shù)，數(shù)列的通項滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）判定數(shù)列a n 的單調(diào)性. 21已知數(shù)列an滿足a1=4，an=4 (n2)，令bn=（1）求證數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項公式. 22某公司決定給員工增加工資，提出了兩個方案，讓每位員工自由選擇其中一種.甲方案是：公司在每年年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元.某員工分別依兩種方案計算增資總額后得到下表：工作年限方案甲方案乙最終選擇11000600方案甲220001200方案乙3方案甲(說明：方案的選

15、擇應以讓自己獲得更多增資為準. 假定員工工作年限均為整數(shù).)（1）他這樣計算增資總額，結(jié)果對嗎？如果讓你選擇，你會怎樣選擇增資方案？說明你的理由；（2）若保持方案甲不變，而方案乙中每半年末的增資數(shù)改為a元，問：a為何值時，方案乙總比方案甲多增資？ 每一天都是全新的一天，每一天都是進步的一天。從今天起步，在明天收獲！參考答案一、選擇題： CDCDB DCDBC BC二、填空題： 13.sin或an =14.1，3，515.2n316、60三、解答題：17.解析：由方程x23xa=0和x23xb=0(ab)可設兩方程的根分別為x1，x2和x3，x4，由x1x2=3和x3x4=3所以，x1，x3，x

16、4，x2(或x3，x1，x2，x4)組成等差數(shù)列，由首項x1=，x1x3x4x2=6，可求公差d=，所以四項為：，ab=18.解析： (1)設an=AnB，由a1=2，a17=66，得an=4n2(2)令an=88，即4n2=88得n=N*88不是數(shù)列an中的項.19.解析： (1)由已知a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得:d，又dZ，d=4(2)d0，an是遞減數(shù)列，又a60，a70當n=6時，Sn取得最大值，S6=6×23 (4)=78(3)Sn=23n (4)0，整理得：n(504n)00n，又nN*，所求n的最大值為12.20.解析：，又，令，則，注意到，因此， ， 即為數(shù)列的通項公式；另解：由已知得，可知數(shù)列是遞增數(shù)列.注：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，判定數(shù)列的單調(diào)性與判定函數(shù)的單調(diào)性的方法是相同的，只需比較an1與an的大小21.(1)證明： an12=2 (n1)故(n1)，即bn1bn= (n1)數(shù)列bn是等差數(shù)列.(2)解析： 是等差數(shù)列， an=2數(shù)列an的通項公式an=222.解析： (1)設根據(jù)甲方案第n次的增資額為an，則a