1991考研數(shù)一真題及解析

1、1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)設(shè)x 1 &則寫=.y cost, dx 由方程xyz 、.x2 y2 z2. 2所確定的函數(shù) z z(x,y)在點(diǎn)(1,0, 1)處的全微分dz=. 已知兩條直線的方程是L,：. 2 空 ；L2 :- 2 山 -,則過(guò)L1且平1 0 1 2 1 1行于L2的平面方程是.1 已知當(dāng)x 0時(shí),(1 ax2)3 1與COSX 1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)a=.5200設(shè)4階方陣A2100,則A的逆陣A 100120011、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)曲線yex2(A)沒(méi)有漸近線(B)(C)僅有

2、鉛直漸近線(D)()僅有水平漸近線既有水平漸近線又有鉛直漸近線2x 若連續(xù)函數(shù)f (x)滿足關(guān)系式f (x)2dt ln2,則f(x)等于(A)exln 2(B)2x |e In 2(C) exln 2(D)e2x In 2已知級(jí)數(shù)n 1(1) an2,a2n15,則級(jí)數(shù)an等于()n 1n 1n 1(A) 3(B) 7(C) 8(D) 90 設(shè)D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D<!是D在第一象限的部分,則 (xy cosxsin y)dxdy等于()D2 xydxdyDi(A)2 cosx sin ydxdy(B)Di(C) 4 (xy c

3、osxsin y)dxdy (D) 0DiE ,其中E是n階單位陣，則必有CBA EBCA E(5)設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式 ABC(A) ACB E(B)(C) BAC E(D)、(本題滿分15分，每小題5分.)(1)求 lim(cos -X)x.x 02 2 2 設(shè)n是曲面2x 3y z 6在點(diǎn)P(1,1,1)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)6x2 8y2z在點(diǎn)P處沿方向n的方向?qū)?shù)(x2 y2 z)dV ,其中是由曲線y 2z，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面x 0z 4所圍成的立體四、(本題滿分6分)在過(guò)點(diǎn)0(0,0)和A( ,0)的曲線族y asin x(a 0)中，求一條曲線L,使

4、沿該曲線從0到A的積分 乙1 y3) dx (2x y)dy的值最小.五、(本題滿分8分.)將函數(shù)f(x) 2 |x|( 1 x 1)展開(kāi)成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)六、(本題滿分7分.)1設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3 2 f(x)dx f(0)，證明在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn) c,使 f (c)0.七、(本題滿分8分.)同蹲考教肓KUAKAO EDUCATION已知 1(102,3),2(1,135),3(1,1b 3,5).（1） a、b為何值時(shí)不能表示成1>（2） a、b為何值時(shí)有1、2、3、(1, 1,a 2,1), 4(1,2,4,a 8),及2

5、、3、4的線性組合？4的唯一的線性表示式？并寫出該表示式八、（本題滿分6分）設(shè)A為n階正定陣，E是n階單位陣,證明A E的行列式大于1.九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)P（x, y）處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線與x軸的交點(diǎn)）,且曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸平行.十、填空題（本題滿分6分，每小題3分.）（1）若隨機(jī)變量X服從均值為2,方差為 2的正態(tài)分布，且P 2 X 40.3,則隨機(jī)地向半圓o y2ax x （ a為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)洛在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 x軸的夾角小于一的概率為4（本題滿

6、分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f (x, y)2e(x 2y)x 0,y0其他求隨機(jī)變量Z X 2Y的分布函數(shù)同踵考教肓KUAKAO CDUCMIDN1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題(本題滿分15分，每小題3分.)(1)【答案】sint tcost4t3,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法如果x(t)，則dy(t)y(t)dx(t)dy所以dydtsintdxdx2tdt【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程再對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得2d y d dy dt dsin t12tcost 2sin t 1 sint t cost4P2t4?【答案】dx x2dy【

7、解析】這是求隱函數(shù)在某點(diǎn)的全微分,這里點(diǎn)(1,0, 1)的含義是z z(1,0)將方程兩邊求全微分，由一階全微分形式不變性得d (xyz)0,2 2 2 d(x y z )令 x 1, y 0, z(xy)dz (ydx xdy)zxdx ydy zdz1,得 dy【答案】x 3y z 20【解析】所求平面過(guò)直線L1,因而過(guò)L1上的點(diǎn)(1,2,3)；r(1,0, 1)因?yàn)?過(guò)L1平行于L2,于是 平行于L1和L2的方向向量，即平行于向量丨1r和向量丨2(2,1,1),且兩向量不共線，于是平面 的方程x 1 y 2 z 31 0 10,2 1 1即 x 3y z 20.3【答案】-2丄 1【解析

8、】因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí),si nx: x,(1 x)n 1:x,n所以因?yàn)楫?dāng)0 時(shí) ax20,所以有1(1 ax2)31: 1 ax2,cos x31 . 2 sin x :2limx1(1 ax2)3 10 cosx 11 2axlim x 0 1 2x2(1 ax12)31 與 cosx是等價(jià)無(wú)窮小，所以【答案】【解析】為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨，可用初等行變換,也可用分塊求逆.根據(jù)本題的特點(diǎn)，若知道分塊求逆法則可以簡(jiǎn)單解答注意:對(duì)于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:,則求A的伴隨矩陣* a b d b Ac d如果A 0,這樣ia b1 d b1 d b ad bc c a再利用分塊矩陣求逆的

9、法則:01,易見(jiàn)B 1二、選擇題(1)【答案】【解析】(本題共5個(gè)小題，每小題(D)由于函數(shù)的定義域?yàn)?分,滿分15分.)0,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為 X0,1 lim X 0X2eX21 ee 1Xm0廠，所以x 0為鉛直漸近線，H Xy m n XX2 e -X2 elimXX2ee111,所以y 1為水平漸近線.1所以選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】:如函數(shù)f (x)在其間斷點(diǎn)x x0處有l(wèi)im f (x)X XqcdA c aX X。是函數(shù)的一條鉛直漸近線;水平漸近線：當(dāng)lim f(X)Xa,(a為常數(shù))，則ya為函數(shù)的水平漸近線.(2)【答案】(B)【解析】令ui，則t2u, dt2du,所以2x

10、f(x)dt ln 22Xo 2f(u)du In 2,兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得f (x) 2f (x),這是一個(gè)變量可分離的微分方程，即d f(x) 2dx .解f (x)之得f (x) Ce2X,其中C是常數(shù).又因?yàn)?f(0)°2f(u)du In 2 In2,代入 f(x) Ce2X,得 f (0) Ce0 In 2 ,得C In2,即 f (x) e2x l n2.(3)【答案】(C)【解析】因?yàn)?)n1anaia2a3a4 La2n 1a2n L(aia?) (a3 a4)L(a2n 1 a2n ) L(a2n 1n 1a?n)a2n 1a2n (收斂級(jí)數(shù)的結(jié)合律與線性性質(zhì)),n

11、1n 1所以a?nn 1a2n 1n 1n 1(1) an 5 23.n 1an (a1 a2) (a3 a4) Ln 1(a2n 1a2n) L(a2n 1 a2n )n 1a2n 1a2nn 1n 15 3 8,故應(yīng)選(C).【答案】(A)【解析】如圖，將區(qū)域D分為D1, D2, D3,D4四個(gè)子區(qū)域.顯然，D1, D2關(guān)于y軸對(duì)稱，D3, D4關(guān)于x軸對(duì)稱.11 xydxdyD12 cosxsin ydxdyD由于xy對(duì)x及對(duì)y都是奇函數(shù)，所以xydxdy 0, xydxdy 0.D1 D2D3 D4而cosxsin y對(duì)x是偶函數(shù)，對(duì)y是奇函數(shù)，故有cosxsin ydxdyD3 D4

12、0,cosxsin ydxdyD1 D22 cosxsin ydxdy ,D1所以(xy cosxsin y)dxdyD11122 cosxsin ydxdy ,D1故選(A).(5)【答案】(D)【解析】矩陣的乘法公式?jīng)]有交換律，只有一些特殊情況可以交換 由于A、B、C均為n階矩陣,且ABC E ,對(duì)等式兩邊取行列式,據(jù)行列式乘法公式0、B 0、C 0,知A、B、C均可逆,那么,對(duì)于ABC E ,先左乘A1再右乘A有 ABC E BC ABCA E ,故應(yīng)選(D).其實(shí)，對(duì)于ABC E先右乘C 1再左乘C ,有ABC E AB C 1 CAB E .三、(本題滿分15分，每小題5分.)(1)

13、【解析】這是1型未定式求極限lim (cos、一 x)xx 0lim (1 (cos , xx 011)cos. x 1(cosX 1)令 cos Jx1 t,則0 ,所以lim(1 (cos . x 1)x 01lim(1 tft 0e,所以lim (1x 01(cos t 1)cos x1(cos x 1)xlimx 0(cos I xe1)lim(cos x 1)ex 0因?yàn)楫?dāng)0時(shí)，sinx : x,所以(cos 仮 1) limx 02 sin2limx 0limx 0lim (cosx) xx 0limex 0(cosjx 1)【解析】先求方向n的方向余弦，再求u ,，最后按方向?qū)?shù)

14、的計(jì)算公式y(tǒng) zu cosxu cosyu cos求出方向?qū)?shù).z曲面2x23y2z26在點(diǎn)P(1,1,1)處的法向量為4x,6y,2zP 4x,6y,2z(1,1,1) 2 2,3,1 ,在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)，取正號(hào)，并單位化得所以方向?qū)?shù)1,22 32 12,3,11習(xí) 2,3Jcos ,cos ,cosux Puy puz P6x6xzpz 6x2 8y2uuucoscosnxyu cosz(3)【解析】由曲線68 14y2z,繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成的旋轉(zhuǎn)面方程是x 02z .4所圍成.曲面與平面的交線是于是，是由旋轉(zhuǎn)拋物面z - (x2 y2)與平面z22 2x y 8, z

15、4.選用柱坐標(biāo)變換，令x r cos , y r sin , z z ,:02 ,0 z 4,0 r 云，因此 I (x2 y2 z)dV42£2dz d (r z)rdr 0 0 0r 2zdzr 04 Tdz 2560o四、(本題滿分6分)【解析】曲線y a si n x, (x 0,),則dy acosxdx,所以y3)dx (2x y)dy1(asinx)3 (2x a sinx) acosxdx2dxa3sin3 x 2axcosx sin2x20si dx2a 0 xcosxdxsin 2xdxa30 (cos2 x1)d cosx2a 0 xd sin x0sin 2x

16、d2xacos x34 a33 4a.對(duì)關(guān)于a的函數(shù)I4 3 a3所以a1,且II 0,00,1故a1為函數(shù)I4 3 a3y sinx, (x0,).五、(本題滿分8分.)3aa4a,(a13cosx02a xsin x cosx 0cos2x 04a兩邊對(duì)a求導(dǎo)數(shù)，其中a 0,并令I(lǐng)0,得24a 40.0)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).故所求的曲線為【解析】按傅式級(jí)數(shù)公式，先求f (x)的傅式系數(shù)an與bn.因f(x)為偶函數(shù)，所以2 (2 x)cos n xdx 4 cos n xdx00n1 'nbn p | f (x)sinxdx 0 (n1,2,3,L ), f (x)cos -

17、 xdxl2 in2 'an一 f (x)cos xdx丨丨ll 011 .xd sin n x0因?yàn)樗?aof(x) 2f(x)0,有120(2 x)dx|x|在區(qū)間（1f(0)|x|a02(2n5.x 1）上滿足狄利克雷收斂定理的條件ancosx bnsin1l2(cosn 1)cos n42n1)2,所以12(2n 1)cos(2n1(2n1(2n)21) x1).12n 1 n12n六、（本題滿分7分.）【解析】由定積分中值定理可知,對(duì)于1即 3 2 f(x)dx3由羅爾定理可知七、（本題滿分【解析】設(shè)x112 f(x)dx3f( ) f(0).,在區(qū)間（0,1）內(nèi)存在一點(diǎn)1

18、x2 2 x3 3X4X2X31帀cos0,所以,2(2n 1)11(2n 1)22f （x）dx,在區(qū)間（一，1）上存在一點(diǎn)32 1f()(1 1f(),c(0 c1),使得 f (c)0.,按分量寫出，則有使得%2x13為x33x2 (a5x2x412x4X32)x3 4x4 b 3(a 8)x4 5對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換3加到第三行和第四行上，再第二行乘以2加到第三行和第四行上,有11 11M101 12M1A23 a 24Mb 3351a8M5第一行分別乘以有2、1111M10112M101a2M b1022 a5M21111 M10112 M100a 10 Mb000a1M0

19、所以,當(dāng)a1,b0時(shí)，r(A) 1 r(A),方程組無(wú)解.即是不存在x-i ,x2 ,x3 ,x4使得X1 1X2 2X33X44成立，不能表示成1、2、3、4的線性組合;r(A)r(A)4.方程組有唯一解2b a b 1FTTb門,0 a 12bn 1故有唯一表達(dá)式，且矩陣AAM的秩，即是r(A)r( A)(或者說(shuō)，b可由A的列向量1, 2丄線表出，a 1【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是m n矩陣，線性方程組 Ax b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣亦等同于1, 2丄,n與1, 2丄,n,b是等價(jià)向量組).設(shè)A是m n矩陣,線性方程組Ax b,則(1)有唯一解r(

20、A)r(A) n有無(wú)窮多解r(A)r(A) n無(wú)解r(A)1r(A).b不能由A的列向量1, 2丄,n線表出八、(本題滿分6分)【解析】方法1:因?yàn)锳為n階正定陣，故存在正交矩陣 Q ,使QtAQ Q 1AQ其中i 0(i1,2丄n), i是A的特征值.因此 qt(a e)qqtaq qtq兩端取行列式得 | AE| |QT |A eiiqi iqt(aE)Q| | E| ( i 1),從而 | A E | 1.方法2：設(shè)A的n個(gè)特征值是1, 2丄，n.由于A為階正定陣，故特征值全大于0.1 1,為A的特征值可知，存在非零向量1.按特征值定義知21,L , n 1.它們?nèi)笥?,根據(jù)A,兩端同

21、時(shí)加上E的特征值因?yàn)锳 E的特征值是,知|A E| (i 1)1.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】陣特征值與特征向量的定義：設(shè)及非零的n維列A是n階矩陣，若存在數(shù)向量X使得AX X成立，則稱 是矩陣A的特征值，稱非零向量 X是矩陣A的特征向 量.九、(本題滿分8分)【解析】曲線y y(x)在點(diǎn)P(x, y)處的法線方程為Y y -(X x)(y0時(shí)),它與x軸的交點(diǎn)是Q(x yy ,0),從而|PQ| .(yy)3 * 2y2y(11y2)?.當(dāng)y 0時(shí),有Q(x,0),|PQ| y, 上式仍然成立.因此,根據(jù)題意得微分方程y1即yy 1 y 2.這是可降階的高階微分方程,且當(dāng) x 1 時(shí)，y 1,y0 .,二

22、階方程降為一階方程 yP蘭dy1 p2,即竺dy1 P2ydP令 y P(y),則 y P -dy即y C-1 P2 , C為常數(shù).y J P2因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí)，y 1,P y 0,所以C 1,即所以y.產(chǎn)刁.分離變量得dx .Jy1令y sect,并積分，則上式左端變?yōu)閐yy2 1sect tantdttan tln secttantIn sect Vsec t 1 Cln y Vy因曲線在上半平面，所以y、寸 10,即 ln,y21y , y2 1 Ce當(dāng)x 1時(shí),y 1,當(dāng)x前取+時(shí)，c e 1, y,y2 1 ex1y . y2 1y <y2 1(y :y2 1)(y '、寸 1)1y Jy2 1當(dāng)x前取時(shí)，C e,y . y2 1 e x1y Jy2 1(y :y2 1)(y 、寸 1)1y 、y2 1所以 y (e(x1)2e(x1).十、