應(yīng)用泛函分析教學(xué)導(dǎo)案

1、第六節(jié) 壓縮映象原理及其應(yīng)用本節(jié)作為完備度量空間何重要特征，我們介紹Banach 壓縮映象原理，它在許多關(guān)于存在唯一性的定理證明中是一個有力的工具。隨著現(xiàn)代電子計算機技術(shù)的開展， 我們在解方程 包括常微分方程、 偏微分 方程、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等的過程中，大量使用的是逐次逼近的 迭代法。幾乎可以這樣說：對一個方程，只要我們找到一個迭代公式，就算解出 了這個方程 當(dāng)然我們還要考慮迭代公式的收斂性、 解的穩(wěn)定性和收斂速度等問 題。但是，在逐次迭代中，我們必須保證迭代過程中得到的是個收斂序列，否 那么就是毫無意義的了。而選代法解方程的實質(zhì)就是尋求變換映射、映照的不 動點。例如求方程 fx=

2、0 的根，我們可令 gx=x-fx ，那么求 fx=0 的根就變 成求 gx 的不動點，即求 , 使 . 而在通常求映射的不動點的方法中， 最簡單的就是下面我們所講的 -Banach 壓縮映象定理。 定義壓縮映象設(shè) T 是度量空間 X 到 X 中的映照，如果 對 都有是常數(shù)那么稱T是X上的一個壓縮映照。從幾何上說：壓縮映照即點x和y經(jīng)過映照T后，它們的像的距離縮短了不 超過 dx,y 的 倍定理 1 Banach 壓縮映照原理 1922年 Banach 1892-1945 波蘭數(shù)學(xué)家設(shè)X,d是一個完備度量空間，T是X上的一個壓縮映照，那么丅有唯一的 不動點。即 的 使 證：任取 令此即解方程的

3、逐次迭代法先證 是Cauchy點列 先考慮相鄰兩點的距離再考慮任意兩點的距離當(dāng)n>m時是Cauchy點列是完備度量空間 ,使下證 x 為不動點再證不動點唯一假設(shè)還有 , 使那么因 必須注：定理條件(a)X完備,(b)缺一不可，反例如下(a)假設(shè)X不完備,那么定理不成立例如 ： 令 X=(0,1), 用歐氏距離 ,那么但不動點(b) 定理不成立 例如：令X=R用歐氏距離那么但顯然 T 無不動點。假設(shè)將空間 X 條件加強為緊距空間，那么壓縮因子條件可放寬為 1，即可改為限于我們的學(xué)時，我們只介紹一下 Banach壓縮映象原理的簡單應(yīng)用。定理 2(隱函數(shù)存在定理)設(shè) 在帶狀區(qū)域 上處處連續(xù)，處

4、處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，且如果存在常數(shù) m,M適合那么方程 f在閉區(qū)間 上有唯一的連續(xù)函數(shù), 使。證：(在中考慮映照)，假設(shè)其為壓縮映照，那么有不動點在完備度量空間中作映照, 顯然 , 對由連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)有。是到自身的一個映照下證是壓縮的 .即證分中值定理 , 存在, 使, 任取由微令 那么 , 故取最大值映照T是壓縮的.由Banach壓縮映象定理在 上有唯一的不動點 使顯然這個不動點適合注： 注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映照這是難點，然后證明此映照是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是利用Ba nach壓縮映照定理解題的一般方法。 此隱函數(shù)存在定理給出的條件強于數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在

5、定理所給出的條件，因而得出的結(jié)論也強些：此處得出區(qū)間上的連續(xù)隱函數(shù)下面我們介紹 Banach 不動點定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的應(yīng) 用 -Picard 定理 .定理 3：Picard 定理 Cauchy-Peano 微分方程解的存在唯一性定理Picard 法國人 1856 1941 Pea no 意大利人 1858-1932設(shè) 在 矩 形 上 連 續(xù) , 設(shè)又 在 R 上關(guān)于 x 満足 Lipschitz 德國人1832-1903 條 件 , 即 存 在 常 數(shù) k 使 對有, 那么方程在區(qū)間上有唯一的滿足初始條件的連續(xù)函數(shù)解 . 其中證：設(shè)表示在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體。對成完備度量空

6、間。又令 表示中滿足條件的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間。顯然 閉, 因而 也是完 備度量空間 .令如果 當(dāng)時,而是R上的二元連續(xù)函數(shù)，映照中積分有意義。又對一切故 T 是 到 的一個映照下證是壓縮的。由 Lipschitz 條件 , 對 中的任意兩點有令 , 那么由 有那么故 T 是壓縮的由 Banach 壓縮映象定理 ,T 在 中有唯一的不動點 .即使即且即 是滿足初值條件的連續(xù)解。 再證唯一性。如果 也是滿足 的連續(xù)解 .那么 因而而且也是T的不動點.而T的不動點是唯一的.故有唯一解。注：題設(shè)條件中 Lipschitz 條件的要求是十分強的， 它保證了解的唯一性。 實際 上満足 Lipscht

7、z 條件即為一致收斂。 因而可在積分號下求導(dǎo)， 如果把解的 要求降低，例如只要求廣義解，即只要求滿足積分方程那么題設(shè)條件可大大放寬： 只要 有界, 即可利 用 Lebesgue 控制收斂定理得到廣義解。注意到Banach壓縮映照定理不僅證明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的 方法 - 逐 次逼近法 ：即 只要任取令那么解.且在Banach不動點定理的證明中,有此式給出了用 逼近解 的誤差估計式補充：Brouwer不動點是定理與Schauder不動點定理簡介鑒于不動點理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的地位，以及不動點理論是現(xiàn)代泛函 分析中一個十分活潑的重要分支，下面我們簡單介紹Brouwer不動

8、點定理和Schauder不動點定理及其簡單應(yīng)用。一、Brouwer不動點定理及其應(yīng)用：一 Brouwer不動點定理Brouwer:荷蘭人 1881-1966定義凸集：X為一集，假設(shè)那么稱A為X的凸子集。定理1 Brouwer不動點定理：設(shè)為的有界閉凸集，連續(xù),那么使證：1、假設(shè)證明如下：不妨設(shè)作輔助函數(shù)顯然在上連續(xù)從而變成證明使即可顯然：否那么那么0為f之不動點;否那么那么1為f之不動點：證畢由連續(xù)函數(shù)的介值性定理的推論：根的存在定理可得使證畢。2、 假設(shè)，其證明方法很多，其中純分析方法的證明要用到場論中旋度的概念，且很繁，而簡潔的證明要用到拓?fù)鋵W(xué)中映象度理論，因而希望對此有興趣的同學(xué)可參閱張

9、石生?不動點定理及其應(yīng)用?，或一般常微分方程教材的附錄。3、注意到Brouwer不動點定理中的條件是不可缺少的，但某些條件可以減弱。 下面我們討論Brouwer不動點定理的應(yīng)用。二證明代數(shù)根本定理：代數(shù)根本定理：復(fù)系數(shù)一元n次方程至少有一個復(fù)根證：令作輔助函數(shù)考慮閉圓盤：顯然c為有界閉凸集，且 連續(xù)只要考慮z=1連續(xù)即可，而這是顯然的。下證 將c映入C：當(dāng) 時將c映入c. 由Brouwer不動點定理使證明Perrou定理:證畢Perrou 定理:矩陣即：正矩陣一定存在正特征值和特征向量。證：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單純形，那么作映照下面先證將顯然為連續(xù)映照.映入注意到由Brouwer不動點定理令那么有下證 的每

10、個分量嚴(yán)挌大于零.由的第i個分量方程為正矩陣一定存在正特征值和特征向量。四Rother證明定理：Brouwer定理條件可以減弱，作為Brouwer不動點定理的推廣，下面我們證 明Rother定理。Rother 定理：為單位球， 在上連續(xù)，且當(dāng)時，使證：作輔助函數(shù)那么連續(xù),且作，那么F在上連續(xù),且將映入由Brouwer不動點定理,F有不動點.,使得下證此假設(shè)假設(shè)為之不動點.先用反證法證明假設(shè)，那么矛盾,從而故f有不動點證畢Brouwer不動點定理有著十分廣泛的應(yīng)用，由于時間關(guān)系，我們就不再多談。 對此有興趣的同學(xué)可參閱張石生?不動點理論及其應(yīng)用?。我們可以進(jìn)一步將Brouwer不動點定理推廣到 無窮維空間一這就是Schauder不動點定理。二、Schauder不動點定理：Sc