二元一次方程組競賽題集(答案+解析)

1、二元一次方程組典型例題【例1】 已知方程組的解X, y滿足方程5x-y=3,求 k的值.【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.(1 ) 由已知方程組消去k,得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3 聯(lián)立組成方程組求出x, y的值，最后將x, y的值代入方程組中任一 方程即可求出k的值.(2) 把k當(dāng)做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于 k的方程，便可求出k的值.(3) 將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11,又知 5x-y=3,所以整體代入即可求出k的值.2.%+3y=Jc,3%-4尸A+ I I.5%-y=3.解法一：-(1),得*5，得34y二-52

2、,解得產(chǎn)一疊.杷產(chǎn)一魯代人，得5行答:3,解得尋把片擊，尸-告代人，得2%5+3式-存)二女，解得k=-4.解法二：X3X2,得17尸k-22,解得尸啜.把尸替代人，得2/3式上常）4,解得吟）杷/=筆和片士薩代人r得”喑_一替二3 ,解得仁-4一解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.【小結(jié)】 解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧 妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng) 用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該 用巧妙解二元一次方程組能力提升講義知識提要1 .二元一次方程組卜爐+ =白的解的

3、情況有以下三種：a2x + b2y = c2當(dāng)= % = l時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效） by Q ， 一 當(dāng)包=2工2時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的）a, by c, 當(dāng)w區(qū)（即ab-azbHO）時，方程組有唯一的解: a 2 b?c仇一c也 A（這個解可用加減消元法求得）叫fbm-a2b2 .方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解, 若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。3 .求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定 系數(shù)當(dāng)己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例2、 3）例題例1.選擇一組a,c值使方程組+ v = 71

4、.有無數(shù)多解，2.ax + 2y = c無解，3.有唯一的解的匯+y=4）【例2】解方程組95尸&【思考與分析】 本例是一個含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零.解：由，得y=4一mx,把代人，得 2x+5 (4-mx)=8,解得 (2-5m) x=T2,當(dāng) 25m=0,2即田=1時，方程無解，則原方程組無解.212當(dāng)2-5m手0,即亍時，方程解為“藐點_ 128-8rri將“h赤萬代入，得及百丁2故當(dāng)mH于時，8-8m原方程組的解為六至元例3. a取什么值時，方程組的解是正數(shù)5x + 3y =

5、 31例4. m取何整數(shù)值時，方程組產(chǎn)+ ” 4的解x和y都是整數(shù) x + 4y = 1二元一次方程組的特殊解法1.二元一次方程組的常規(guī)解法，是代入消元法和加減消元法。這兩種方法都是從“消元”這個基本思想出發(fā)，先把“二元”轉(zhuǎn)化為 “一元”把解二元一次方程組的問題歸結(jié)為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了 “未知”轉(zhuǎn)化到“已知”的重要教學(xué)化歸思想。2、靈活消元(1)整體代入法y +1_ x + 21.解方程組4丁 =三一2x - 3 v = 1(2)先消常數(shù)法2.解方程組vl(3)設(shè)參代入法3.解方程組尸f=2 x: y=4:3vl(4)換元法x+y xy4.解方程組V 2=63（x + y）

6、 = 4（.v-y）(5)簡化系數(shù)法-e3y=3vl5.解萬程組匕-。課堂練習(xí)1 .不解方程組，判定下列方程組解的情況:卜y = 34x 2y = 33x + 5y = 13x - 5 v = 112 a取哪些正整數(shù)值，方程咻的解x和y都是正整數(shù)3要使方程組答:的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值二元一次方程組應(yīng)用探索【知識鏈接】列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步躲可概括為“審、找、列、 解、答“五步，即：(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù) 和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；(2)找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；(3)列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方 程

7、組；(4)解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫 出答案.二元一次方程組是最簡單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、 生產(chǎn)實踐中的許多問題，大多需要通過設(shè)元、布列二元一次方程組來 加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問題例1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果 交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這 個兩位數(shù).分析：設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,個位上的數(shù)為y,則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)XV1Ox+y1Ox+y=x+y+9

8、新兩位數(shù)yX1Oy+x1Oy+x=1Ox+y+27解方程組管:得I;，因此，所求的兩位數(shù)是 10y + x = 10x + y+ 27y = 414.點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只 設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效,但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個兩位數(shù)為X, 或只設(shè)十位上的數(shù)為X,那將很難或根本就想象不出關(guān)于X的方程.一 般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個數(shù)位上的數(shù)為 “元”，然后列多元方程組解之.二、利潤問題例2 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折 出售可以盈利10元，問此商品的定價是多

9、少分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品 的定價為x元，進(jìn)價為y元，則打九折時的賣出價為元，獲利元，因 此得方程=20%y;打八折時的賣出價為元，獲利元，可得方程二10.解方程組x = 200y = 1500.9x-y = 20% yO.8x-y = 10因此，此商品定價為200元.點評：商品銷售盈利百分?jǐn)?shù)是相對于進(jìn)價而言的，不要誤為是相 對于定價或賣出價.利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤二賣出 價-進(jìn)價；二是：利潤二進(jìn)價X利泗率（盈利百分?jǐn)?shù)）.特別注意“利 潤”和“利潤率”是不同的兩個概念.三、配套問題例3 某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母2

10、0個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排 多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn) 品配成最多套分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和 螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式： 每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)X2二每天生產(chǎn)的螺母數(shù)X1.因此，設(shè)安排x人生 產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25 x個，螺母20 y個， 依題意，得x+y = 120(x = 20tn，旬1，解之,得彳inn-故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母.點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力， 使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題

11、，解決配套 問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配 套問題的等量關(guān)系是：(1) “二合一”問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套， 那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的a倍，即甲心數(shù)=,二山數(shù)；ab(2) “三合一”問題：如果甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件，丙產(chǎn)品 c件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是：甲產(chǎn)品數(shù)_乙產(chǎn)品數(shù)_丙產(chǎn)品數(shù) abc四、行程問題例4 在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到 B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米.分別在A、C兩個 加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高 速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡

12、邏車接到指揮中心的命令后 立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的 團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙 經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上.問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的 速度各是多少【研析】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時， 則3（x-y） = 12O x + y = 120整理,卜一)，=401寸口+), = 120，解得x = 8Oy = 40因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40 千米/時.點評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種 題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系涉及到兩者 的

13、速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；“同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們 原來的距離.五、貨運(yùn)問題典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸 的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨 物應(yīng)各裝多少噸分析：”充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重 量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”.設(shè)甲種貨物裝 x噸，乙種貨物裝y噸，則y = 300fx+y = 300, z x = 1506x + 2y = 1

14、2OO，整理，3x+y = 600,解得)，= 15(T因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸.點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實 際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少 計算量，增加準(zhǔn)確度.化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù) 的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等.六、工程問題例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期 限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝4150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的； 現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服 200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且

15、比訂貨量多生產(chǎn)25套， 求訂做的工作服是幾套要求的期限是幾天分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得4150），= xfx = 3375- 5,解得_18200（-l） = x + 25）點評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān) 系，即“工作量二工作時間X工作效率”以及它們的變式“工作時間二 工作量+工作效率，工作效率;工作量工作時間”.其次注意當(dāng)題 目與工作量大小、多少無關(guān)時，通常用“1”表示總工作量.【例7】 某種商品價格為每件3 3元，某人身邊只帶有2元和 5元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品.若無需找零 錢，則付款方式有哪幾種（指付出2元和5元

16、錢的張數(shù)）哪種付款方 式付出的張數(shù)最少？【思考與分析】 本題我們可以運(yùn)用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化 為方程來求解.我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量 關(guān)系，構(gòu)建等式.然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解.最后，比較各個解對應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式 付出的張數(shù)最少.解： 設(shè)付出2元錢的張數(shù)為x,付出5元錢的張數(shù)為y,則 x, y的取值均為自然數(shù).依題意可得方程：2x+5y=33.因為5y個位上的數(shù)只可能是。或5,所以2x個位上數(shù)應(yīng)為3或8.又因為2x是偶數(shù)，所以2x個位上的數(shù)是8,從而此方程的解,產(chǎn)53=3產(chǎn)L由得號二；由；得x+y=12；由得x+y=15.所以 第一種付款

17、方式付出的張數(shù)最少.答： 付款方式有3種，分別是： 付出4張2元錢和5張 5元錢；付出9張2元錢和3張5元錢；付出1 4張2元錢和1張5 元錢.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例8】某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室,這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對4道門進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時開啟一道正門和兩道側(cè)門 時，2分鐘內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時開啟一道正門和一道側(cè)門 時，4分鐘可以通過800名學(xué)生.(1) 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué) 生？(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降 低20%.安全檢查規(guī)定，在

18、緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通 過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生， 問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定請說明理由.【思考與解】(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可通過x名學(xué)生，一 道側(cè)門可以通過y名學(xué)生.根據(jù)題意，得所以平均每分鐘一道正門可以通過學(xué)生120人，一道側(cè)門可以 通過學(xué)生80人.(2)這棟樓最多有學(xué)生4X8X45=1440 (人).擁擠時5分鐘4道門能通過5X2X (120+80) X (1-20%) =1600 (人).因為16001440,所以建造的4道門符合安全規(guī)定.答：平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學(xué)生、80 名學(xué)生；建造的這4道門符

19、合安全規(guī)定.【例9】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：購買香蒸 數(shù)（千克不超過20千克20千克以上但 不超過血千克40千克 以上每千克價 格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264 元，請問張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考與分析】要想知道張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多 少千克，我們可以從香蕉的價格和張強(qiáng)買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢 數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5 元、4元.相對應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強(qiáng)兩 次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張 強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉的千克

20、數(shù).解：設(shè)張強(qiáng)第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克.由 題意，得0x25.y=36.當(dāng)0xW20, yW40時，由題意，得二%4解得當(dāng)040時，由題意，得&吊丁2見解得尸回（與。& W20, yW40相矛盾，不合題意，舍去）.當(dāng)20x25時，25y30此時張強(qiáng)用去的款項為5x+5y=5（x+y） =5 X 50=250264 （不合題意，舍去）.綜合可知，張強(qiáng)第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉 36千克.答：張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克.【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出 了 一種情況就認(rèn)為萬事大吉了，要進(jìn)行分類討論，考慮所有的可能性, 看有幾種情況符合題意.【例10】 用如圖1中