建筑力學(xué)之材料力學(xué)第2章(華南理工)

1、第第2章章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 2-1 軸向拉伸、壓縮及工程實(shí)例軸向拉伸、壓縮及工程實(shí)例 B C 起重機(jī)吊裝重物起重機(jī)吊裝重物 2-2 軸力和軸力圖軸力和軸力圖 mmNF=0:xF N=FFNF=0:xF N=FFABCFF2Fabl mmnnABF2FF當(dāng)桿受多個(gè)力作用時(shí)當(dāng)桿受多個(gè)力作用時(shí): FN FN Fx=0, FN=F Fx=0, FN+2FF=0 FN=F x y F F FN圖圖 例例2-1 求圖示桿各段內(nèi)截面上的軸力。求圖示桿各段內(nèi)截面上的軸力。 FN Fx=0, 2kNFN=0 FN=2kN(壓壓) FN Fx=0, 2kN3kNFN=0 FN=1kN(拉拉) FN

2、Fx=0, 2kN3kN+4kNFN=0 FN=3kN(壓壓) FN FN=3kN(壓壓) 2kN 3kN 1kN 基線基線 FN圖圖 2-3 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 ABl 由實(shí)驗(yàn)可觀察到由實(shí)驗(yàn)可觀察到: 變形前變形前 的兩條輪廓線變形后相對(duì)地位的兩條輪廓線變形后相對(duì)地位 移了移了l, 但仍為平面曲線但仍為平面曲線,且其且其 所在的平面仍垂直于桿軸。所在的平面仍垂直于桿軸。 平面假設(shè)平面假設(shè): 變形前原是平變形前原是平 面的截面面的截面, 在變形后仍然是平面在變形后仍然是平面(只是相對(duì)地位移了一段距離只是相對(duì)地位移了一段距離)。 根據(jù)材料均勻性假設(shè)根據(jù)材料均勻性假設(shè), 變形相同時(shí)變形相

3、同時(shí), 受力也相同受力也相同, 因此在截面因此在截面 的周界上的周界上, 內(nèi)力的大小是相同的。內(nèi)力的大小是相同的。 將這一結(jié)論推廣到桿件內(nèi)部將這一結(jié)論推廣到桿件內(nèi)部, 即可得到即可得到, 橫截面上所有各點(diǎn)受力橫截面上所有各點(diǎn)受力 均相等均相等, 即內(nèi)力是均勻分布在橫截即內(nèi)力是均勻分布在橫截 面上面上, 其集度為其集度為: N=FA N=FA 例例2-2 求截面求截面1-1和和2-2上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。 解解: 求截面求截面1-1和和2-2的軸力的軸力. N1F截面截面1-1: Fx=0, FN1+F+P1=0 FN1=15kN2.5kN=17.5kN(壓壓) 截面截面2-2: N2FFx=0,

4、 FN2+F+P1+P2=0 FN2=15kN2.5kN10kN=27.5kN(壓壓) 求截面求截面1-1和截面和截面2-2的應(yīng)力的應(yīng)力. 截面截面1-1: 3N11117.5 10 N=0.438MPa0.2m0.2mFA 截面截面2-2: 3N22227.5 10 N=0.172MPa0.4m0.4mFA 例例2-3 試分析鉆桿由自重引起的橫截面上的應(yīng)力沿桿長的分布試分析鉆桿由自重引起的橫截面上的應(yīng)力沿桿長的分布 規(guī)律。規(guī)律。 N=FA 解解: 用截面法在距自由端為用截面法在距自由端為x的截面處將桿截開的截面處將桿截開, 取下段為脫取下段為脫 離體離體, 設(shè)設(shè)P(x)為該段桿的重量為該段桿

5、的重量, 則則: ( )=P xA gx 設(shè)設(shè)F(x)代表截開截面處的軸力代表截開截面處的軸力, 則由平衡條件則由平衡條件, 得得: ( )= ( )=F xP xA gx 可見可見, 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí), FN(0)=0 求截面的應(yīng)力求截面的應(yīng)力: N( )( )=FxxgxA( )P xN( )FxxN( )FxAlg FN圖圖 nn當(dāng)當(dāng)x=l 時(shí)時(shí), NNmax( )=FlFA gl 可見可見, 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí), (0)=0 當(dāng)當(dāng)x=l時(shí)時(shí), max( )=lgl2-4 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 F F mmnn 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力: N=FpA =cosAA N=cosFpA

6、 =cosp 通常將應(yīng)力分解為垂直于通常將應(yīng)力分解為垂直于 斜截面的正應(yīng)力和平行于斜截斜截面的正應(yīng)力和平行于斜截 面的切應(yīng)力面的切應(yīng)力: =cos=sinpp 2=cos1=sin22 0max=()= max4=()=2 p NFp 例例2-4 兩塊鋼板由斜焊縫焊接成整體兩塊鋼板由斜焊縫焊接成整體, 受拉力受拉力F作用作用. 已知已知: F=20kN, b=200mm, t=10mm, =30o. 求斜焊縫求斜焊縫內(nèi)的應(yīng)力。內(nèi)的應(yīng)力。 解解: 先求橫截面上的正應(yīng)力先求橫截面上的正應(yīng)力. 2=cos1=sin22 3N6220 10 N=10MPa200 10 10 mFFAb t 求斜截面求

7、斜截面(斜焊縫內(nèi)斜焊縫內(nèi))的應(yīng)力的應(yīng)力: 230=10MPa cos 30 =7.5MPa 301=10MPa sin 2 30=4.33MPa2 2-5 拉、壓桿的變形拉、壓桿的變形 實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明, 桿件在軸向拉力或壓力的作用下桿件在軸向拉力或壓力的作用下, 沿軸線方向?qū)l(fā)沿軸線方向?qū)l(fā) 生伸長或縮短生伸長或縮短, 同時(shí)同時(shí), 橫向橫向(與軸線垂直的方向與軸線垂直的方向)必發(fā)生縮短或伸長必發(fā)生縮短或伸長. 1d1l1d1l1=l ll長度改變量長度改變量: 1=d dd直徑改變量直徑改變量: 軸向線應(yīng)變軸向線應(yīng)變: =ll 橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變: =dd 在彈性變形范圍內(nèi)在彈性變形范圍內(nèi)

8、: =FllEA 以內(nèi)力以內(nèi)力FN換換F, 即即: N=F llEA N=,=FllA =,=EE 胡克定律胡克定律: N=F llEA =ll N=F llEA =ll 例例2-5 已知鋼桿的彈性模量已知鋼桿的彈性模量E=210GPa, 求求: 每段的伸長每段的伸長; 每段的線應(yīng)變每段的線應(yīng)變; 全桿總伸長。全桿總伸長。 NABFNBCF解解: 先求各段軸力先求各段軸力, 作軸力圖作軸力圖. NAB=0,=8kNxFF NAB=0,=8kN+2kN=10kNxFF FN 各段的伸長各段的伸長: NAB ABAB=FllEA 92628000N2m=1210 10 Pa810 m4 =0.00

9、152mNBC BCBC=FllEA 926210000N3m=1210 10 Pa810 m4 =0.00284mAB=0.00152ml BC=0.00152ml N=F llEA =ll 例例2-5 已知鋼桿的彈性模量已知鋼桿的彈性模量E=210GPa, 求求: 每段的伸長每段的伸長; 每段的線應(yīng)變每段的線應(yīng)變; 全桿總伸長。全桿總伸長。 解解: 先求各段軸力先求各段軸力, 作軸力圖作軸力圖. NAB=0,=8kNxFF NAB=0,=8kN+2kN=10kNxFF NABFNBCFFN AB=0.00152ml BC=0.00152ml 各段的線應(yīng)變各段的線應(yīng)變: 4ABABAB0.0

10、0152m=7.6 102mll 4BCBCBC0.00284m=9.47 103mll 全桿總伸長全桿總伸長: ACABBC=+=0.00152m+0.00284m=4.36mmlll 例例2-6 等截面直桿等截面直桿, 長長l, 截面積截面積A, 材料密度材料密度。試求整個(gè)桿件試求整個(gè)桿件 由自重所引起的伸長由自重所引起的伸長l。 N=F llEA 等截面直桿自重所引起的伸長等于把自重當(dāng)作集等截面直桿自重所引起的伸長等于把自重當(dāng)作集 中荷載作用在桿端所引起的伸長的二分之一。中荷載作用在桿端所引起的伸長的二分之一。 N( )FxdPN( )+dFxP 解解: 在自重作用下在自重作用下, 不同

11、截面上的不同截面上的 軸力是變量軸力是變量, 所以不能直接應(yīng)用公式所以不能直接應(yīng)用公式 計(jì)算計(jì)算, 而取一微段桿來考慮而取一微段桿來考慮. N( )=AFxgx 微段以下桿自重微段以下桿自重: d =dPx Ag 微段的自重微段的自重: dP與與FN(x)相比是微量相比是微量, 可忽略不計(jì)可忽略不計(jì). ( )()=NFx dxgxdxdxEAE 微段的伸長微段的伸長: 整個(gè)桿件的伸長整個(gè)桿件的伸長: 200=()=2llgxdxglldxEE把此結(jié)果改寫為把此結(jié)果改寫為: ()1=22gAl lllEA 2-6 材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì) 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低

12、碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì) 強(qiáng)度性質(zhì)強(qiáng)度性質(zhì). 根據(jù)應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變圖應(yīng)變圖, 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可分為應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可分為: 彈性階段彈性階段: Oa段段, 應(yīng)力值應(yīng)力值e, 在在Oa段段=E; 屈服階段屈服階段: abc段段; 應(yīng)力值應(yīng)力值s; 強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段: cd段段; 局部變形階段局部變形階段: d點(diǎn)以后點(diǎn)以后. 材料屈服時(shí)材料屈服時(shí), 若試樣表面磨光若試樣表面磨光, 則可見到則可見到 一些與試樣軸線成一些與試樣軸線成45角的條紋角的條紋, 稱為滑移線稱為滑移線 。它是由塑性變形造成的。它是由塑性變形造成的。 試樣從開始變形到應(yīng)力試樣從開始變形到應(yīng)力-應(yīng)變曲線的應(yīng)變曲線的 頂點(diǎn)頂點(diǎn)d時(shí)

13、止時(shí)止, 在計(jì)算長度在計(jì)算長度l范圍內(nèi)范圍內(nèi), 若縱向若縱向 變形是均勻伸長變形是均勻伸長, 沿橫向的變形是均勻收沿橫向的變形是均勻收 縮。但自縮。但自d點(diǎn)開始點(diǎn)開始, 到到e點(diǎn)斷裂時(shí)止點(diǎn)斷裂時(shí)止, 變形變形 將集中在試樣的某一較薄弱的區(qū)域內(nèi)將集中在試樣的某一較薄弱的區(qū)域內(nèi), 該該 處形成所謂處形成所謂“頸頸”, 這一現(xiàn)象稱為這一現(xiàn)象稱為“頸縮頸縮”現(xiàn)現(xiàn) 象象, 這一階段稱為這一階段稱為“局部變形現(xiàn)象局部變形現(xiàn)象”。 變形性質(zhì)變形性質(zhì): 彈性變形和塑性變形彈性變形和塑性變形: 彈性變形彈性變形: 卸載后無殘余變形卸載后無殘余變形. 塑性變形塑性變形: 卸載后有殘余變形卸載后有殘余變形. 冷作硬

14、化冷作硬化: 通過卸載改變材料性質(zhì)通過卸載改變材料性質(zhì). 其他幾種材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)其他幾種材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì) 鑄鐵鑄鐵 玻璃鋼玻璃鋼 玻璃鋼受力方向與玻玻璃鋼受力方向與玻 璃鋼纖維方向間的夾角改璃鋼纖維方向間的夾角改 變時(shí)變時(shí), 強(qiáng)度極限的變化曲線。強(qiáng)度極限的變化曲線。 低碳鋼及其他材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼及其他材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì) 低碳鋼拉壓的低碳鋼拉壓的-圖圖 2-7 強(qiáng)度計(jì)算、許用應(yīng)力和安全因數(shù)強(qiáng)度計(jì)算、許用應(yīng)力和安全因數(shù) 危險(xiǎn)應(yīng)力危險(xiǎn)應(yīng)力0(極限應(yīng)力極限應(yīng)力): 材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力。材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力。 構(gòu)件工作應(yīng)力的最大值應(yīng)低于危險(xiǎn)應(yīng)力構(gòu)件工作應(yīng)力的最大值

15、應(yīng)低于危險(xiǎn)應(yīng)力, 同時(shí)同時(shí), 考慮到設(shè)計(jì)計(jì)考慮到設(shè)計(jì)計(jì) 算時(shí)的一些近似因素算時(shí)的一些近似因素, 應(yīng)把危險(xiǎn)應(yīng)力打一折扣應(yīng)把危險(xiǎn)應(yīng)力打一折扣, 其許用應(yīng)力其許用應(yīng)力: 0 =n 對(duì)于塑性材料對(duì)于塑性材料: ss =n 對(duì)于脆性材料對(duì)于脆性材料: bb =n 式中式中ns, nb分別為塑性材料和脆性材料的安全因數(shù)。分別為塑性材料和脆性材料的安全因數(shù)。 安全因數(shù)安全因數(shù) 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件: max 對(duì)于等截面桿件對(duì)于等截面桿件: Nmaxmax= FA 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核: Nmaxmax= FA 設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面: Nmax AF 確定許用荷載確定許用荷載: Nmax FA Nmaxmax=FA Nm

16、axmax=FA解解: 求支座反力求支座反力. 42kN 求拉桿內(nèi)力求拉桿內(nèi)力: 42kNHCFVCFC=0,M NABFNAB42 4.2=02 4qllFhNAB=63kNF 求拉桿的應(yīng)力求拉桿的應(yīng)力: 3NAB263 10 N=165.7MPa0.022m4FA 170MPa安全安全! 42kN解解: 計(jì)算活塞桿計(jì)算活塞桿AB的軸力的軸力. 2-329=(560 10 )2.5 10 Pa=615800N44FDp(不計(jì)活塞桿的面積不計(jì)活塞桿的面積), 故活塞桿的軸力故活塞桿的軸力: NAB=615.8kNF Nmaxmax=FA 計(jì)算活塞桿計(jì)算活塞桿AB所需面積所需面積: Nmax A

17、F 329615.8 10 N=0.002053m300 10 Pa 所需直徑所需直徑: 244 0.002053m0.051m51mmAd Nmaxmax=FA解解: 求兩桿軸力與荷載求兩桿軸力與荷載F的關(guān)系的關(guān)系. NABFNBCFNABNBCNAB=0,cos=6=0,sin=6xyFFFFFF 聯(lián)立求解聯(lián)立求解, 得得: NABNBC=2 (),= 3FFFF拉拉(壓壓) 設(shè)先讓設(shè)先讓桿充分發(fā)揮作用桿充分發(fā)揮作用, 即即: 使其應(yīng)力達(dá)到許用值使其應(yīng)力達(dá)到許用值, 求得求得 相應(yīng)的最大軸力為相應(yīng)的最大軸力為: 662N 111 = =160 10 Pa 600 10 m =96kNFA 1N 111 = =96kN=48kN22FF 許用荷載許用荷載: (強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件) Nmaxmax=F